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专题17 解析几何多选、填空（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）
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这是一份专题17 解析几何多选、填空（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用），文件包含专题17解析几何多选填空理科原卷版docx、专题17解析几何多选填空理科解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140399981" 题型一：直线的方程 PAGEREF _Tc140399981 \h 1
\l "_Tc140399982" 题型二：圆的方程 PAGEREF _Tc140399982 \h 4
\l "_Tc140399983" 题型三：直线与圆的综合 PAGEREF _Tc140399983 \h 8
\l "_Tc140399984" 题型四：椭圆 PAGEREF _Tc140399984 \h 13
\l "_Tc140399985" 题型五：双曲线 PAGEREF _Tc140399985 \h 23
\l "_Tc140399986" 题型六：抛物线 PAGEREF _Tc140399986 \h 34
\l "_Tc140399987" 题型七：圆锥曲线的综合应用 PAGEREF _Tc140399987 \h 43
题型一：直线的方程
1．(2020北京高考·第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③
2．(2014高考数学四川理科·第14题)设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 ．
【答案】
解析：，，因为，所以
故(当且仅当时取“”)
3．(2017年高考数学上海(文理科)·第16题)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“”的点分布在的两侧． 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________．
【答案】、．
【解析】设记为“”的四个点为,线段的中点分别为,易知为平行四边形,且记点到直线的距离为,,,,根据题意,四个点不在的同侧,那么就有两种可能:
(1)若的两侧分别有两个点,如图2,点和分别在的两侧,若,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．
若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．
于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．
(2)若的一侧有三个点,另一侧有一个点,如图3,点和分别在的两侧,若,即,由平面几何知识有,,且,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．
若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．
于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．
综上,满足已知条件的直线肯定要经过和的交点．
4．(2016高考数学上海理科·第10题)设，若关于的方程组无解，则的取值范围是____________．
【答案】
解析：将方程组中上面的式子化简得，代入下面的式子整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得，即的取值范围是．
5．(2016高考数学上海理科·第3题)已知平行直线，则与的距离是_______________．
【答案】
解析：利用两平行线间距离公式得．
考点：两平行线间距离公式．
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力．
题型二：圆的方程
一、多选题
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第11题)已知点在圆上，点、，则( )
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
解析:圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确,故选ACD．
二、填空题
1．(2022新高考全国I卷·第14题)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或．
2．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第14题)过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
解析：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
3．(2020江苏高考·第14题)在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令(负值舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
4．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ．
【答案】
解：若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为。
5．(2014高考数学陕西理科·第12题)若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为______．
【答案】
解析: 点与点关于直线对称,可得．又圆的半径为1，所以圆的标准方程为．
6．(2015高考数学湖北理科·第14题)如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点(在的上方)，且．
(Ⅰ)圆的标准方程为 ；
(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：
①； ②； ③．
其中正确结论的序号是 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)①②③
解析：(Ⅰ)依题意，设(为圆的半径)，因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．
(Ⅱ)联立方程组，解得或，因为在的上方，
所以，，
令直线的方程为，此时，，
所以，，，
因为，，所以．
所以，
，
正确结论的序号是①②③．
题型三：直线与圆的综合
一、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第11题)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
解析:圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确．故选：ABD．
二、填空题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第15题)设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【答案】(1)． (2)．
解析：由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以(舍)或者，
解得．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第14题)若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或(舍去)．
故答案为：．
3．(2022新高考全国II卷·第15题)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
解析：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
4．(2021高考天津·第12题)若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
解析：设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，因为，故．
故答案为：．
5．(2020天津高考·第12题)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．故答案为：．
6．(2019·浙江·第12题)已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则 ， ．
【答案】，
【解析】由于直线与圆相切，故，则，直线：代入可得，故．
7．(2018年高考数学江苏卷·第12题)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．
【答案】3
解析：设，则圆心 ，易得圆C：，与联立解得点D的横坐标，所以．所以，
，由得，，
解得a＝3或a＝－1，因为a＞0，所以a＝3．
8．(2018年高考数学天津(理)·第12题)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 ．
【答案】
【基本解法一】：圆的标准方程为，圆心为，半径，直线的一般式方程为
，即，将代入，整理得，解得或，所以，可知为等腰直角三角形，，
所以．
【基本解法二】：圆的标准方程为，圆心为，半径，直线的一般式方程为
，圆心到直线的距离，，
所以
9．(2014高考数学重庆理科·第14题)过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线，分别交圆于，若，，，则 ________．
【答案】4
解析：通过弦切角定理找到，易得与相似，
解得
10．(2014高考数学重庆理科·第13题)已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．
【答案】
解析：根据直线和圆相交于A，B两点，C是圆心，是等边三角形可知等边三角形边长等于圆C的半径2，所以C到直线的距离即为等边三角形AB边上的高，列出等式,解得。
11．(2014高考数学上海理科·第14题)已知曲线直线．若对于点存在上的点和上的点使得,则的取值范围为________________．
【答案】
解析:由已知得曲线为以原点为圆心,2为半径的左半圆．为的中点．
设,则．因为在曲线上,则即．
12．(2014高考数学课标2理科·第16题)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
【答案】
解析：在坐标系中画出圆O和直线y=1，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得
13．(2014高考数学湖北理科·第12题)直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 ．
【答案】2
解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2．
14．(2014高考数学江苏·第9题) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】
解析：圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．
15．(2014高考数学大纲理科·第15题)直线和是圆的两条切线，若与的交点为(1,3)，则与的夹角的正切值等于 ．
【答案】
解析：根据题中条件易判断到直线的斜率都存在，设过点的切线方程为即，则由圆心到直线的距离等于半径可得或，设两直线的夹角为，由两直线的夹角计算公式可得．
16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
【答案】4
【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知,在梯形中,.
17．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第15题)已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】(中任意一个皆可以)
解析：设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：(中任意一个皆可以)．
题型四：椭圆
一、填空题
1．(2021年高考浙江卷·第16题)已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)． (2)．
解析:
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，于是，即，所以．
故答案为；．
2．(2021年高考全国甲卷理科·第15题)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于．
故答案：．
3．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或(舍去)，
又，即，解得或(舍去)，
所以直线，即；
故答案为：
4．(2022新高考全国I卷·第16题)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13．
5．(2021高考天津·第18题)已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于 点．若，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为．
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即．
6．(2019·浙江·第15题)已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
【答案】
【解析】解法一：由题意可知，又在中．由椭圆定义知．在等腰△中，，，为中点，所以
．
解法二：应用焦半径公式，由题意可知，由中位线定理可得，即．求得，所以．
解法三：联立求点P坐标，由题意可知，由中位线定理可得，设可得，与方程联立，解得，(舍)．所以，所以．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第15题)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
【答案】
【解析】由已知可得，．
．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得(舍去)，
的坐标为．
法二、在得出．．
，∴．
∴，
的坐标为．
法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．
【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
8．(2018年高考数学浙江卷·第17题)已知点，椭圆上两点满足，则当
时，点横坐标的绝对值最大．
【答案】5
解析：解法1：本题的通法为应用圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，设，
当直线的斜率不存在时，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程，
可得，由题意，得，
由韦达定理得：，，
由可得，
联立后解得：，
所以，(当且仅当时取等号)，
此时，得，
经验证符合题意，所以当时，点的横坐标的绝对值最大．
解法2：联立求解，设，由，可得，
由均在椭圆上可知，
，先消，得，
再代入得 ，
当时，有最大值4，即点的横坐标的绝对值的最大值为2．
解法3：三角换元，设，因为，则，
所以，即，
所以，即，
当时，点的横坐标的绝对值最大．
解法4：借助常用的椭圆的两斜率之积等于模型
当直线的斜率不存在时，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，中点为，
由，可得，由，
得，解得(当且仅当时取等号)，
当时，代入椭圆方程可得．
9．(2014高考数学辽宁理科·第15题)已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ．
【答案】12
解析：如图：由M关于C的焦点的对称点分别为A，B，得分别是线段MA，MB的中点，而MN的中点为Q，根据中位线定义，易得，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=2×6=12．
解析2：设M，N的中点坐标为P，，，,,,则，，，，,,
所以=
，根据椭圆的定义得，
，所以|AN|+|BN|=2×6=12．
10．(2014高考数学江西理科·第16题)过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为______
【答案】
分析:设,则由两式相减变形得:即,从而
11．(2014高考数学安徽理科·第14题)设分别是椭圆：()的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点．若，轴，则椭圆的方程为 ．
【答案】
解析：不妨设点在轴右上方，如图(1)所示，
易知，由题意，得，
所以，，故，
代入椭圆方程得，，
结合，可求得，
所以所求的椭圆方程为：．
12．(2016高考数学江苏文理科·第10题)如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】．
解析：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．
题型五：双曲线
一、填空题
1．(2023年北京卷·第12题)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
解析：令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为．
故答案为：
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第16题)已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】
解析：方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或(舍去)，
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故．
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或(舍去)，故．
故答案为：．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
解析:因为双曲线的离心率为2，所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为．故答案为．
4．(2021年高考全国乙卷理科·第13题)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【答案】4
解析：由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得(舍去)，，故焦距
故答案为：4
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键
5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第15题)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．
【答案】2
【解析】联立，解得，所以．
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
6．(2022高考北京卷·第12题)已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
解析:对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；故答案为：
7．(2022年浙江省高考数学试题·第16题)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
解析:过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率．
故答案为：．
8．(2020江苏高考·第6题)在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】双曲线，故．由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：
9．(2020北京高考·第12题)已知双曲线，则的右焦点的坐标为_________；的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为．故答案为：；．
10．(2019·上海·第11题)已知数列满足()，在双曲线上，则_______.
【答案】
【解析】法一：由得：，∴，
，利用两点间距离公式求解极限。
法二(极限法)：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.
【点评】本题主要考查极限、双曲线的渐近性．
11．(2019·全国Ⅰ·理·第16题)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为 ．
【答案】2
解析：注意到，得到垂直平分，则，由渐近线的对称性，得，可得，所以，可得离心率．
12．(2019·江苏·第7题)在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得，所以，又，所以渐近线方程为.
13．(2018年高考数学江苏卷·第8题)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
【答案】2
解析：因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，．
14．(2018年高考数学上海·第2题)双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
解析：由题意知：，所以渐近线方程为．
15．(2018年高考数学北京(理)·第14题)已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．
【答案】
解析： = 1 \* GB3 ①如图，连结,由正六边形的性质可知，为直角三角形，且，
．所以在中，，
所以．
= 2 \* GB3 ②由正六边形的性质可知，，，又由双曲线的性质可知：
．
16．(2014高考数学浙江理科·第16题)设直线与双曲线()两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________
【答案】
解析：双曲线的两条渐近线方程为则
与直线联立，可得,，
∴中点坐标为，
∵点满足
∴
∴，
∴
故答案为：．
17．(2014高考数学北京理科·第11题)设双曲线C经过点(2 , 2), 且与具有相同渐进线, 则C的方程为 ；
渐进线方程为 ．
【答案】
解析：设双曲线C的方程为，将(2，2)代入得，∴双曲线C的方程为．令得渐近线方程为．
18．(2015高考数学浙江理科·第9题)双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，．
解析：
由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为．
19．(2015高考数学上海理科·第9题)已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
解析:设点和的坐标为、，则有
又因为的渐近线方程为，故设的方程为，
把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即；
20．(2015高考数学山东理科·第15题)平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点．若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
【答案】
解析：设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为:．因为是 的垂心，所以 ,
所以，．
所以，．
21．(2015高考数学湖南理科·第13题)设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 ．
【答案】．
分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，
∴．
22．(2015高考数学北京理科·第10题)已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
解析：双曲线的渐近线方程为，，,则
考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数．
23．(2015高考数学江苏文理·第12题)在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．
【答案】
解析：设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为
24．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第15题)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图所示,作
因为圆与双曲线的一条渐近线交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且,,因为,所以,到直线的距离,在中,,代入计算得,即,由得,所以．
25．(2017年高考数学上海(文理科)·第10题)设双曲线的焦点为、,为该双曲线上的一点,若,
则________．
【答案】11
【解析】．
26．(2017年高考数学山东理科·第14题)在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】．
又,所以,
所以双曲线的渐近线方程为．
27．(2017年高考数学江苏文理科·第8题)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是______．
【答案】
解析:右准线方程为,渐近线为,则,,,,则．
28．(2017年高考数学北京理科·第9题)若双曲线的离心率为,则实数 _________．
【答案】
【解析】 ,所以 ,解得．
29．(2016高考数学山东理科·第13题)已知双曲线： (，)，若矩形的四个顶点在上，，的中点为E的两个焦点，且，则的离心率是_______．
【答案】 2
【解析】假设点在第一象限，点在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或(舍去)，所以的离心率为2．
30．(2016高考数学江苏文理科·第3题)在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．
【答案】．
解析：，因此焦距为．
31．(2016高考数学北京理科·第13题)双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则_______________．
【答案】2
解析：不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图
∵为正方形，∴，
∵直线是渐近线，方程为，∴
又∵∴．
题型六：抛物线
一、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第10题)设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为．
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误．
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确．
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误．
故选：AC．
2．(2022新高考全国II卷·第10题)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
解析：
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，又，则，D正确．
故选：ACD．
3．(2022新高考全国I卷·第11题)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
解析:将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
二、填空题
1．(2023年全国乙卷理科·第13题)已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______．
【答案】
解析：由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为．
故答案为：．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
解析:不妨设
因为，所以的准线方程为,故答案为．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13题)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解得，所以
4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14题)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
故答案为：
5．(2021高考北京·第12题)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点．若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
解析：因为抛物线的方程为，故且．
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；．
6．(2019·上海·第9题)过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.
【答案】3
【解析】依题意求得：，，设M坐标
有：，代入有：
即：.
【点评】本题主要考查平面向量、抛物线．
7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第16题)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则 ．
【答案】
解析：法一：抛物线的焦点坐标为，可设直线，
联立方程，消去并整理可得
所以，由点在抛物线上，可得，
所以，
由，可得，所以
所以
即
所以即，解得
故所求直线的斜率．
法二：抛物线的焦点，准线方程为
由依题意可知以为直径的圆与准线相切于点，故线段中点的纵坐标为
设直线，
联立方程，消去并整理可得
则有，解得
故所求直线的斜率．
8．(2014高考数学上海理科·第3题)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___．
【答案】
解析:易知焦点为,则准线方程为．
9．(2014高考数学湖南理科·第15题)如下图,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则_________．
【答案】
解析:由题可得,则,故填．
10．(2015高考数学上海理科·第5题)抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 ．
【答案】
解析：根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有．
11．(2015高考数学陕西理科·第14题)若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 ．
【答案】
解析：抛物线()的准线方程是，双曲线的一个焦点，因为抛物线()的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得，所以答案应填：．
12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与
化归思想运算求解的能力
【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴，又由定义，且，∴．
13．(2016高考数学浙江理科·第9题)若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是 ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、转化与化归能力、数形结合的数学思想．
解析：由于抛物线的焦点为，准线为，设点的坐标为，则，所以．故到轴的距离是．
14．(2016高考数学天津理科·第14题)设抛物线(为参数，)的焦点，准线为．过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设与相交于点．若，且的面积为，则的值为_____________．
【答案】
解析：x、y满足函数；，
可得：
易知，，故
，∴
题型七：圆锥曲线的综合应用
一、多选题
1.（2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第9题)已知曲线．( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第10题)已知曲线．( )
A．若m>n>0，则C椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
二、填空题
1．(2023年天津卷·第12题)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
解析：易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
2．(2015高考数学新课标1理科·第14题)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
【答案】
解析：设圆心为(，0)，则半径为，则，解得，故圆的方程为．
3．(2016高考数学四川理科·第15题)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线的“伴随曲线”，现有下列命题：
(1)若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；
(2)单元圆的“伴随曲线”是它本身；
(3)若曲线关于轴对称，则他们的“伴随曲线”关于轴对称；
(4)一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 ．
【答案】(2)，(3)
【解析】对于(1)，设 ，则的“伴随点”，
所以的“伴随点”为与不同，则(1)不对
对于(2)法一：设曲线：，的点，“伴随曲线”上上的点
则，所以，则(2)正确
法二：上的点，则仍在上，则(2)正确
对于(3)设 的“伴随点”
的“伴随点”
因为 关于轴对称，故关于轴对称，则(3)正确
对于(4)，法一：设(不过原点)
设原直线方程为，代入，
则，则有，
所以当为定值是直线，如不定值是，不是直线，则(4)错误
法二：设直线为，取四点，
则他们的“伴随点”分别为，
显然第四点不和前三点共线，则(4)错误
综上(2),(3)正确．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140399981" 题型一：直线的方程 PAGEREF _Tc140399981 \h 1
\l "_Tc140399982" 题型二：圆的方程 PAGEREF _Tc140399982 \h 4
\l "_Tc140399983" 题型三：直线与圆的综合 PAGEREF _Tc140399983 \h 8
\l "_Tc140399984" 题型四：椭圆 PAGEREF _Tc140399984 \h 13
\l "_Tc140399985" 题型五：双曲线 PAGEREF _Tc140399985 \h 23
\l "_Tc140399986" 题型六：抛物线 PAGEREF _Tc140399986 \h 34
\l "_Tc140399987" 题型七：圆锥曲线的综合应用 PAGEREF _Tc140399987 \h 43
题型一：直线的方程
1．(2020北京高考·第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③
2．(2014高考数学四川理科·第14题)设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 ．
【答案】
解析：，，因为，所以
故(当且仅当时取“”)
3．(2017年高考数学上海(文理科)·第16题)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“”的点分布在的两侧． 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________．
【答案】、．
【解析】设记为“”的四个点为,线段的中点分别为,易知为平行四边形,且记点到直线的距离为,,,,根据题意,四个点不在的同侧,那么就有两种可能:
(1)若的两侧分别有两个点,如图2,点和分别在的两侧,若,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．
若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．
于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．
(2)若的一侧有三个点,另一侧有一个点,如图3,点和分别在的两侧,若,即,由平面几何知识有,,且,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．
若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．
于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．
综上,满足已知条件的直线肯定要经过和的交点．
4．(2016高考数学上海理科·第10题)设，若关于的方程组无解，则的取值范围是____________．
【答案】
解析：将方程组中上面的式子化简得，代入下面的式子整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得，即的取值范围是．
5．(2016高考数学上海理科·第3题)已知平行直线，则与的距离是_______________．
【答案】
解析：利用两平行线间距离公式得．
考点：两平行线间距离公式．
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力．
题型二：圆的方程
一、多选题
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第11题)已知点在圆上，点、，则( )
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
解析:圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确,故选ACD．
二、填空题
1．(2022新高考全国I卷·第14题)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或．
2．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第14题)过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
解析：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
3．(2020江苏高考·第14题)在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令(负值舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
4．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ．
【答案】
解：若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为。
5．(2014高考数学陕西理科·第12题)若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为______．
【答案】
解析: 点与点关于直线对称,可得．又圆的半径为1，所以圆的标准方程为．
6．(2015高考数学湖北理科·第14题)如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点(在的上方)，且．
(Ⅰ)圆的标准方程为 ；
(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：
①； ②； ③．
其中正确结论的序号是 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)①②③
解析：(Ⅰ)依题意，设(为圆的半径)，因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．
(Ⅱ)联立方程组，解得或，因为在的上方，
所以，，
令直线的方程为，此时，，
所以，，，
因为，，所以．
所以，
，
正确结论的序号是①②③．
题型三：直线与圆的综合
一、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第11题)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
解析:圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确．故选：ABD．
二、填空题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第15题)设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【答案】(1)． (2)．
解析：由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以(舍)或者，
解得．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第14题)若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或(舍去)．
故答案为：．
3．(2022新高考全国II卷·第15题)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
解析：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
4．(2021高考天津·第12题)若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
解析：设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，因为，故．
故答案为：．
5．(2020天津高考·第12题)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．故答案为：．
6．(2019·浙江·第12题)已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则 ， ．
【答案】，
【解析】由于直线与圆相切，故，则，直线：代入可得，故．
7．(2018年高考数学江苏卷·第12题)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．
【答案】3
解析：设，则圆心 ，易得圆C：，与联立解得点D的横坐标，所以．所以，
，由得，，
解得a＝3或a＝－1，因为a＞0，所以a＝3．
8．(2018年高考数学天津(理)·第12题)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 ．
【答案】
【基本解法一】：圆的标准方程为，圆心为，半径，直线的一般式方程为
，即，将代入，整理得，解得或，所以，可知为等腰直角三角形，，
所以．
【基本解法二】：圆的标准方程为，圆心为，半径，直线的一般式方程为
，圆心到直线的距离，，
所以
9．(2014高考数学重庆理科·第14题)过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线，分别交圆于，若，，，则 ________．
【答案】4
解析：通过弦切角定理找到，易得与相似，
解得
10．(2014高考数学重庆理科·第13题)已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．
【答案】
解析：根据直线和圆相交于A，B两点，C是圆心，是等边三角形可知等边三角形边长等于圆C的半径2，所以C到直线的距离即为等边三角形AB边上的高，列出等式,解得。
11．(2014高考数学上海理科·第14题)已知曲线直线．若对于点存在上的点和上的点使得,则的取值范围为________________．
【答案】
解析:由已知得曲线为以原点为圆心,2为半径的左半圆．为的中点．
设,则．因为在曲线上,则即．
12．(2014高考数学课标2理科·第16题)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
【答案】
解析：在坐标系中画出圆O和直线y=1，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得
13．(2014高考数学湖北理科·第12题)直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 ．
【答案】2
解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2．
14．(2014高考数学江苏·第9题) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】
解析：圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．
15．(2014高考数学大纲理科·第15题)直线和是圆的两条切线，若与的交点为(1,3)，则与的夹角的正切值等于 ．
【答案】
解析：根据题中条件易判断到直线的斜率都存在，设过点的切线方程为即，则由圆心到直线的距离等于半径可得或，设两直线的夹角为，由两直线的夹角计算公式可得．
16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
【答案】4
【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知,在梯形中,.
17．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第15题)已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】(中任意一个皆可以)
解析：设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：(中任意一个皆可以)．
题型四：椭圆
一、填空题
1．(2021年高考浙江卷·第16题)已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)． (2)．
解析:
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，于是，即，所以．
故答案为；．
2．(2021年高考全国甲卷理科·第15题)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于．
故答案：．
3．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或(舍去)，
又，即，解得或(舍去)，
所以直线，即；
故答案为：
4．(2022新高考全国I卷·第16题)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13．
5．(2021高考天津·第18题)已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于 点．若，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为．
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即．
6．(2019·浙江·第15题)已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
【答案】
【解析】解法一：由题意可知，又在中．由椭圆定义知．在等腰△中，，，为中点，所以
．
解法二：应用焦半径公式，由题意可知，由中位线定理可得，即．求得，所以．
解法三：联立求点P坐标，由题意可知，由中位线定理可得，设可得，与方程联立，解得，(舍)．所以，所以．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第15题)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
【答案】
【解析】由已知可得，．
．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得(舍去)，
的坐标为．
法二、在得出．．
，∴．
∴，
的坐标为．
法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．
【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
8．(2018年高考数学浙江卷·第17题)已知点，椭圆上两点满足，则当
时，点横坐标的绝对值最大．
【答案】5
解析：解法1：本题的通法为应用圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，设，
当直线的斜率不存在时，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程，
可得，由题意，得，
由韦达定理得：，，
由可得，
联立后解得：，
所以，(当且仅当时取等号)，
此时，得，
经验证符合题意，所以当时，点的横坐标的绝对值最大．
解法2：联立求解，设，由，可得，
由均在椭圆上可知，
，先消，得，
再代入得 ，
当时，有最大值4，即点的横坐标的绝对值的最大值为2．
解法3：三角换元，设，因为，则，
所以，即，
所以，即，
当时，点的横坐标的绝对值最大．
解法4：借助常用的椭圆的两斜率之积等于模型
当直线的斜率不存在时，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，中点为，
由，可得，由，
得，解得(当且仅当时取等号)，
当时，代入椭圆方程可得．
9．(2014高考数学辽宁理科·第15题)已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ．
【答案】12
解析：如图：由M关于C的焦点的对称点分别为A，B，得分别是线段MA，MB的中点，而MN的中点为Q，根据中位线定义，易得，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=2×6=12．
解析2：设M，N的中点坐标为P，，，,,,则，，，，,,
所以=
，根据椭圆的定义得，
，所以|AN|+|BN|=2×6=12．
10．(2014高考数学江西理科·第16题)过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为______
【答案】
分析:设,则由两式相减变形得:即,从而
11．(2014高考数学安徽理科·第14题)设分别是椭圆：()的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点．若，轴，则椭圆的方程为 ．
【答案】
解析：不妨设点在轴右上方，如图(1)所示，
易知，由题意，得，
所以，，故，
代入椭圆方程得，，
结合，可求得，
所以所求的椭圆方程为：．
12．(2016高考数学江苏文理科·第10题)如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】．
解析：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．
题型五：双曲线
一、填空题
1．(2023年北京卷·第12题)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
解析：令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为．
故答案为：
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第16题)已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】
解析：方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或(舍去)，
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故．
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或(舍去)，故．
故答案为：．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
解析:因为双曲线的离心率为2，所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为．故答案为．
4．(2021年高考全国乙卷理科·第13题)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【答案】4
解析：由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得(舍去)，，故焦距
故答案为：4
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键
5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第15题)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．
【答案】2
【解析】联立，解得，所以．
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
6．(2022高考北京卷·第12题)已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
解析:对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；故答案为：
7．(2022年浙江省高考数学试题·第16题)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
解析:过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率．
故答案为：．
8．(2020江苏高考·第6题)在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】双曲线，故．由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：
9．(2020北京高考·第12题)已知双曲线，则的右焦点的坐标为_________；的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为．故答案为：；．
10．(2019·上海·第11题)已知数列满足()，在双曲线上，则_______.
【答案】
【解析】法一：由得：，∴，
，利用两点间距离公式求解极限。
法二(极限法)：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.
【点评】本题主要考查极限、双曲线的渐近性．
11．(2019·全国Ⅰ·理·第16题)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为 ．
【答案】2
解析：注意到，得到垂直平分，则，由渐近线的对称性，得，可得，所以，可得离心率．
12．(2019·江苏·第7题)在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得，所以，又，所以渐近线方程为.
13．(2018年高考数学江苏卷·第8题)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
【答案】2
解析：因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，．
14．(2018年高考数学上海·第2题)双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
解析：由题意知：，所以渐近线方程为．
15．(2018年高考数学北京(理)·第14题)已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．
【答案】
解析： = 1 \* GB3 ①如图，连结,由正六边形的性质可知，为直角三角形，且，
．所以在中，，
所以．
= 2 \* GB3 ②由正六边形的性质可知，，，又由双曲线的性质可知：
．
16．(2014高考数学浙江理科·第16题)设直线与双曲线()两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________
【答案】
解析：双曲线的两条渐近线方程为则
与直线联立，可得,，
∴中点坐标为，
∵点满足
∴
∴，
∴
故答案为：．
17．(2014高考数学北京理科·第11题)设双曲线C经过点(2 , 2), 且与具有相同渐进线, 则C的方程为 ；
渐进线方程为 ．
【答案】
解析：设双曲线C的方程为，将(2，2)代入得，∴双曲线C的方程为．令得渐近线方程为．
18．(2015高考数学浙江理科·第9题)双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，．
解析：
由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为．
19．(2015高考数学上海理科·第9题)已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
解析:设点和的坐标为、，则有
又因为的渐近线方程为，故设的方程为，
把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即；
20．(2015高考数学山东理科·第15题)平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点．若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
【答案】
解析：设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为:．因为是 的垂心，所以 ,
所以，．
所以，．
21．(2015高考数学湖南理科·第13题)设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 ．
【答案】．
分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，
∴．
22．(2015高考数学北京理科·第10题)已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
解析：双曲线的渐近线方程为，，,则
考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数．
23．(2015高考数学江苏文理·第12题)在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．
【答案】
解析：设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为
24．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第15题)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图所示,作
因为圆与双曲线的一条渐近线交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且,,因为,所以,到直线的距离,在中,,代入计算得,即,由得,所以．
25．(2017年高考数学上海(文理科)·第10题)设双曲线的焦点为、,为该双曲线上的一点,若,
则________．
【答案】11
【解析】．
26．(2017年高考数学山东理科·第14题)在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】．
又,所以,
所以双曲线的渐近线方程为．
27．(2017年高考数学江苏文理科·第8题)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是______．
【答案】
解析:右准线方程为,渐近线为,则,,,,则．
28．(2017年高考数学北京理科·第9题)若双曲线的离心率为,则实数 _________．
【答案】
【解析】 ,所以 ,解得．
29．(2016高考数学山东理科·第13题)已知双曲线： (，)，若矩形的四个顶点在上，，的中点为E的两个焦点，且，则的离心率是_______．
【答案】 2
【解析】假设点在第一象限，点在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或(舍去)，所以的离心率为2．
30．(2016高考数学江苏文理科·第3题)在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．
【答案】．
解析：，因此焦距为．
31．(2016高考数学北京理科·第13题)双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则_______________．
【答案】2
解析：不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图
∵为正方形，∴，
∵直线是渐近线，方程为，∴
又∵∴．
题型六：抛物线
一、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第10题)设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为．
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误．
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确．
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误．
故选：AC．
2．(2022新高考全国II卷·第10题)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
解析：
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，又，则，D正确．
故选：ACD．
3．(2022新高考全国I卷·第11题)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
解析:将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
二、填空题
1．(2023年全国乙卷理科·第13题)已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______．
【答案】
解析：由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为．
故答案为：．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
解析:不妨设
因为，所以的准线方程为,故答案为．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13题)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解得，所以
4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14题)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
故答案为：
5．(2021高考北京·第12题)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点．若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
解析：因为抛物线的方程为，故且．
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；．
6．(2019·上海·第9题)过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.
【答案】3
【解析】依题意求得：，，设M坐标
有：，代入有：
即：.
【点评】本题主要考查平面向量、抛物线．
7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第16题)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则 ．
【答案】
解析：法一：抛物线的焦点坐标为，可设直线，
联立方程，消去并整理可得
所以，由点在抛物线上，可得，
所以，
由，可得，所以
所以
即
所以即，解得
故所求直线的斜率．
法二：抛物线的焦点，准线方程为
由依题意可知以为直径的圆与准线相切于点，故线段中点的纵坐标为
设直线，
联立方程，消去并整理可得
则有，解得
故所求直线的斜率．
8．(2014高考数学上海理科·第3题)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___．
【答案】
解析:易知焦点为,则准线方程为．
9．(2014高考数学湖南理科·第15题)如下图,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则_________．
【答案】
解析:由题可得,则,故填．
10．(2015高考数学上海理科·第5题)抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 ．
【答案】
解析：根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有．
11．(2015高考数学陕西理科·第14题)若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 ．
【答案】
解析：抛物线()的准线方程是，双曲线的一个焦点，因为抛物线()的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得，所以答案应填：．
12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与
化归思想运算求解的能力
【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴，又由定义，且，∴．
13．(2016高考数学浙江理科·第9题)若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是 ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、转化与化归能力、数形结合的数学思想．
解析：由于抛物线的焦点为，准线为，设点的坐标为，则，所以．故到轴的距离是．
14．(2016高考数学天津理科·第14题)设抛物线(为参数，)的焦点，准线为．过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设与相交于点．若，且的面积为，则的值为_____________．
【答案】
解析：x、y满足函数；，
可得：
易知，，故
，∴
题型七：圆锥曲线的综合应用
一、多选题
1.（2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第9题)已知曲线．( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第10题)已知曲线．( )
A．若m>n>0，则C椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
二、填空题
1．(2023年天津卷·第12题)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
解析：易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
2．(2015高考数学新课标1理科·第14题)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
【答案】
解析：设圆心为(，0)，则半径为，则，解得，故圆的方程为．
3．(2016高考数学四川理科·第15题)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线的“伴随曲线”，现有下列命题：
(1)若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；
(2)单元圆的“伴随曲线”是它本身；
(3)若曲线关于轴对称，则他们的“伴随曲线”关于轴对称；
(4)一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 ．
【答案】(2)，(3)
【解析】对于(1)，设 ，则的“伴随点”，
所以的“伴随点”为与不同，则(1)不对
对于(2)法一：设曲线：，的点，“伴随曲线”上上的点
则，所以，则(2)正确
法二：上的点，则仍在上，则(2)正确
对于(3)设 的“伴随点”
的“伴随点”
因为 关于轴对称，故关于轴对称，则(3)正确
对于(4)，法一：设(不过原点)
设原直线方程为，代入，
则，则有，
所以当为定值是直线，如不定值是，不是直线，则(4)错误
法二：设直线为，取四点，
则他们的“伴随点”分别为，
显然第四点不和前三点共线，则(4)错误
综上(2),(3)正确．
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