第4章 几何初步专题复习 人教版七年级数学上册课件

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综合专题讲解第四章 几何图形初步专题目录专题一：正方体的展开与折叠问题专题四：动角问题专题二：动点问题专题三：三角板与钟表中的角度问题◆类型一　找相对面问题一、回顾知识点 例1 (广东韶关期末) 如图，是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中，与“若”字相对的面上的汉字是 ( )A. 有 B. 必C. 召 D. 回B1. (重庆巴蜀中学期末) 如下图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则 x - y =_____.2y = -3，所以 x - y = 2.◆类型二　展开图与正方体对应问题例2 如图所示，正方体的展开图为 ( )A. B.C. D.A开口部分对着圆2. 下面是一个正方体的展开图，折叠后的正方体是 ( )A. B.C. D.B每条线都指着三角形每条线不相连专题二：动点问题◆类型一　无速度动点问题例3 如图，已知 B 是线段 AC 上的一点，M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AC 的中点，P 为 NA 的中点，Q 是 AM 的中点，则 BN∶PM 等于 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4xx2xyy2y分析：BN = AB - AN = 4x - 2yPM = AM - AP = 2x - yB例4 如图，O 为原点，A 表示的数为 -1，B 表示的数为 3，数轴上有一点 P，若 AP + BP = 5，求 P 点表示的数.解：因为 A 表示的数为 -1，B 表示的数为 3，①当点 P 在点 A 左边时，AP + BP = AP + AB + AP = AB + 2AP = 5，所以 AB = 3 - (-1) = 4.②当点 P 在点 A、B 中间时，AP + BP = AB = 4 (舍)解得 AP = 0.5，所以 P 表示的数为 -1.5 .③当点 P 在点 B 右边时，同理可得 P 表示的数为 3.5 .综上所述，P点表示的数为 -1.5 或 3.5 .解：设 P 点表示的数为 x.因为A 表示的数为 -1，B 表示的数为 3，所以 AP = |x - (-1)| = |x + 1|，BP = |x - 3| .因为 AP + BP = 5，所以 |x + 1| + |x - 3| = 5，解得 x = -1.5 或 x = 3.5 .所以，P 点表示的数为 -1.5 或 3.5 .特征：点的位置不确定或任意方法：①几何法：画图并分类讨论将线段长设为未知量②数轴法：将点所表示的数设为未知量3. 如图，点 C、D 是线段 AB 上任意两点，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 DB 的中点，若 AB = a，MN = b，则线段 CD 的长是 ( )A. 2b - a B. 2(a - b) C. a - b D. (a + b)A分析：CM + DN = AM + BN = AB - MN = a - b，CD = MN - (CM + DN) = b - (a - b) = 2b - a. ◆类型二　有速度动点问题例5 如图，P 是线段 AB 上任一点，AB = 12 cm，AP = 8 cm，C、D 两点分别从 P、B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速度为 2 cm/s，D 点的运动速度为 3 cm/s，运动的时间为 t s.(1) 运动 1 秒后，求 CD 的长；追及问题解：因为 AB = 12 cm，AP = 8 cm，所以 CD = 4 - (3 - 2)×1 = 4 - 1 = 3 cm.所以 PB = AB - AP = 12 - 8 = 4 cm，(2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD；方法一：解：由题意，得 CP = 2t，BD = 3t.因为 AB = 12 cm，AP = 8 cm，所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t，所以 AC = 2CD .方法二：以 A 为原点向右为正方向 1 cm为单位长构造数轴，由题意，得 A：0，P：8，B：12，C：8 - 2t，D：12 - 3t.(2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD；所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t，所以 AC = 2CD .012(3) 何时 CD = 2 cm？方法一：解：CD = |12 - 3t - (8 - 2t) | = |4 - t|， 所以 |4 - t| = 2，解得 t = 2 或 t = 6.答：运动 2 s 或 6 s 时，CD = 2 cm.方法二：两点相遇前：(3 - 2)t + (12 - 8) = 2，解得 t = 2.两点相遇后：(3 - 2)t - (12 - 8) = 2，解得 t = 6.方法：①几何法②数轴法：用未知数表示线段③代数法：看做追及或相遇问题起始位置±vt (左减右加)4. 如图，点 O 为原点，点 A 表示的数为 -3，点 B 表示的数为 1.(1) 若点 P 在数轴上，且 PA + PB = 6，则点 P 表示的数为 ；(2) 若点 M 在数轴上，且 MA∶MB = 1∶3，求点 M 表示的数为 ；-4 或 23 或 0(3) 若点 A 的速度为 5 个单位长度/s，点 B 的速度为 2 个单位长度/s，点 O 的速度为 1 个单位长度/s，A，B，O 三点同时向右运动，几秒后，点 O 恰为线段 AB 的中点.解：由题意，得 A：-3 + 5t，B：1 + 2t，O：t.解得 t = 0.4 .答：0.4s 后点 O 恰为线段 AB 的中点.专题三：重叠与钟表中的角度问题◆类型一　重叠问题例6 (安徽太湖期末) 将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD = 25°，则∠BOC 的大小为 ( )A. 165° B. 155°C. 145° D. 160°B分析：∠BOC = ∠AOC +∠BOA = ∠DOC -∠AOD +∠BOA 9. 将一个长方形纸片沿折痕 AO、DO 折叠，使其有一部分重合 (如图)，点 B 对应点 B′，点 C 对应点 C′，若∠C′OB′ = 20°，则∠AOD = .αβ∠BOB′ +∠COC′ - ∠B′OC′ =∠BOC2α + 2β - 20° = 180°α + β = 100°∠AOD = α + β - 20° = 80°80°◆类型二　钟表中的角度问题每过1小时，时针会经过 °，分针会经过 °.时针速度是 °/时，分针会经过 °/时.时针速度是 °/分，分针会经过 °/分.思考：3 时的时针与分针的夹角是 °.每一大格：360°÷12 = 30°90303603036030÷60 = 0.5°/分360÷60 = 6°/分0.56例7 (1) 3 点 45 分，时针与分针的夹角是多少？(2) 在 9 点与 10 点之间，何时时针与分针成 100° 的角？解：(1) 3 点过了45 分后，时针经过 45×0.5 = 22.5°，分针经过 6×45 = 270°.3 点 45 分，时针与分针的夹角是270° - 22.5° - 90° = 157.5°(2) 设 9 时 x 分时时针与分针成 100° 的角，由题意，得90 + 6x - 0.5x = 100，时针速度：分针速度：夹角度数=|(分钟速度-时针速度)×时间±初始度数|X 时 Y 分可看做 X 时再经过 Y 分30°/时0.5°/分360°/时6°/分6. (重庆八中期末) 当时钟指向下午 2 : 40 时，时针与分针的夹角是 度.7. 在 3 点 20 分时，时钟的分针与时针的夹角为 度，过多少分钟后它们的夹角为 130°？16020(2) 设 过 x 分钟后它们的夹角为 130° ，由题意，得(6 - 0.5)x + 20 = 130，解得 x = 20. 答：过 20 分钟后它们的夹角为 130°.专题四：动射线和动角问题◆类型一　动射线问题例8 (节选自吉林白山期末) 如果两个角的差的绝对值等于 90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1 = 120°，|∠1﹣∠2| = 90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大于 0° 且小于 180° 的角) (1) 如图 1 所示，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = 90°，则∠AOD 垂角为 　 　和 　 　；CABDE∠AOEO∠COD图 1 (2) 如图 2 所示，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = 90°，∠BOD = 30°，且射线 OC 绕点 O 以 9°/s 的速度逆时针旋转，射线 OD 绕点 O 以 6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线 OC、OD 同时运动，运动时间为 t s (0＜t＜20 )，试求当 t 为何值时，∠AOC 和∠AOD 互为垂角．CABDO分析：当射线 OC 在射线 OA 上或下面时，∠AOC 的表示方式会变化；当射线 OD 在射线 OB 上或下面时，∠AOD 的表示方式会变化.图 2解：当 OD 与 OB 重合时，t＝5 (s)， 当 OC 与 OA 重合时，t＝10 (s).∠AOC = (90 - 9t)°，∠AOD = (150 + 6t)°，CABDO由题意，得 (150 + 6t) - (90 - 9t) = 90，解得 t = 2.②当 OC 在直线 AB 上，OD 在直线 AB 下方，即 5≤t≤10 时，∠AOC = (90 - 9t)°，∠AOD = (210 - 6t)°，①当 OC、OD 在直线 AB 上方，即 0＜t＜5 时，③当 OC、OD 在直线 AB 下方，即 t＞10 时，∠AOC = (9t - 90)°，∠BOD = (210 - 6t)°，CABDO由题意，得 (210 - 6t) - (9t - 90) = 90，解得 t = 14.综上所述，当 t 为 2 或 14 时，∠AOC 和∠AOD 互为垂角.由题意，得(210 - 6t) - (90 - 9t) = 90，解得 t = -10 (舍).7. (厦门市逸夫中学期末) 如图，两条直线 AB，CD 相交于点 O，且∠AOC = 90°，射线 OM 从 OB 开始绕 O 点逆时针方向旋转，速度为 15°/s，射线 ON 同时从 OD开始绕 O 点顺时针方向旋转，速度为 12°/s．两条射线 OM，ON 同时运动，运动时间为 t 秒．(本题出现的角均小于平角)ABCMNDO(1) 当 t = 2 时，∠MON =______，∠AON =______；(2) 当 0＜t＜12 时，若∠AOM = 3∠AON - 60°．试求出 t 的值；ABCMNDO 144°66°①当 ON 在直线 AB 下方，即 0＜t≤7.5 时，∠AOM = (180 - 15t)°，∠AON = (90 - 12t)°，由题意，得 180 - 15t = 3(90 - 12t)- 60，解：当 ON 与 OA 重合时，t＝90÷12＝7.5 (s)， 当 OM 与 OA 重合时，t＝180÷15＝12 (s).②当 ON 在直线 AB 上方，即 7.5＜t＜12 时，∠AOM = (180 - 15t)°，∠AON = (12t - 90)°，ABCMNDO由题意，得 180 - 15t = 3(12t - 90) - 60，解得 t = 10.(3) 当0＜t＜6时，探究的 值，问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？解：当∠MON =180° 时，∠BOM +∠BOD +∠DON = 180°，ABCMNDO例9 (贵州铜仁期末) 沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺 (分别含 45°， 45°，90° 和 30°，60°，90° 的角) 按如图所示摆放在量角器上，边 PD 与量角器刻度线重合，边 AP 与量角器刻度线重合，◆类型二　动角问题将三角尺 ABP 绕量角器中心点 P 以每秒 10° 的速度顺时针旋转，当边 PB 与刻度线 180° 重合时停止运动，设三角尺 ABP 的运动时间为 t 秒．(1) 当 t = 5 时，∠BPD = _____；◆类型二　动角问题 85°(2) 若在三角尺 ABP 开始旋转的同时，三角尺 PCD 也绕点 P 以每秒 2° 的速度逆时针旋转，当三角尺 ABP 停止旋转时，三角尺 PCD 也停止旋转．①当 t 为何值时，边 PB 平分∠CPD；解：因为边 PB 平分∠CPD，②在旋转过程中，是否存在某时刻使∠BPD = 2∠APC，若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．解：运动前∠APC = 135°，∠BPD = 120°，135 - 2t - 10t = 2×(120 - 2t - 10t )，(1) 当 PA 在 PC 左侧时，由题意，得此时∠BPD = 30°，∠APC = 15°，所以∠BPD = 2∠APC，是成立的.(2) 当 PA 在 PC 右侧时，由题意，得135 - 2t - 10t = 2×(10t + 2t - 120)， 当 PB 在 PD 的右侧时，由题意，得10t +2t - 135 = 2×(10t + 2t - 120)，此时 PB 在 PD 的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去.11. 如图，O 为直线 AB 上一点，作射线 OC，使∠BOC = 60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 O 处，一条直角边 OP 在射线 OA 上，将图中的三角尺绕点 O 以每秒 10° 的速度按逆时针方向旋转，在旋转一周的过程中，第 t 秒时，OQ 所在直线恰好平分∠AOC，则 t 的值为 .3 或 21BAPOQC