2023年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，比−2小的数是( )
A. 2B. 0C. −1D. −3
2. 下列运算正确的是( )
A. 3a2−a2=3B. (a+b)2=a2+b2
C. (−3ab2)2=−6a2b4D. a⋅a−1=1(a≠0)
3. 中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网.其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用.22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为( )
A. 2.2×10−7B. 2.2×10−8C. 22×10−7D. 0.22×10−9
4. 如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=70°，则∠ACB的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
5. 观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF//AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 145°
D. 150°
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是( )
A. 5x−45=7x−3B. 5x+45=7x+3
C. x+455=x+37D. x−455=x−37
8. 不等式组3(x−2)≤x−43x>2x−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为cm．( )
A. 1B. 7C. 1或7D. 3或4
10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，下列结论：
①abc>0；
②b2−4ac>0；
③8a+c<0；
④方程ax2+bx=a+b+c．
正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
11. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN=AC；
③PE2+PF2=PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤
12. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=6，延长AB至D，使得BD=12AB，点P为动点，且PB=PC，连接PD，则PD的最小值为( )
A. 92B. 5C. 32D. 9
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. (−1)2+(π−3)0− 4= ______ ．
14. 如图，C、D在直径AB=4的半圆上，D为半圆弧的中点，∠BAC=15°，则阴影部分的面积是______ ．
15. 小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下：
①两人成绩的中位数相同；
②两人成绩的众数相同；
③小黄的成绩比小韦的成绩更稳定；
④两人的平均成绩不相同．
判断正确的是______ (填序号)．
16. 如图，山顶上有一个信号塔AC，已知山高CD=75米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，则信号塔AC= ______ (点A，C，D在同一条竖直线上).(参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90.)
17. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2023次输出的结果为______ ．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，BE=3，DE⊥DF，CF= 7，则EF= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题9.0分)
先化简，再求值：(yx−y−y2x2−y2)÷xxy+y2，其中x= 3+1，y= 3−1．
20. (本小题9.0分)
“好客山东”、“好客溜博”、“进淄赶烤”、“美淄淄”、“香博博”占居网络，满满的正能量.淄博有五个区，类别分为：A张店、B淄川、C博山、D临淄、E周村，为了了解游客到淄博五个区人数情况，随机抽取了部分游客进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
(l)本次调查的样本容量为______ ；统计图中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)小明、小红、小亮到五个区中的一个区旅游，他们恰好在同一区的概率是多少？
21. (本小题10.0分)
如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(−2,a)和点B(b,−1)，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的关系式；
(2)结合图象直接写出mx+n>kx中x的取值范围．
22. (本小题11.0分)
今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
23. (本小题12.0分)
如图，正方形ABCD边长为7.E、F在半径为4的⊙A上，且EA⊥FA，连接DE、BE、BF、DF．
(1)试探求线段DE、BF的数量和位置关系；
(2)求证：DF2+BE2=EF2+BD2，并求DF2+BE2的值．
24. (本小题13.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+9与x轴交于点A(−3,0)，B(6,0)，与y轴交于点C，连接BC、AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是x轴上的一个动点，连接CP，当∠CPA=12∠CBA时，求P点坐标；
(3)点D是线段AC上一点(点D与点A、C不重合)，过点D作BC的平行线交AB于点E，连接CE，求△CDE面积的最大值．
25. (本小题14.0分)
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，F为∠ABC平分线上一点，且FA⊥FC．
(1)求证：FA=FC；
(2)D为BF上一动点，且有DE⊥DC，求证：△CAE∽△CFD；
(3)如图2，若将∠ABC改为60°，∠AFC改为120°，D为∠ABC平分线BF上一点，且∠EDC始终为120°，请直接写出的AEDF值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−3|>|−2|，
∴−3<−2，
故选：D．
根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=2a2，故本选项不符合题意；
B、原式=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
C、原式=9a2b4，故本选项不符合题意；
D、原式=a⋅1a=1，故本选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.000000022=2.2×10−8．
故选：B．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：连接OA、OB，如图，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=110°，
∴∠ACB=12∠AOB=55°．
故选：B．
连接OA、OB，如图，根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，则利用四边形内角和计算出∠AOB=110°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆心角定理．
5.【答案】B
【解析】解：观察作图痕迹可知：
A.CD⊥AB，但不平分，
所以A选项不符合题意；
B.CD为△ABC的边AB上的中线，
所以B选项符合题意；
C.CD是∠ACB的平分线，
所以C选项不符合题意；
D.不符合基本作图过程，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD即可判断．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠C=65°，
∴∠B=∠C=65°，
∵DF//AB，
∴∠CDE=∠B=65°，
∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°；
故选：B．
由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=65°，由平行线的性质得出∠CDE=∠B=65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45=7x+3，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组的解，属于基础题．
分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
【解答】
解：3(x−2)≤x−4 ①3x>2x−1 ②，
由①得x≤1；
由②得x>−1；
故不等式组的解集为−1在数轴上表示出来为：
．
故选C．
9.【答案】C
【解析】解：过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=12AB=4cm，CF=DF=12CD=3cm，
在Rt△OAE中，∵OA=5cm，AE=4cm，
∴OE= 52−42=3(cm)，
在Rt△OCF中，∵OC=5cm，CF=3cm，
∴OF= 52−32=4(cm)，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7(cm)；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF−OE=4−3=1(cm)；
综上所述，EF的值为1cm或7cm，
即AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故选：C．
过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE=4cm，CF=3cm，再分别利用勾股定理计算出OE=3cm，OF=4cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF−OE=1cm．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
10.【答案】C
【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故②正确；
∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a=1，可得b=−2a，
由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，
∴4a−2×(−2a)+c<0，
即8a+c<0，故③正确；
由图象可知，当x=1时，y=a+b+c；而不是ax2+bx=a+b+c，故④错误；
∴结论正确的是②③，
故选：C．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
依据正方形的性质以及等腰直角三角形、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．
本题考查正方形的性质、矩形的判定、等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与外心．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∵在△APE和△AME中，
∠PAE=∠MAEAE=AE∠AEP=∠AEM，
∴△APE≌△AME(ASA)，故①正确；
∴PE=EM=12PM，
同理，FP=FN=12NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，
∴四边形PEOF是矩形，
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=12PM，FP=FN=12NP，OA=12AC，
∴PM+PN=AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
∴PE2+PF2=PO2，故③正确;
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；
∵OA垂直平分线段PM，OB垂直平分线段PN，
∴OM=OP，ON=OP，
∴OM=OP=ON，
∴点O是△PMN的外接圆的圆心，
∵∠MPN=90°，
∴MN是直径，
∴M，O，N三点共线，故⑤正确．
故选B．
12.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC=10，PB=PC，
∴直线AP为线段BC的垂直平分线，
当DP⊥AP时，PD由最小值，此时BC//PD，
∴∠ABC=∠D，∠AEB=∠APD，
∴△AEB∽△APD，
∴BEPD=ABAD，
∵AP垂直平分BC，BC=6，
∴BE=3，
∵AB=10，
∴BD=12AB=5，
∴AD=AB+BD=15，
∴3PD=1015，
解得PD=92，
即PD的最小值为92，
故选：A．
由线段垂直平分线的判定可知：直线AP为线段BC的垂直平分线，即可判定当DP⊥AP时，PD由最小值，此时BC//PD，再证明△AEB∽△APD，列比例式可求解PD的最小值．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，确定P点位置是解题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：原式=1+1−2
=0．
故答案为：0．
直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】23π− 3
【解析】解：设圆心为O，连接DO，CO，
∵D为半圆弧的中点，
∴∠BOD=90°，
∵∠BAC=15°，
∴∠BOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴S阴影=S扇形COD−S△COD=60π×22360−12×2×2× 32=23π− 3．
故答案为：23π− 3．
设圆心为O，连接DO，CO，根据圆周角定理得出∠BOC=30°，从而得出∠COD=60°，利用S阴影=S扇形COD−S△COD求得即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解S阴影=S扇形COD−S△COD．
15.【答案】①③
【解析】解：小韦成绩的中位数为：7+102=8.5，
小黄成绩是中位数为：8+92=8.5，
所以两人成绩的中位数相同，故①正确；
小韦成绩的众数为10环，小黄成绩的众数为9环，故②说法错误；
由折线统计图知，小黄的成绩波动幅度小，成绩更稳定，此选项正确，故③正确；
小韦成绩的平均数为6+7×2+10×36=253，小黄的平均成绩为7+8×2+9×36=253，
所以两人的平均成绩相同，故④说法错误；
所以正确的是①③．
故选：①③．
根据众数、中位数、平均数以及方差分析．
此题考查了折线统计图，中位数、众数、方差和加权平均数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16.【答案】15米
【解析】解：由题意得：AD⊥BD，
在Rt△CDB中，CD=75米，∠CBD=36.9°，
∴BD=CDtan36.9∘≈750.75=100(米)，
在Rt△ABD中，∠ABD=42.0°，
∴AD=BD⋅tan42.0°≈100×0.9=90(米)，
∴AC=AD−CD=90−75=15(米)，
故答案为：15米．
根据题意可得：AD⊥BD，先在Rt△CDB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：当x=625时，15x=125，
当x=125时，15x=25，
当x=25时，15x=5，
当x=5时，15x=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时，15x=1，
…
依此类推，以5，1循环，
(2023−2)÷2=1010……1，不能够整除，
所以输出的结果是5，
故答案为：5．
依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解集此题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：如图，延长FD至G，使GD=FD，连接BG、EG，

∵D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BDG和△CDF中，
BD=CD∠BDG=∠CDFGD=FD，
∴△BDG≌△CDF(SAS)，
∴BG=CF= 7，∠DBG=∠C，
∵DE⊥DF，GD=FD，
∴EF=EG，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠DBG=90°，
即∠EBG=90°，
∴EG= BE2+BG2= 32+( 7)2=4，
∴EF=EG=4，
故答案为：4．
延长FD至G，使GD=FD，连接BG、EG，证△BDG≌△CDF(SAS)，得BG=CF= 7，∠DBG=∠C，再由线段垂直平分线的性质得EF=EG，然后证∠EBG=90°，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式=[y(x+y)(x+y)(x−y)−y2(x+y)(x−y)]÷xy(x+y)，
=xy(x+y)(x−y)×y(x+y)x，
=y2(x−y)，
当x= 3+1，y= 3−1时，
原式=( 3−1)22=2− 3．
【解析】先将括号里面的两个分式通分，进而进行分式的减法，再将除法转化为乘法，进行约分化简，最后代入求值即可．
本题考查分式的混合运算，掌握计算法则，依据运算顺序进行计算是得出正确答案的前提．
20.【答案】120 12 36
【解析】解：(1)18÷15%=120，a=120×10%=12，b=120×30%=36，
故答案为：120，12，36；
(2)E组人数为：120−18−12−30−36=24，补全条形统计图如下：
(3)当小红选择A，小亮有5种选择，而小明又有5种选择，因此共有5×5×5=125种结果，其中三人选择同一个区的有5种，
所以小明、小红、小亮恰好在同一区的概率是5125=125，
答：小明、小红、小亮到五个区中的一个区旅游，他们恰好在同一区的概率是125．
(1)根据频率=频数总数即可求出样本容量，进而求出a、b的值；
(2)根据各组频数之和等于样本容量求出E组人数即可补全条形统计图；
(3)利用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及列表法或树状图法，掌握频率=频数总数是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的关键．
21.【答案】解：(1)∵△AOC的面积为4，
∴12|k|=4，
解得，k=−8或k=8(正值不符合题意舍去)，
∴反比例函数的关系式为y=−8x，
把点A(−2,a)和点B(b,−1)代入y=−8x得，a=−8−2=4，b=−8−1=8；
∴a=4，b=8，
把A(−2,4)和点B(8,−1)代入y=mx+n，得
4=−2m+n−1=8m+n，
解得m=−12n=3，
∴y=−12x+3；
(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n>kx的解集为x<−2或0【解析】(1)根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
(2)根据图象直接写出mx+n>kx的解集．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，三角形的面积、待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意得：
6300.9x−6001.2x=10，
解得x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
(2)由(1)可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9=18(元)，B种树苗每棵的价格为：20×1.2=24(元)，
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w=18t+24(5500−t)=−6t+132000，
∵w是t的一次函数，−6<0，
∴w随t的增大而减小，
∵t≤3500，
∴当t=3500棵时，w最小，
此时B种树苗有：5500−3500=2000(棵)，w=−6×3500+132000=111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解决问题的关键是根据题意列出相应的方程与函数关系式．
(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；
(2)分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
23.【答案】解：(1)如图，延长DE交BF于H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵EA⊥FA，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD−∠BAE=∠EAF−∠BAE，即∠DAE=∠BAF，
∵AE=AF，
∴△DAE≌△BAF(SAS)，
∴DE=BF，∠ADE=∠ABF，
∴∠ADE+∠BDH=∠ABF+∠BDH=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BDH+∠DBH=90°，
∴DH⊥BF，即DE⊥BF，
∴DE、BF的数量和位置关系是DE=BF，DE⊥BF．
(2)∵DH⊥BF，
在Rt△DHF和Rt△DHB中，DF2−FH2=DH2=BD2−BH2，
即DF2−FH2=BD2−BH2，
在Rt△FHF和Rt△FHB中，EF2−FH2=EH2=BE2−BH2，
即EF2−FH2=BE2−BH2，
将所得两个等式相减得，DF2−EF2=BD2−BE2，
即DF2+BE2=EF2+BD2，
∵AB=AD=7，
∴BD= 72+72=7 2，
∵AE=AF=4，
∴EF= 42+42=4 2，
∴EF2+BD2=(7 2)2+(4 2)2=130，
∴DF2+BE2=EF2+BD2=130．
【解析】(1)证明△DAE≌△BAF即可证明数量关系，再由全等转化∠ABH=∠ADE，证明出∠BDH+∠DBH=90°，从而证明出位置关系；
(2)利用勾股定理推导出DF2−EF2=BD2−BE2即可证明，再根据勾股定理求出BD和EF即可．
本题考查了正方形、等腰直角三角形的性质的应用，三角形的全等的证明及勾股定理的计算是解题关键．
24.【答案】解：(1)点A(−3,0)，B(6,0)分别代入y=ax2+bx+9中，得：9a−3b+9=036a+6b+9=0，
解得：a=−12b=32，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+9；
(2)由(1)求出的抛物线解析式可知点C的坐标为(0,9)，
如图1，当点P在点B右侧时，连接CP，
∵∠CBA是△CBP的外角，
∴∠CBA=∠BCP+∠CPA，
又∵∠CPA=12∠CBA，
∴∠CBA=∠BCP+12∠CBA，
∴∠BCP=12∠CBA，
∴∠BCP=∠CPA，
∴BC=BP，
∵点B(6,0)，C(0,9)，
∴BC= OB2+OC2= 62+92=3 13，
∴BP=3 13，
∴OP=OB+BP=6+3 13，
∴P点坐标为(6+3 13,0)，
当点P在x轴负半轴上时，根据对称性可知P点坐标为(−6−3 13,0)，
综上，P点坐标为：(6+3 13,0)，(−6−3 13,0)；
(3)∵抛物线解析式为y=−12x2+32x+9，
∴抛物线与y轴交点C的坐标为(0,9)，
∴OC=9，
∵点A(−3,0)，B(6,0)，
∴OA=3，OB=6，AB=9，
∴OC=AB=9，
如图，过点D作DF⊥x轴于F，
∴DE//OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴AD：AC=DF：OC，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC=AE：AB，
∴DF：OC=AE：AB，
∵OC=AB=9，
∴DF=AE，
设E坐标为(t,0)，△CDE的面积为S，
则AE=t+3，
∴DF=AE=t+3，
S=S△ACE−S△ADE=12AE⋅OC−12AE⋅DF，
即S=12(t+3)×9−12(t+3)(t+3)，
∴S=−12t2+32t+9，
∴当t−322×(−12)=32时，S最大，
此时S的最大值为818．
【解析】(1)将点A、B的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+9中得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可求出抛物线的解析式；
(2)根据等腰三角形与顶角相邻的外角等于其底角的2倍，在射线OB上作点P，使BP=CP，利用勾股定理求出BC的长即可求出一个点P的坐标，再在x轴负半轴上找出点P关于y轴的对称点即为另一个点P的坐标；
(3)先求出点C的坐标，过点D作DF⊥x轴，根据△ADF和△ACO相似、△ADE和△ACB相似得到对应边成比例，再根据OC=AB=9，可得到DF=AE，设点E的坐标为(t,0)，△CDE的面积为S，推出S关于t的函数关系式，最后求出这个二次函数的最大值即可．
本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质．
25.【答案】(1)证明：过点F作FH⊥BC于H，作FG⊥AB，交BA的延长线于G，

∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，FG⊥AB，
∴FG=FH，
∵FA⊥FC，
∴∠AFC=90°=∠ABC，
∴∠BAF+∠BCF=180°，
∵∠BAF+∠FAG=180°，
∴∠FAG=∠BCF，
又∵∠G=∠FHC=90°，
∴△FAG≌△FCH(AAS)，
∴AF=CF；
(2)证明：∵∠AFC=90°=∠ABC，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠BAC=∠BFC，
∵DE⊥DC，
∴∠EDC=∠ABC=90°，
∴点D，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC=∠BDC，
∴∠AEC=∠FDC，
∴△CAE∽△CFD；
(3)解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∵∠ABC=60°，∠AFC=120°，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠BAC=∠BFC，∠FAC=∠FBC=30°=∠FCA=∠ABF，
∴AF=CF，
∵∠ABC+∠EDC=180°，
∴点D，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC=∠BDC，
∴∠AEC=∠FDC，
∴△CAE∽△CFD，
∴AEDF=ACFC，
如图2，过点F作FN⊥AC于N，

∵AF=FC，FN⊥AC，
∴AC=2NC，
∵∠ACF=30°，FN⊥AC，
∴FC=2FN，NC= 3FN，
∴AC=2 3FN，
∴AEDF=ACFC= 3．
【解析】(1)由“AAS”可证△FAG≌△FCH，可得AF=CF；
(2)通过证明点A，点B，点C，点F四点共圆，可得∠BAC=∠BFC，通过证明点D，点E，点B，点C四点共圆，可得∠BEC=∠BDC，即∠AEC=∠FDC，可得结论；
(3)通过证明△CAE∽△CFD，可得AEDF=ACFC，由等腰三角形的性质可求解．
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形或全等三角形是解题的关键．