2023年山东省泰安市岱岳区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市岱岳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年是中国共产党建党百年，走过百年光辉历程的中国共产党，成为世界最大的马克思主义执政党，截止年月日全国共有万名中国共产党员，将“万”用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图和图，分别是一个纸杯和个纸杯叠放在一起的示意图，如图，杯子底部到杯沿底边高为，杯子沿高为，如图，个杯子叠在一起的总高度为，此情景中变量之间的函数关系为(    )

A. 正比例函数
B. 一次函数
C. 反比例函数
D. 二次函数

6.  如图，，是上直径两侧的两点，设，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后位，这是祖冲之最重要的数学贡献数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后位数字进行了统计：

那么，圆周率的小数点后位数字的众数与中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  精准扶贫战略的实施，必须形成严密的政策与法律实施体系习近平总书记在党的十九大报告中进一步强调“坚持精准扶贫、精准脱贫”去年某乡镇精准扶贫项目共获利万元，计划明年精准扶贫项目获利比去年翻一翻即为去年的倍，若设每年的平均增长率为，则以下关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：若的取值范围是，则直线与的图象有个公共点，则正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：；四边形的周长为；一定是等腰三角形；其中正确结论的序号为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  ______ ．

14.  如图，以的顶点为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，若，则的度数是______ ．

15.  ，两地相距米，甲，乙两人从起点匀速步行去点，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲，乙两人之间的距离米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，下列结论中：
甲步行的速度为米分；
乙走完全程用了分钟；
乙用分钟追上甲；
乙到达终点时，甲离终点还有米．
正确的结论有______填序号．

16.  如图，我海军舰艇在某海域岛附近巡航，计划从岛向北偏东方向的岛直线行驶测得岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，之间的距离为海里，则岛到航线的最短距离是______ 海里．

17.  在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如，，等抛物线上的“黎点”是______ ．

18.  如图，在中，，，垂足为，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
．
解不等式组：．

20.  本小题分
某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：跳绳；书法；舞蹈；足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

本次调查中，一共调查了        名同学；
条形统计图中，        ，        ；
扇形统计图中，书法所在扇形的圆心角的度数        ；
小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率用树状图或列表法解答．

21.  本小题分
如图，直线与轴，轴分别交于点、两点，与双曲线相交于、两点，过作轴于点，已知，．
求和的值；
设点是轴上一点，使得，求点的坐标．

22.  本小题分
某校为美化校园，计划在假期对教室的地砖进行更换，每间教室的面积大小相同，安排了甲、乙两个工程队完成月份施工时，甲工程队天完成了间教室的地砖铺设；乙工程队天铺完了间教室地砖后再铺设了的地砖，已知甲工程队比乙工程队每天少完成的地砖铺设．
求每间教室需要铺设地砖的面积；
月份施工时，甲、乙两个工程队各自需要完成间教室的铺砖工作由于天气炎热，甲、乙两个工程队均调整了施工速度，甲工程队每天铺设的地砖面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用天完成任务，求月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积．

23.  本小题分
在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图，，，，四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库和分别位于和上，且证明两条直路且”为背景开展数学探究．
独立思考：将上题条件中的去掉，将结论中的变为条件，其他条件不变，那么还成立吗？请写出答案并说明理由；
合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图，在正方形内有一点，过点作，点、分别在正方形的对边、上，点、分别在正方形的对边、上，那么与相等吗？并说明理由．
拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图的结论解决以下问题：
如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点与轴交于点，连接，．

求抛物线的解析式．
点是抛物线第二象限上的一个动点，当四边形面积最大时，求点此时的横坐标．
若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标．

25.  本小题分
在中，在上，且．

如图，若，，求的长度．
如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C正确，符合题意；
D.，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，逐一判断，即可解答．
本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，掌握相关的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定、的值是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：过点作，如图所示：
，
，，
，，
，
故选：．

根据平行线的性质解答即可．
此题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题可知，，
因为，是常量，，是变量，
因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数．
故选：．
根据题意列出解析式，，是常量，，是变量，直接判断即可．
此题考查一次函数的定义，根据题意列出解析式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，由是直径求出是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：圆周率的小数点后位数字中，出现的次数最多，故众数为，
第个和第个数字都是，故中位数是．
故选：．
直接根据众数和中位数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接交于点，如图，
以为直径的半圆与相切于点，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形和四边形为矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
阴影部分的面积．
故选：．
连接交于点，如图，根据切线的性质得到，再证明四边形和四边形为矩形，则，，接着证明≌得到，所以阴影部分的面积，从而根据扇形的公式计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质和扇形面积的计算．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意有：．
故选：．
根据等量关系：计划明年精准扶贫项目获利比去年翻一翻即为去年的倍，列出方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，或，故错误；
由可知，当，；当，；而，则或，故错误；
对称轴为，故正确；
如图，

当时，一次函数是直线；当时，一次函数是直线；由图可知，时，直线与的图象有个公共点，故正确；
故选：．
根据图象，可直接判断，，的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图象进行判断．
此题考查二次函数的图象和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非负，即可画出图象，重难点是一次函数中的取值范围影响一次函数和轴的交点位置，而交点个数看图直接判断即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：于点，于点，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在中，，
，
故正确；
，，，
四边形为矩形，
四边形的周长，
故正确；
点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故错误；
连接，

四边形为矩形，
，，
正方形为轴对称图形，
，
，
故正确；
故选：．
根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，即可判断；先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，即可判断；根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形，即可判断；四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断．
此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列，
依此类推，则第一列有个点，第二列有个点，，
第列有个点，则列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，
，
第个点一定在第列，由下到上是第个点，
因而第个点的坐标是，
故选：．
应先判断出第个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．
本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先算乘法，再算减法即可．
此题考查二次根式的混合运算，解题关键是先进行二次根式的乘法运算，然后将二次根式化简成最简二次根式后合并同类二次根式．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可知，是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
先从题意推出角平分线，然后根据证明≌，得到，最后直接求解即可．
此题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质，解题关键是证明全等后得到角度的数量关系直接求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可得，
甲步行的速度为：米分，故正确；
乙走完全程用的时间为：分钟，故正确；
乙追上甲用的时间为：分钟，故错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：米，故错误．
故其中正确的结论有个．
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作于，
，，，
又，
，，
，
海里，
海里，
海里，
在中，海里．
故答案为：．

根据已知度数先推出，，证明三角形为直角三角形，计算出边长，构造直角三角形根据勾股定理直接求解即可．
此题考查解决航海问题勾股定理的应用，解题关键是构造直角三角形，根据勾股定理求解．
 

17.【答案】， 

【解析】解：由题可知，“黎点”的坐标为，代入，
得，即，
解得，，
故坐标为：，．
故答案为：，
根据题意，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，得到横纵坐标的数量关系，直接将点代入函数解析式，解一元二次方程即可．
此题考查二次函数的性质，理解题意，推出点的横纵坐标关系，列出方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在上取一点，使得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
．
故答案为：．
根据作出辅助线，证明全等三角形，将转化为，根据勾股定理列方程求解即可．
此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解．
 

19.【答案】解：



；
，
解不等式，得：；
解不等式，得，
原不等式组的解集为． 

【解析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
此题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：名．
故答案为：．
，
．
故答案为：；．
．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有种，
两人恰好选到同一门课程的概率为．
用参与项课外活动的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数．
用乘以可得的值，用可得的值．
用乘以本次调查中书法所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人恰好选到同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，点的横坐标为，
直线经过点，
，解得，
直线为：，
把代入得，，
，
点在双曲线上，
，
，，
，
，
，
，
，
或． 

【解析】根据已知条件求出、、点坐标，用待定系数法求出和的值；
根据三角形面积公式求得的长，即可求得点的坐标；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 

22.【答案】解：设每间教室需要铺设地砖的面积，依题意得：
，
解得：，
答：每间教室需要铺设地砖的面积；
设乙工程队每天铺设，则甲工程队每天铺设，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
则甲工程队每天铺设的面积为：，
答：甲工程队每天各铺设地砖的面积为，乙工程队每天铺设的面积为． 

【解析】可设每间教室需要铺设地砖的面积，分别表示出甲、乙每天的铺设的面积，即可列出相应的方程；
可设乙工程队每天铺设，则甲工程队每天铺设，结合所用的时间可列出方程，求解即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．
 

23.【答案】  

【解析】解：，
理由如下：，
，
又，，
≌，
；

解：，理由如下：
如图，作交于，作交于，

，，
四边形四边形都是平行四边形，
，，
由知，，
；
解：如图，

为的中点，
，
，
，由可知，
，
设，则．
在中，，
即，
解得．
线段的长为．
故答案为：，．
根据可求出，再由，，可证明≌，则结论得出；
可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作交于，作交于，那么，，中我们已证得、全等，那么，即；
求出长，由可知，设，则将所有未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折不变性等知识，熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，代入，
，
解得：，
抛物线的解析式为；

设的表达式为，
将，代入，
，
解得：，
直线的表达式为，中，
令，则或，
点坐标为，
，
，
当面积最大时，四边形面积最大，
设点坐标为，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
，
，
当时，四边形面积最大，此时点横坐标是．


点到，距离相等，
点在的角平分线上，
设与轴交于点，过作交于点，
，，
在中，，
，
在中，，
即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
联立方程组，
解得：或，
．
 

【解析】将已知点代入函数解析式直接求解即可；
四边形面积最大即面积最大，割补法将分成两部分，最大时，则面积最大，将长度表示出来，直接求函数最大值即可；
当点到，距离相等时，即点在的角平分线上，求出角平分线解析式，直线和抛物线左侧交点即所求点．
此题考查二次函数和几何综合，解题关键是通过割补法求出不规则图形的面积，难点是将点到角两边距离相等的已知条件转化成点在角平分线上，然后直接求出角平分线的函数解析式，角平分线和抛物线左侧的交点即所求点．
 

25.【答案】解：，，
∽，
，
，
，，
，
；
，
证明：连接，

，
，
，
，
又，
∽．
，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】通过证明相似得到边的数量关系，直接求解即可；
先证明∽，再证明∽，接着证得是等腰直角三角形，最后通过三线合一直接得出即可．
此题考查相似三角形，掌握相似三角形的判定与性质，作出辅助线证明是等腰直角三角形是解题的关键．