专题26.7反比例函数与一次函数交点问题（重难点培优）-九年级数学下册尖子生培优必刷题人教版

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班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023•港南区四模）函数y＝kx﹣k与y=mx在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＜0B．m＞0C．km＞0D．km＜0
【答案】D
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
【解答】解：由图象可知双曲线过二、四象限，m＜0；
一次函数过一、三，四象限，所以k＞0．
故选：D．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质：熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2023秋•蜀山区校级期中）一次函数y1＝mx+n和反比例函数y2=kx的图象如图所示，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣2或x＞1D．﹣2＜x＜1
【答案】B
【分析】几何图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当y1＜y2，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
3．（2023•梧州二模）如图，直线y＝a（a是常数，a＞0）与双曲线y=−4x(x＜0)交于点A，与直线y＝2x+4交于点B，当△OAB面积最小时，a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】求得xA、xB，得到AB=12a−2+4a，利用三角形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵y＝a，
∴a=−4xA，a＝2xB+4，
∴xA=−4a，xB=12a−2，
∴AB=12a−2+4a，
∴S△OAB=12(12a−2+4a)⋅a=14a2−a+2=14(a2−4a+4−4)+2=14(a−2)2+1，
∵14＞0，
∴当a＝2时，S△OAB有最小值，最小值为1，
故选：B．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合题，利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，解题的关键是利用二次函数的性质解决问题．
4．（2023春•丰泽区校级期中）点A（a，b）为函数y=4x与y＝x+4的图象的交点，则1a−1b 的值为（ ）
A．1B．4C．﹣1D．﹣4
【答案】A
【分析】首先将点A（a，b）分别代入反比例函数和一次函数的解析式可得到：ab＝4，b﹣a＝4，据此可得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）是反比例函数y=4x与一次函数y＝x+4的交点，
∴b=4a，b＝a+4，
即：ab＝4，b﹣a＝4，
∴1a−1b=b−aab=1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将反比例函数与一次函数的交点坐标代入函数的解析式求出ab＝4，b﹣a＝4，以及整体思想的应用．
5．（2023•德庆县一模）如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2=2x的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＞2 或﹣1＜x＜0
C．﹣1＜x＜2D．x＞2或x＜﹣1
【答案】B
【分析】当y1＞y2时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方；由图知：符合条件的函数图象有两段：①第一象限，x＞2时，y1＞y2；②第三象限，﹣1＜x＜0时，y1＞y2．
【解答】解：从图象上可以得出：
在第一象限中，当x＞2时，y1＞y2成立；
在第三象限中，当﹣1＜x＜0时，y1＞y2成立．
所以使y1＞y2的x的取值范围是x＞2或﹣1＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
6．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
【答案】C
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y=kx的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
7．（2023•历城区模拟）如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，6）和点B（3，2）．当ax+b＜kx时，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3
C．0＜x＜1D．0＜x＜1或x＞3
【答案】D
【分析】依题意可知，问题转化为：当一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围．
【解答】解：由两函数图象交点可知，当x＝1或3时，ax+b=kx，
当0＜x＜1或x＞3时，ax+b＜kx．
故选：D．
【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质．关键是根据图象求出ax+b＜kx时，对应的x的值．
8．（2022•呼和浩特模拟）在平面直角坐标系中直线y＝x+2与反比例函数 y=−kx的图象有唯一公共点，若直线y＝x+m与反比例函数y=−kx的图象有2个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．﹣2＜m＜2C．m＜﹣2D．m＞2或m＜﹣2
【答案】D
【分析】根据反比例函数的对称性即可得知：直线y＝x﹣2与反比例函数y=−kx的图象有唯一公共点，结合函数图象即可得出当直线y＝x+m在直线y＝x+2的上方或直线y＝x+m在直线y＝x﹣2的下方时，直线y＝x+m与反比例函数y=−kx的图象有2个公共点，由此即可得出m的取值范围．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：直线y＝x﹣2与反比例函数y=−kx的图象有唯一公共点，
∴当直线y＝x+m在直线y＝x+2的上方或直线y＝x+m在直线y＝x﹣2的下方时，直线y＝x+m与反比例函数y=−kx的图象有2个公共点，
∴m＞2或m＜﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数的对称性找出直线y＝x﹣2与反比例函数y=−kx的图象有唯一公共点是解题的关键．
9．（2023秋•温江区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=mx(m≠0)图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式kx+b≤mx的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2D．﹣1≤x＜0或x≥2
【答案】D
【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y=mx(m≠0)图象下方时x的取值即可．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象不在反比例函数y=mx(m≠0)图象上方时，x的取值范围是：﹣1≤x＜0或x≥2，
∴不等式kx+b≤mx的解集是：﹣1≤x＜0或x≥2，
故选：D．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
10．（2022秋•安化县期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x−1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1=kx（k＞0，x＞0），y2=2kx（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（ ）
A．2B．32C．1D．12
【答案】A
【分析】由反比例k的几何意义可得S△OCE=12k，设D（x，2kx），所以S△BOD=−12x，再由已知可得12k=−12x，求得D（﹣k，﹣2），再将点D代入y=12x﹣1即可求k的值．
【解答】解：由题意可求B（0，﹣1），
∵直线y=12x﹣1与y1=kx交于点C，
∴S△OCE=12k，
设D（x，2kx），
∴S△BOD=12×1×（﹣x）=−12x，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴12k=−12x，
∴k＝﹣x，
∴D（﹣k，﹣2），
∵D点在直线y=12x﹣1上，
∴﹣2=−12k﹣1，
∴k＝2，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质；熟练掌握反比函数的k的几何意义，函数上点的特征是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=2x的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【答案】（﹣1，﹣2）．
【分析】把A（1，a）代y=2x，可得a＝2，可得A（1，2），再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．
【解答】解：把A（1，a）代y=2x，可得a＝2，
∴A（1，2），
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
12．（2023秋•永州期中）反比例函数y=3x（x＞0）与正比例函数y=13x的交点坐标为 （3，1） ．
【答案】（3，1）．
【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：由y=3xy=13x解得x=3y=1或x=−3y=−1，
∵x＞0，
∴反比例函数y=3x（x＞0）与正比例函数y=13x的交点坐标为（3，1），
故答案为（3，1）．
【点评】此题考查的是正比例函数和反比例函数的交点问题，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，也是基本的方法，需熟练掌握．
13．（2023秋•泰山区期中）如图，直线y＝ax与双曲线y=kx交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝6，则k的值是 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】先求出△AMO的面积，再根据反比例函数中k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：因为直线y＝ax与双曲线y=kx交于A、B两点，
所以A，B两点关于坐标原点成中心对称，
即OA＝OB，
所以S△AMO＝S△BMO．
又因为S△AMB＝6，
所以S△AMO=12×6=3．
所以|k|2=3，
解得k＝±6．
又反比例函数图象位于第二、四象限，
所以k＜0，
所以k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中k的几何意义及正比例函数和反比例函数图象的对称性是解题的关键．
14．（2023秋•温江区校级期中）如图，直线y＝mx+1交y轴于点A，交反比例函数y=1x于点B（﹣1，a），以AB为边的正方形ABCD的顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y=kx(x≤0)上，则k的值为 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】作DE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，先求得A、B的坐标，然后通过证得△AED≌△BFA（AAS），得到AE＝BF＝1，DE＝AF＝2，即可求得D（﹣2，2），代入y=kx(x≤0)即可求得k的值．
【解答】解：作DE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，
∵反比例函数y=1x过点B（﹣1，a），
∴﹣1×a＝1，
∴a＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣1），
∴BF＝1，OF＝1，
令x＝0，则y＝mx+1＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1，
∴AF＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠DAE+∠BAF＝90°，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠AED＝∠BFA＝90°，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE＝BF＝1，DE＝AF＝2，
∴OE＝2，
∴D（﹣2，2），
∵顶点D在双曲线y=kx(x≤0)上，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得点D的坐标是解题的关键．
15．（2023秋•崇明区期中）如图，已知正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．当点D的纵坐标为9时，则△AEP的面积是 163 ．
【答案】163．
【分析】先求出正比例函数的表达式为y＝1.5x，反比例函数的表达式为y=6x，再求出点D（6，9），点A（23，9），点E（23，1），则AE＝8，过点P作PH⊥AB于H，则PH=43，进而由三角形的面积公式可求出△AEP的面积．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P（2，3），
∴3＝2k1，k2＝2×3，
解得：k1＝1.5，k2＝6，
∴正比例函数的表达式为y＝1.5x，反比例函数的表达式为y=6x，
∵点D为正比例函数为y＝1.5x图象上一点，且纵坐标为9，
∴9＝1.5x，
解得：x＝6，
即点D（6，9），
∵DQ⊥y轴交反比例函数图象于点A，
∴点A的纵坐标为9，
∴9=6x，
解得x=23，
即点A（23，9），
∵AB⊥x轴交正比例函数y＝1.5x的图象于点E，
∴点E的横坐标为23，
∴y＝1.5×23，
解得y＝1，
∴点E（23，1），
∴AE＝9﹣1＝8，
过点P作PH⊥AB于H，如图所示：

∵点P（2，3），则PH＝2−23=43，
∴S△AEP=12AE•PH=12×8×43=163．
故答案为：163．
【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，准确地用点的坐标表示出相关线段是解决问题的关键．
16．（2023•长汀县模拟）如图，直线AB与反比例函数y=kx交于点A（3，﹣1），与y轴交于点B（0，2），点C为线段AB（不含端点）上一动点，过点C作CD∥y轴交反比例函数于点D，点E为线段CD的中点，已知点F为x轴负半轴上的动点，连接BF，当点F运动到BF⊥BE，且BF＝BE时，点F的坐标为 （−114，0） ．
【答案】（−114，0）．
【分析】过点E作EM⊥y轴，构造全等三角形，则OF＝BM，利用OB＝2和直线AB解析式以及反比例函数解析式，求出点C、D、E的纵坐标，从而得到线段CE长，CE＝OM，
利用BM＝OM+OB得到BM长，即是OF长，依据点F在x轴的负半轴可写出点F的坐标．
【解答】解：∵点A（3，﹣1）在函数y=kx上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数解析式为：y=−3x，
∵点A（3，﹣1）点B（0，2）在直线AB上，设直线AB的解析式为y＝kx+b，
3k+b=−1b=2，k=−1b=2，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2．
过点E作EM⊥y轴，垂足为M，
∵BF⊥BE，且BF＝BE时，
∴△BFO≌△EBM（AAS），
∴OB＝ME＝2，BM＝OF，
∵CD∥y轴，
∴点C、E、D的横坐标都为2，
∴C（2，0），D（2，−32），
∵E为CD的中点，
∴E（2，−34），
∴BM＝OM+OB=34+2=114，
∴OF=114，
∵点F在x轴的负半轴上，
∴F（−114，0）．
故答案为：（−114，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，构造全等是本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋•兴宾区期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△DOC的面积；
【答案】（1）为 y=4x；（2）7.5．
【分析】（1）把C（1，4）代入y=kx求出k＝4，把（4，m）代入y=4x求出m即可；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出解析式，求出a＝﹣1，b＝5，得出一次函数的解析式，把y＝0代入y＝﹣x+5求出x＝5，得出OA＝5，根据△OCD的面积S＝S△COA﹣S△DOA代入求出即可．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入y=kx，得k＝4，
反比例函数的表达式为：y=4x；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得a+b=44a+b=1，
解得a＝﹣1，b＝5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
∴OA＝5，
∴S△DOC＝S△COA﹣S△DOA=12×5×4−12×5×1＝7.5．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求三角形的面积等知识点的应用，用了数形结合思想．
18．（2023•庐阳区一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式kx+b＜mx的解集；
（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．
【答案】（1）m＝8，n＝﹣4；
（2）x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）△AOB的面积为15．
【分析】（1）把A，B坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出m，n的值；
（2）观察函数图象，结合（1）可得不等式的解集；
（3）待定系数法可求出直线AB解析式，从而可得C的坐标，即可得到△AOB的面积．
【解答】解：（1）把A（1，8）代入y=mx得：
8=m1，
∴m＝8，
∴y=8x，
把B（n，﹣2）代入y=8x得：
﹣2=8n，
解得n＝﹣4，
∴m＝8，n＝﹣4；
（2）由（1）知，A（1，8），B（﹣4，﹣2），
观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜1，
∴不等式kx+b＜mx的解集为x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）如图：
将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b得：
k+b=8−4k+b=−2，
解得k=2b=6，
∴y＝2x+6，
将x＝0代入y＝2x+6得：y＝6，
∴C（0，6），即OC＝6，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×6×1+12×6×4＝15，
∴△AOB的面积为15．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用．
19．（2023秋•包河区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（﹣1，6），B(3a，a−3)．与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式mx＜kx+b＜0的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=−6x．一次函数解析式为y＝﹣2x+4．
（2）不等式mx＜kx+b＜0的解集是2＜x＜3．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式；
（2）利用一次函数的解析式求得点C的坐标，然后观察图象求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6）在反比例函数y=mx的图象上，
∴m＝﹣1×6＝﹣6．
∴反比例函数解析式为y=−6x．
∵点B在反比例函数图象上，
∴3a(a−3)=−6．
∴a＝1．
∴B（3，﹣2）．
∵点A（﹣1，6），B（3，﹣2）在一次函数 y＝kx+b 的图象上，
∴−k+b=63k+b=−2．
解得k=−2b=4．
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4．
（2）由直线y＝﹣2x+4可知C（2，0），
观察图象，不等式mx＜kx+b＜0的解集是2＜x＜3．
【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数与不等式（组），主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
20．（2023秋•高新区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数y2=kx的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数y2=kx图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式y1＜y2的解集．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=10x；
（2）点P的坐标为（52，4）或（−52，−4）；
（3）不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣2或0＜x＜5．
【分析】（1）先求出点B坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据题中两个三角形的面积关系，可得出点P的纵坐标的绝对值，据此可解决问题．
（3）利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）因为点B在直线AB上，
所以m﹣3＝﹣5，
解得m＝﹣2．
故点B坐标为（﹣2，﹣5）．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝﹣2×（﹣5）＝10，
所以反比例函数的解析式为y=10x．
（2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，
y=x−3y=10x，
解得x=−2y=−5或x=5y=2．
故点A坐标为（5，2）．
又S△POC＝2S△AOC，
即12×OC×|yP|=2×12×OC×|yA|，
所以|yP|＝4，
故点P纵坐标为4或﹣4．
将y＝4代入y=10x得，
x=52．
将y＝﹣4代入y=10x得，
x=−52．
所以点P的坐标为（52，4）或（−52，−4）．
（3）根据函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜5时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即y1＜y2．
即不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣2或0＜x＜5．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，巧妙的利用数形结合的思想是解题的关键．
21．（2023秋•沈阳期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知点A的坐标是（2，3），BC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式．
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
（3）点P为反比例函数y=mx在第一象限图象上的一点，若S△POC＝3S△ABC，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=6x，y＝x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）P（35，10）．
【分析】（1）待定系数法求一次函数和反比例函数解析式即可；
（2）根据图像直接写出不等式kx+b＞mx的解集即可；
（3）先计算出三角形ABC的面积，后设点P的坐标为（m.6m），根据面积的等量关系建立关于m的方程解出即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=mx上，
∴m＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为：y=6x，
∵BC＝2，
∴B（﹣3，﹣2）；
∵点A（2，3）、B（﹣3，﹣2）在一次函数y＝kx+b图象上，
2k+b=3−3k+b=−2，
解得k=1b=1，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
（2）根据图象，不等式kx+b＞mx的解集为：﹣3＜x＜0或x＞2．
（3）S△ABC=12×OC×（xA﹣xB）=12×2×5=5，
设点P的坐标为（m，6m），
S△POC=12×3×6m=3S△ABC＝15，
∴9m=15，
∴m=35，
∴P（35，10）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数的解析式．
22．（2023•大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y=kx的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y=2x；
（2）32；
（3）t＜0或1＜t＜2．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）解析式联立，解方程组求得点B的坐标，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），
∴2＝﹣1+m，2=k1，
∴m＝3，k＝2，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y=2x；
（2）由y=−x+3y=2x，解得x=1y=2或x=2y=1，
∴B（2，1），
设一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点为C，则C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×3×2−12×3×1=32；
（3）观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t＜0或1＜t＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
23．（2023秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，记函数y=mx(x＞0)的图象为G，直线l：y=−12x+b经过A（2，3），与图象G交于B，C两点．
（1）求b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在B，C之间的部分与线段BC围成的区域（不含边界）为W．
①当m＝2时，区域W内的整点个数为 6 个；
②各区域W内恰有4个整点，结合函数图象，m的取值范围为 3≤m＜4 ．
【答案】（1）4；（2）①6；②3≤m＜4．
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数关系式可得答案；
（2）①结合图象分析可得答案；
②考虑临界位置，结合图象得出答案．
【解答】解：（1）∵直线y=−12x+b经过点A（2，3），
∴−12×2+b=3，
解得b＝4，
所以b＝4；
（2）①如图所示，区域W内的整点有（1，3），（2，2），（3，2），（3，1），（4，1），（5，1），共6个．
故答案为：6；
②当m＝3时，区域W内有4个整点，如图所示．
当m＜4时，区域W内有4个整点，如图所示．
所以区域W内有4个整点，m的取值范围是3≤m＜4．
故答案为：3≤m＜4．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数（反比例函数）关系式，理解新定义等，确定临界点是解题的关键．