2022-2023学年甘肃省高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A=−3,−1,2,6，B=xx>0，则A∩B=( )
A. {2,6}B. {−3,−1}C. {−1,2,6}D. {−3,−1,2}
2.“x2−x−6>0”是“x<−5”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.复数(−1+2i)(3−i)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.sin145∘cs35∘=( )
A. −sin70∘B. −12sin70∘C. sin70∘D. 12sin70∘
5.若正方形ABCD的边长为2，则AD−AB+BD=( )
A. 4 2B. 2 2C. 2D. 22
6.若x0是方程2x=12−3x的解，则x0∈( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则V=( )
A. 20π3B. 6πC. 16π3D. 8π
8.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.甘肃省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年历次人口普查城镇人口比重图如图所示，则( )
A. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为40.01%
B. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的中位数为22.04%
C. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的第三四分位数为36.12%
D. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的平均数大于25%
10.某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选1瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则( )
A. 事件A和事件B是对立事件B. 事件A和事件C是对立事件
C. P(B+C)=P(C)D. P(BC)=P(C)
11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3,b=4，锐角C满足sin C= 154，则( )
A. △ABC的面积为3 15B. csC=14
C. c= 19D. csB= 1919
12.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=BA= 2，AC=2，AA1=3，点E在棱AA1上，AE=1，D是A1C1的中点，则( )
A. 三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积为3 2+3
B. 三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积为13π
C. B1C1//平面BCD
D. CE⊥平面B1DE
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=lg5x+1，则f(−5)=__________.
14.已知sinα=−2csα，则tan(α+π4)=__________.
15.已知函数y=cs2ωx(ω>0)在−π4,π6上的最小值为14，则ω的值为__________.
16.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−π3×3=π.在底面为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD= 2PA，PC与底面ABCD所成的角为π6，在四棱锥P−ABCD中，顶点B的曲率为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
证明：以A(1,2)，B(3,6)，C(0,5)，D(−1,3)为顶点的四边形是直角梯形．
18.(本小题12分)
已知复数z1=1+i，z2=2+mim∈R.
(1)若z2z1为纯虚数，求m；
(2)若z2z1∈R，求3z1+iz2的实部与虚部之和．
19.(本小题12分)
已知cs (α+β)=13，sin αsin β=14.
(1)求cs αcs β；
(2)求cs (2α−2β).
20.(本小题12分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB=b2+c.
(1)求A；
(2)若AD为△ABC的角平分线，AD=2，且2sinB=sinC，求△ABC的周长．
21.(本小题12分)
如图1，正方形ABCD和正方形EFGH的中心重合，AB=3EF=6，HG//CD，I、J、K、L 分别为AD、AB、BC、CD的中点，将图中的四块阴影部分裁剪下来，然后将△HEI、△EFJ、△FGK、△GHL分别沿着HE、EF、FG、GH翻折，使得点I、J、K、L与点P重合，得到如图2所示的四棱锥P−EFGH.

(1)求直线PE与底面EFGH所成角的余弦值；
(2)若M为PF的中点，求M到平面PGH的距离．
22.(本小题12分)
某高校的入学面试中有A，B，C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是12，13，14.
(1)求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；
(2)求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集及其运算，属于基础题.
由交集的概念进行运算即可.
【解答】
解：∵A=−3,−1,2,6 ，B=xx>0 ，
∴A∩B=2,6 .
故选：A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的包含关系和充分必要条件的定义等基础知识，属于基础题.
解不等式，由集合的包含关系和充分必要条件的定义判断结论.
【解答】
解：不等式 x2−x−6>0 的解集 A=xx<−2 或 x>3 ，设集合 B=xx<−5 ，
由 B ⫋ A ，所以“ x2−x−6>0 ”是“ x<−5 ”的必要不充分条件．
故选：C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的乘法运算，属于基础题.
利用复数的乘法化简，由复数的几何意义求对应的点所在象限.
【解答】
解：因为 −1+2i3−i=−1+7i ，
所以 −1+2i3−i 在复平面内对应的点为 −1,7 ，位于第二象限．
故选：B.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
利用诱导公式和倍角公式化简.
【解答】
解： sin145∘cs35∘=sin180∘−35∘cs35∘=sin35∘cs35∘=12sin70∘ .
故选：D
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，属于基础题.
根据平面向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：由正方形 ABCD 的边长为2，则 BD=2 2 ，
所以 AD−AB+BD=BD+BD=2BD=4 2 .
故选：A.

6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性及零点存在定理，属于基础题.
先判断函数 f(x) 的单调性，再利用零点存在性定理即可求出解所在的区间.
【解答】
解：因为函数 f(x)=2x+3x−12 在R上单调递增，
又 f(2)=22+6−12=−2<0 ， f(3)=23+9−12=5>0 ，
所以函数 f(x) 的零点所在区间是 (2,3) ，即 x0∈(2,3) .
故选：C.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查球的体积公式与圆柱的体积公式，属于基础题.
由题意知球体的体积与水的体积之和为底面半径是2高为4的圆柱体的体积，列出方程解出即可.
【解答】
解：由题可知 4π×233+V=π×22×4 ，
解得 V=16π3 .
故选：C.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型相关知识，属于基础题.
利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【解答】
解：由题意，分别用 a1,a2,b1,b2,c1,c2 表示6只手套，
从中随机地取出2只，包含 a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,c1,a1,c2,a2,b1,a2,b2 ， a2,c1,a2,c2,b1,b2,b1,c1,b1,c2,b2,c1,b2,c2,c1,c2 ，共有15种，
其中取出的手套中一只左手套一只右手套，但不是一双手套，
包含 a1,b2,a1,c2,a2,b1,a2,c1,b1,c2,b2,c1 ，共有6种，
所以所求概率为 P=615=25 .
故选：B.
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查百分位数，极差，平均数，中位数，属于基础题.
根据极差判断A，根据中位数的定义判断B，根据第三四分位数计算法则判断C，计算平均数判断D.
【解答】
解：甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为52.23%−11.13%=41.1%，A错误；
这组数据从小到大排列依次为11.13%，12.22%，15.34%，22.04%，24.01%，36.12%，52.23%，则这组数据的中位数为22.04%，B正确；
因为7×75%=5.25，所以这组数据的第三四分位数为36.12%，C正确；
平均数为17(11.13%+12.22%+15.34%+22.04%+24.01%+36.12%+52.23%)=173.09%7<25%，D错误.
故选：BC.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、事件的包含关系等，属于基础题.
根据对立事件判断A，B选项，根据事件的包含关系判断C，D选项.
【解答】
解：因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误，
事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C互斥且和事件为必然事件，所以事件A和事件C是对立事件，B正确．
因为B⊆C，所以P(B+C)=P(C)，C选项正确；
P(BC)=P(B)故选：BC.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系以及余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.
由三角形的面积公式，可判定A错误；由同角三角函数的基本关系式，可判定B正确；由余弦定理，可判定C正确，D错误.
【解答】
解：在△ABC中，因为a=3,b=4，且sinC= 154，
由三角形的面积公式，可得S△ABC=12absinC=12×3×4× 154=3 152，所以A错误；
由C为锐角，且sinC= 154，可得csC= 1−sin2C=14，所以B正确；
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=9+16−2×3×4×14=19，
可得c= 19，所以C正确；
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=9+19−162×3× 19=2 1919，所以D不正确.
故选：BC.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查棱柱的侧面积和外接球的表面积，线面平行及垂直的判定，属于中档题.
对于A，直接求解侧面积即可，对于B，判断出△ABC为直角三角形，然后根据已知直接求解外接球的半径，从而可求出其表面积，对于C，由棱柱的性质和线面平行的判定分析判断，对于D，由题意可证得B1D⊥平面AA1C1C，从而有B1D⊥CE，再由勾股定理的逆定理可得CE⊥DE，然后由线面垂直的判定定理可证得结论.
【解答】
解：对于A，因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=BA= 2，AC=2，AA1=3，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积为 2+ 2+2×3=6 2+6，所以A错误，
对于B，因为BC=BA= 2，AC=2，所以BC2+BA2=AC2，
所以△ABC为以B为直角顶点的等腰直角三角形，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的外接球半径r= 12+322= 132，
所以外接球的表面积为13π，所以B正确，
对于C，因为B1C1//BC，B1C1⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，所以B1C1//平面BCD，所以C正确，
对于D，由已知得A1B1=B1C1，又D是A1C1的中点，所以B1D⊥A1C1，
因为侧棱AA1⊥平面A1B1C1，B1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1D，
因为AA1∩A1C1=A1，AA1,A1C1⊂平面AA1C1C，所以B1D⊥平面AA1C1C，
因为CE⊂平面AA1C1C，所以B1D⊥CE，
因为AE=1,AC=2,AA1=3，
所以CE= 5,DE= 5,CD= 10，
则CE2+DE2=CD2，所以CE⊥DE.
因为DE∩B1D=D，DE,B1D⊂平面B1DE，
所以CE⊥平面B1DE，所以D正确，
故选：BCD.
13.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.
利用函数的奇偶性和区间内的函数解析式求值.
【解答】
解： f(x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时， f(x)=lg5x+1 ，
则有 f(−5)=−f(5)=−lg55+1=−2 .
故答案为：−2
14.【答案】−13
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切公式，属于基础题.
根据同角的三角函数关系求得 tanα=−2 ，再根据两角和的正切公式即可求得答案.
【解答】
解：由 sinα=−2csα 可知 tanα=−2 ，
则 tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−2+11+2=−13 ，
故答案为： −13
15.【答案】43
【解析】【分析】
本题考查由余弦型函数的最值求参，属于中档题.
对函数化简得 y=12(1+cs2ωx) ，由 x 的范围，求得 2ωx 的范围，则由题意可知 y=cs2ωx 在 2ωx∈−πω2,πω3 取得最小值 −12 ，从而可得关于 ω 的不等式(方程)组，进而可求得结果.
【解答】
解： y=cs2ωx=12(1+cs2ωx) ，又 x∈−π4,π6 ，所以 2ωx∈−πω2,πω3 .
因为 y=12(1+cs2ωx) 取得最小值 14 ，所以 y=cs2ωx 取得最小值 −12 ，
因为 2ωx∈−πω2,πω3 ， ω>0 ，
所以 πω3≤2π3−πω2=−2π3ω>0 ，或 −πω2≥−2π3πω3=2π3ω>0 ，
解得 ω=43 .
故答案为： 43.
16.【答案】3π4
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的性质，直线与平面所成的角，属于一般题.
根据线面角定义可知 ∠PCA=π6 ，设 PA=1 ，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点 B 处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果.
【解答】
解：设 PA=1 ，则 AD= 2PA= 2 ，
∵PA⊥ 平面 ABCD ，
∴∠PCA 即为 PC 与底面 ABCD 所成角，即 ∠PCA=π6 ，
∴PC=PAsinπ6=2 ， AC=PAtanπ6= 3 ，
∴AB= AC2−BC2= AC2−AD2=1 ， ∴tan∠PBA=PAAB=1 ， ∴∠PBA=π4 ；
∵PA⊥ 平面 ABCD ， BC⊂ 平面 ABCD ， ∴PA⊥BC ，
又 BC⊥AB ， PA∩AB=A ， PA,AB⊂ 平面 PAB ， ∴BC⊥ 平面 PAB ，
∵PB⊂ 平面 PAB ， ∴PB⊥BC ，即 ∠PBC=π2 ，又 ∠ABC=π2 ，
∴ 顶点 B 的曲率为 2π−π4−π2−π2=3π4 .
故答案为： 3π4 .
17.【答案】证明：由题意得 AB=(2,4) ， AD=(−2,1) ， DC=(1,2) ，则 AB=2DC ，
得 AB//DC 且 AB=2DC ，则四边形 ABCD 为梯形．
因为 AB⋅AD=−2×2+1×4=0 ，所以 AB⊥AD .
故以 A(1,2) ， B(3,6) ， C(0,5) ， D(−1,3) 为顶点的四边形是直角梯形．

【解析】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
利用向量的坐标运算，证明 AB//DC 且 AB=2DC ，再证明 AB⊥AD ，可得结论.
18.【答案】解：(1)因为 z1=1+i,z2=2+mi ，
所以 z2z1=2+mi1+i=(2+mi)(1−i)(1+i)(1−i)=(2+m)+(m−2)i2 ，
由 z2z1 为纯虚数，得 2+m=0m−2≠0 ，解得 m=−2 .
故 m=−2 .
(2)由(1)可知 z2z1=(2+m)+(m−2)i2 ，
由 z2z1∈R ，得 m−2=0 ，解得 m=2 .则 z2=2+2i ，
所以 3z1+iz2=3+3i+2i−2=1+5i ，
所以 3z1+iz2 的实部为1，虚部为5，即实部与虚部之和为 1+5=6 .

【解析】 本题考查复数的除法运算，复数的概念与分类，属于中档题.
(1)先计算 z2z1=(2+m)+(m−2)i2 ，从而可得 2+m=0m−2≠0 ，求解即可；
(2)由题意可得 m−2=0 ，解得 m=2 ，从而可计算 3z1+iz2=1+5i ，进而可求解.
19.【答案】解：(1)因为 cs (α+β)=cs αcs β−sin αsin β=cs αcs β−14=13 ，
所以 cs αcs β=13+14=712 .
(2)因为 cs (α−β)=cs αcs β+sin αsin β=712+14=56 ，
所以 cs (2α−2β)=cs 2(α−β)=2cs2(α−β)−1=2×2536−1=718 .

【解析】本题考查两角和与差的余弦公式及二倍角公式，属于基础题.
(1)根据两角和的余弦公式运算求解；
(2)根据两角差的余弦公式可得 cs(α−β)=56 ，再结合倍角公式运算求解.
20.【答案】解：(1)由正弦定理得 sinAcsB=sinB2+sinC ，
即 2sinAcsB=sinB+2sinC .
因为 sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB ，
所以 sinB+2csAsinB=0 .
因为 sinB≠0 ，所以 csA=−12 .
又 A∈0,π ，则 A=2π3 .
(2)因为 2sinB=sinC ，所以 2b=c .
由 S△ABD+S△ACD=S△ABC ，得 12c⋅AD⋅sin ∠BAD+12b⋅AD⋅sin ∠DAC=12bcsin ∠BAC ，
得 c+b=12bc .又 2b=c ，解得 b=3 ， c=6 ，
则 a= b2+c2−2bccs ∠BAC= 9+36−2×3×6×cs 2π3=3 7 ，
所以 △ABC 的周长为 6+3+3 7=9+3 7 .

【解析】本题考查正弦定理及三角形的面积公式，利用余弦定理解三角形，属于中档题.
(1)由 acsB=b2+c ，利用正弦定理得到 sinAcsB=sinB2+sinC ，再利用两角和的正弦公式求解；
(2)由 2sinB=sinC ，得到 2b=c ，然后由 S△ABD+S△ACD=S△ABC 求得b，c，再利用余弦定理求解.
21.【答案】解：(1)如图1，取 HE 的中点 N ，连接 IN .
如图2，连接 EG 、 HF ，设 EG 、 HF 的交点为 O ，连接 PO .

由题意得 HI=EI ，所以， PE=IE= IN2+EN2= 22+12= 5 .
因为 PE=PF=PG=PH ，四边形 EFGH 为正方形，则四棱锥 P−EFGH 为正四棱锥，
又因为 EG∩HF=O ，所以， PO⊥ 平面 EFGH ，
所以， PE 与底面 EFGH 所成的角为 ∠PEO .
因为 EF=2 ，则 EG= 2EF=2 2 ，所以， EO=12EG= 2 ，
因为 PO⊥ 平面 EFGH ， EO⊂ 平面 EFGH ，所以， PO⊥EO ，
所以， cs∠PEO=EOPE= 2 5= 105 .
(2)因为 M 为 PF 的中点，所以， M 到平面 PGH 的距离等于 F 到平面 PGH 的距离的 12 .
设 F 到平面 PGH 的距离为 h ，由题意得 S△PHG=S△HEI=12HE⋅IN=12×22=2 ，
S△FGH=12HG⋅FG=12×22=2 ， PO= PE2−EO2= 5−2= 3 .
因为 VF−PHG=13S△PHG⋅h=VP−FGH=13S△FGH⋅PO ，所以， h=S△FGH⋅POS△PHG=2× 32= 3 .
故 M 到平面 PGH 的距离为 32 .

【解析】本题考查点到平面的距离与直线与平面所成角等，属于较难题.
(1)如图1，取 HE 的中点 N ，连接 IN ，如图2，连接 EG 、 HF ，设 EG 、 HF 的交点为 O ，连接 PO ，分析可知四棱锥 P−EFGH 为正四棱锥，且有 PO⊥ 平面 EFGH ，则直线 PE 与底面 EFGH 所成角为 ∠PEO ，求出 EO 、 PE 的长，即可求得 ∠PEO 的余弦值，即为所求；
(2)分析可知 M 到平面 PGH 的距离等于 F 到平面 PGH 的距离的 12 ，利用等体积法求出点 F 到平面 PGH 的距离，由此可得出点 M 到平面 PGH 的距离.
22.【答案】解：(1)设事件 D 为李明第一环节抽中 A 题，且第一环节通过面试.
由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为 13 ，
所以 PD=13×12=16 .
(2)方法一：设事件 E 为李明第一环节通过面试，
则 PE=13×12+13×13+13×14=1336 .
设事件 F 为李明面试失败，李明答题情况如下：
A 题错 B 题错 C 题错， A 题错 C 题错 B 题错，
B 题错 A 题错 C 题错， B 题错 C 题错 A 题错，
C 题错 A 题错 B 题错， C 题错 B 题错 A 题错.
所以 PF=13×12×6×12×23×34=14 .
故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为 1−PE−PF=718 .
方法二：设事件 E 为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下：
A 题错 B 题对， A 题错 C 题对， B 题错 A 题对，
B 题错 C 题对， C 题错 A 题对， C 题错 B 题对.
所以 PE=13×12×12×13+12×14+23×12+23×14+34×12+34×13=1772 .
设事件 F 为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下：
A 题错 B 题错 C 题对， B 题错 A 题错 C 题对，
A 题错 C 题错 B 题对， C 题错 A 题错 B 题对，
B 题错 C 题错 A 题对， C 题错 B 题错 A 题对.
所以 PF=13×12×2×12×23×14+2×12×34×13+2×34×23×12=1172 .
故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为 PE+PF=718 .

【解析】本题考查对立事件的概率公式及相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.
(1)利用积事件的概率公式求解即可.
(2)利用对立事件或者直接分类求解.