2022-2023学年广东省茂名市信宜市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省茂名市信宜市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=1−2i1−i(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为( )
A. 7B. 15C. 25D. 35
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，则MB=( )
A. 12(b−a)B. 12(a−b)C. 12(a+b)D. −12(a+b)
4.数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为( )
A. 7B. 7.2C. 7.5D. 8
5.m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//n，n//α，则m//α
C. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若n⊥α，n⊥β，则α//β
6.某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若高于60分的人数是350，则高一学生人数为( )
A. 1000B. 750C. 500D. 250
7.已知α是第三象限角，sinα=−513，则cs(π−α)=( )
A. −1213B. 1213C. −513D. 513
8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1DCB1所成角的大小为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是( )
A. 不共线的三点确定一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等
10.为评估一种农作物的种植效果，选了6块地作试验田.这6块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
11.下列关于向量的命题，正确的有( )
A. 若a≠0，a⋅b=a⋅c，则b=c
B. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)对任意向量a，b，c都成立
C. 对任一向量a，有a2=|a|2
D. 对于任意两个向量a和b，有|a+b|≤|a|+|b|
12.已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx−12，则下列结论正确的有( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. 点(π3,0)是f(x)的图象的一个对称中心
C. 将f(x)的图象向右平移5π12个单位得到一个奇函数的图象
D. 若函数y=f(tx)(t>0)在[0,π]上有且仅有两个零点，则t∈[712,1312)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(2,4)，b=(k,6)，若a//b，则k=______.
14.已知球的体积为36π，球的表面积是______.
15.已知tanα=2，则sinα+csαsinα−csα=__________.
16.函数y=cs2x−3csx+2的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解决下列问题：
(1)已知复数z=(m2−5m+6)+(m2−3m)i(m∈R)，若z是实数，求m的值；
(2)先求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值，归纳规律后，请你直接写出i1+i2+i3+⋅⋅⋅+i2022+i2023的值.
18.(本小题12分)
已知不共线的两个平面向量a，b满足|a|=3，|b|=4.
(1)若a与b的夹角θ=π3，求|a+b|的值；
(2)若(a+kb)⊥(a−kb)，求实数k的值.
19.(本小题12分)
如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
(1)该几何体的体积；
(2)该几何体的表面积．
20.(本小题12分)
已知α、β都为锐角，且sinα= 55，csβ= 1010.
(1)求sin(α−β)的值；
(2)求tan(2α+2β)的值.
21.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F//平面ADE.
22.(本小题12分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2acsC=2b+c.
(1)求A的值；
(2)若△ABC的面积S= 32a，求a的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵z=1−2i1−i=(1−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=3−i2=32−i2，
∴复数在复平面对应的点的坐标是(32,−12)
∴它对应的点在第四象限，
故选：D.
把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．
判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了分层随机抽样方法的应用问题，解题时应根据抽取样本的比例是相同的，求出各层抽取的数据，属于基础题．
根据分层随机抽样方法的特点，各层抽取样本的比例是相同的，从而求出答案．
【解答】
解：根据分层随机抽样方法的特点，抽取样本的比例是1575=15，
∴应从青年职工中抽取的人数为35×15=7.
故选：A.
3.【答案】B
【解析】解：如图所示，
在平行四边形ABCD中，MB=12DB=12(AB−AD)=12(a−b).
故选：B.
由向量的线性运算，结合平行四边形的结构特征，把MB用a,b表示．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
利用9×80%=7.2，进而可以求解．
【解答】
解：因为9×80%=7.2，
故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8，
故选：D.
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交或异面，A错误；
对于B，m可能在平面α内，B错误；
对于C，m可能在平面β内，C错误；
对于D，垂直于同一直线的两个平面平行，D正确；
故选：D.
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查空间直线、平面间的位置关系，注意线面平行、垂直的性质以及判断方法，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由频率分布直方图得高于60分的频率为：
(0.020+0.015)×20=0.7，
∵高于60分的人数是350人，
∴高一学生人数是：3500.7=500.
故选：C.
由频率分布直方图求出高于60分的频率，再由高于60分的人数是350人，即可求出高一学生人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因α是第三象限角，sinα=−513，则csα=− 1−sin2α=−1213.
故cs(π−α)=−csα=1213.
故选：B.
由同角三角函数关系结合诱导公式可得答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：记B1C∩BC1=O，则OB⊥B1C，连接A1O，如图所示，
CD⊥平面BCC1B1，OB⊂平面BCC1B1，则CD⊥OB，
B1C∩CD=C，B1C⊂平面A1DCB1，CD⊂平面A1DCB1，则OB⊥平面A1DCB1，
由线面角的定义可知，直线A1B和平面A1DCB1所成角即为∠BA1O
不妨设正方体的棱长为1，则A1B= 2，OB=12BC1= 22，
所以sin∠BA1O=OBA1B=12，则∠BA1O=π6，
即直线A1B和平面A1DCB1所成角的大小为π6.
故选：A.
连接BC1交B1C于点O，再连接A1O，可证OB⊥平面A1DCB1，所以直线A1B和平面A1DCB1所成角即为∠BA1O，再利用直角三角形求角的正弦值，可得角的大小．
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；
对于B，由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确；
对于C，由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确；
对于D，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误；
故选：ABC.
根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案．
本题考查平面的基本性质，涉及空间直线平行的性质，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，⋅⋅⋅，x6的平均数为n，
则n−m=x1+x2+x3+x4+x5+x66−x2+x3+x4+x54=2(x1+x6)−(x5+x2+x3+x4)12，
因为没有确定2(x1+x6)，x5+x2+x3+x4的大小关系，所以无法判断m，n的大小，
例如：1，2，3，4，5，6，可得m=n=3.5；
例如1，1，1，1，1，7，可得m=1，n=2，∴m例如1，2，2，2，2，2，可得m=2,n=116，∴m>n；故A错误；
对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，
则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，⋅⋅⋅，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，⋅⋅⋅，x6的标准差，
例如：2，4，6，8，10，12，则平均数n=16(2+4+6+8+10+12)=7，
标准差s1= 16[(2−7)2+(4−7)2+(6−7)2+(8−7)2+(10−7)2+(12−7)2]= 1053，
4，6，8，10，则平均数m=14(4+6+8+10)=7，
标准差s2= 14[(4−7)2+(6−7)2+(8−7)2+(10−7)2]= 5，
显然 1053> 5，即s1>s2；故C错误；
对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋅⋅⋅，x6的中位数均为x3+x42，故B正确；
对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
则x6−x1≥x5−x2，当且仅当x1=x2，x5=x6时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断．
本题考查平均数、中位数、标准差以及极差的概念，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，若a≠0，a⋅b=a⋅c，则a⋅(b−c)=0，所以a⊥(b−c)或b=c，故A错误；
对于B，向量数量积运算不满足交换律，故B错误；
对于C，对任一向量a，有a2=|a|2cs0=|a|2，故C正确；
对于D，对于任意两个向量a和b，有|a+b|2=|a|2+|b|2+2a⋅b≤|a|2+|b|2+2|a|⋅|b|=(|a|+|b|)2，
所以|a+b|≤|a|+|b|，故D正确．
故选：CD.
根据向量的运算律可判断AB；根据向量数量积公式可判断CD.
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：f(x)=sin2x+ 3sinxcsx−12=1−cs2x2+ 32sin2x−12=sin(2x−π6)，
A，函数的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
B，f(π3)=sin(2×π3−π6)=1≠0，点(π3,0)不是f(x)的图象的一个对称中心，故B错误；
C，将f(x)的图象向右平移5π12个单位得到函数y=sin[2(x−5π12)−π6]=−sin2x为奇函数，故C正确；
D，y=f(tx)=sin(2tx−π6)(t>0)，当x∈[0,π]，2tx−π6∈[−π6,2tπ−π6]，
若函数有且仅有两个零点，则π≤2tπ−π6<2π，得712≤t<1312，故D正确．
故选：ACD.
首先化简函数f(x)=sin(2x−π6)，再根据三角函数的性质，即可判断选项．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：∵a//b，a=(2,4)，b=(k,6)，
∴2×6=4k，
∴k=3.
故答案为：3.
直接利用向量平行的坐标运算求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】36π
【解析】【分析】
本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．
通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】
解：因为球的体积为36π，
所以4πr33=36π，球的半径为：r=3，
所以球的表面积为：4π×32=36π.
故答案为：36π.
15.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．
把tanα=2，代入sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1，运算求得结果．
【解答】
解：sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=2+12−1=3，
故答案为3.
16.【答案】0
【解析】解：令csx=t，则t∈[−1,1]，
换元可得y=t2−3t+2，
由二次函数的知识可知：
函数y=t2−3t+2在t∈[−1,1]单调递减，
∴当t=1时，函数取最小值ymin=1−3+2=0
故答案为：0
令csx=t，则t∈[−1,1]，换元可得y=t2−3t+2，由二次函数的知识可得答案．
本题考查复合函数的单调性和最值，换元法是解决问题的关键，属基础题．
17.【答案】解：(1)∵z为实数，
∴(m2−3m)=0，
解得m=3或m=0；
(2)i1=i，i2=−1，i3=−i，i4=−1，i5=i，i6=−1，i7=−i，i8=1，
则可注意到规律：从第一项起，每连续的四项之和为0，而i2024=1，前2024项之和为0，
则i1+i2+⋅⋅⋅+i2023=i1+i2+⋅⋅⋅+i2024−i2024=0−1=−1.
【解析】(1)由虚部为0可得答案；
(2)经计算，可得规律，后利用i+i2+i3+i4=0可得答案．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a⋅b+|b|2=|a|2+2|a||b|csπ3+|b|2
=32+2×3×4×12+42=37，
所以|a+b|= 37.
(2)因为(a+kb)⊥(a−kb)，所以(a+kb)⋅(a−kb)=0，
即a2−k2b2=0，因为|a|=3，|b|=4，所以9−16k2=0，解得k=±34.
【解析】(1)利用向量模的运算及数量积的运算律求解即可；
(2)利用向量垂直的运算及向量模的公式列式计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
19.【答案】解：连接A1C1，B1D1交于点O，取B1C1的中点E，连接PO，OE，PE，
(1)V长方体=8×8×3=192，
VP−A1B1C1D1=13×8×8×3=64，
∴V总=192+64=256；
(2)∵PO=3，OE=4，
∴PE= PO2+OE2=5，
S四棱锥侧=4×12×8×5=80，
S长方体=4×8×3+8×8=160，
S总=80+160=240.
【解析】(1)按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；
(2)先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，进而求长方体的表面积，求和即可．
本题考查了几何体表面积和体积的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵α，β均为锐角，
∴csα= 1−sin2α= 1−15=2 55，
sinβ= 1−cs2β= 1−110=3 1010.
∴sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ= 55× 1010−2 55×3 1010=− 22；
(2)由(1)得，tanα=sinαcsα=12，tanβ=sinβcsβ=3.
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+31−12×3=−7，
∴tan(2α+2β)=tan2(α+β)=2tan(α+β)1−tan2(α+β)=2×(−7)1−(−7)2=724.
【解析】(1)由同角三角函数关系可得csα，sinβ，后由两角差的正弦公式可得答案；
(2)由(1)可得tanα，tanβ，后由两角和的正切公式结合正切的二倍角公式可得答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1，
又∵AD⊥DE，DE、CC1⊂平面BCC1B1，DE∩CC1=E，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1，
又∵B1C1、CC1⊂平面BCC1B1，B1C1∩CC1=C1，
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F//AD，
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴直线A1F//平面ADE.
【解析】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．
(1)根据三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，即可得到AD⊥平面BCC1B1，从而得证；
(2)先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似(1)的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F//AD，最后根据线面平行的判定定理即可证明．
22.【答案】解：(1)解法1：在△ABC.中，由余弦定理及2acsC=2b+c，
得2a⋅a2+b2−c22ab=2b+c，
化简得a2=b2+c2+bc
所以csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
又A∈(0,π)，
故A=2π3；
解法2：在△ABC中，由正弦定理及2acsC=2b+c，
得2sinAcsC=2sinB+sinC.
在△ABC中，A+B+C=π，
所以2sinAcsC=2sin(A+C)+sinC=2sinAcsC+2csAsinC+sinC，
从而2csAsinC+sinC=0，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
从而有2csA+1=0，得csA=−12，
又A∈(0,π)，
故A=2π3；
(2)因为△ABC的面积S= 32a，所以12bcsinA= 32a，
由(1)知A=2π3，则12bcsin2π3= 32a，得12bc=a，
所以14b2c2=a2=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc.
又bc>0，所以bc≥12，
当且仅当b=c=2 3时取等号，
从而a=12bc≥6，当且仅当b=c=2 3时取等号．
故a的最小值为6.
【解析】(1)解法1，根据余弦定理转化为边的关系，再根据余弦定理求csA，即可求解；
解法2，根据正弦定理，边角互化，再根据三角函数恒等变形，即可求解；
(2)根据面积公式，得12bc=a，再根据余弦定理，并结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．