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2022-2023学年广东省韶关市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）
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这是一份2022-2023学年广东省韶关市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=m2−1+(m+1)i(i是虚数单位，m∈R)是纯虚数，则m=( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
2.cs 240∘=( )
A. 12B. −12C. − 32D. 32
3.在△ABC中，点D为边AC的中点，点E为BD的中点，若DE=λAB+μAC，则λ+μ=( )
A. −14B. 12C. 1D. 14
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2 3,c=6,B=30∘，则边长a=( )
A. 2 3B. 4 3C. 2 3或4 3D. 4或2 3
5.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，O′是A′B′的中点，则AD的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若一个圆台的高为 3，母线与底面所成角为60∘，侧面积为6π，则该圆台的体积为( )
A. 5 3π3B. 7 3π3C. 5 3πD. 7 3π
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为4m，筒车的轴心O到水面的距离为2m，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：m).若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图2)，则h与t的函数关系式为( )
A. h=4sin2π3t−π6+2,t∈0,+∞B. h=4sin2π3t+π6+2,t∈0,+∞
C. h=4sinπ10t+π6+2,t∈0,+∞D. h=4sinπ10t−π6+2,t∈0,+∞
8.在直角△ABC中，∠BAC=90∘,AB=1t,AC=t，若点P 是 △ABC所在平面内一点，且AP=AB2AB+AC4AC，则当PB⋅PC取到最大值时，t=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是( )
A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 平行于同一平面的两个平面平行
C. 垂直于同一直线的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两个平面平行
10.已知函数fx=2cs2x+π6，则下列结论正确的是( )
A. 函数fx图象关于直线x=−π12对称
B. 函数fx的最小正周期为2π
C. 函数fx图象可看作是把函数y=2cs2x的图象向左平移π6个单位而得到
D. 函数fx在区间−π2,0的最大值为2
11.已如△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列结论证确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC，则△ABC是钝角三角形
C. 若AB⋅BC=2a，则△ABC是钝角三角形
D. csA+csB+csC>0
12.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a,b的夹角为2π3，且a=1,a+b⊥a，则b=__________.
14.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P−1,2是角α的终边上一点，则csα−π3=__________.
15.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某人选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得CD=30m；∠BCD=30∘,∠BDC=105∘，在点C测得塔顶A的仰角为45∘，则塔高AB=__________m.
16.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，N是侧面B1BCC1上(含边界)的动点，且满足直线A1N//平面AD1M，则动点N的轨迹长度为__________；当动点N到平面CDD1C1的距离最大时，则过点D,M,N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得到的截面面积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数：z1=1+2i,z2=2−i.
(1)求z1+1z2；
(2)在复平面内，O为原点，复数z1,z2,z分别对应向量OA,OB,OC，且OC与AB共线，z=2z1−z2，求z.
18.(本小题12分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，已知侧棱和底面边长相等，E是AB 的 中点，F是PC的中点.
(1)求证：BF//平面PED；
(2)求异面直线PE与AD所成角的余弦值.
19.(本小题12分)
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，具 3acsC−csinA=0.
(1)求角C；
(2)若c=2,△ABC 的 面积为2 3，求sinA+sinB的值.
20.(本小题12分)
已知函数fx=2 3sinx2csx2+2cs2x2+a的最大值为1.
(1)求常数a的值；
(2)求函数fx的单调递减区间；
(3)若fα−5π12=0,α∈0,π2，求sin2α−2sin2α1+tanα的值.
21.(本小题12分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC,CD⊥BC且AD=2BC=2CD.Q是BB1 的 中点.
(1)证明：A1,Q,C,D四点共面；
(2)证明：平面A1QCD⊥平面AA1D1D；
(3)若二面角A1−CD−B的大小为π4，求直线AC与平面A1QCD所成角的正弦值.
22.(本小题12分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于2π3时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=2π3的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于2π3时，最大内角的顶点为费马点.已知△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cs2B+cs2C−cs2A=1.
(1)求角A的值；
(2)若点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题.
根据纯虚数的概念列式计算，即可得答案.
【解答】
解：由复数 z=m2−1+m+1i(i 是虚数单位， m∈R) 是纯虚数，
可得 m2−1=0 且 m+1≠0 ，解得 m=1 ，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的运算，属于基础题.
根据三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值，即可得答案.
【解答】
解：由题意得 cs240∘=cs(180∘+60∘)=−cs60∘=−12 ，
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，属于基础题.
直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可．
【解答】
解： △ABC 中，点 D 为边 AC 的中点，点 E 为 BD 的中点，如图所示，
DE=12DB=12DA+AB=12−12AC+AB=12AB−14AC ，
又 DE=λAB+μAC ， λ=12,μ=−14 ， λ+μ=12−14=14 .
故选：D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形，考查转换能力，属于基础题.
根据余弦定理列式计算，即可求得答案.
【解答】
解：由 △ABC 中， b=2 3,c=6,B=30∘ ，
可得 b2=a2+c2−2accsB ，即 12=a2+36−12acs30∘ ，
即 a2−6 3a+24=0 ，解得 a=2 3 或 4 3 ，
经验证 a=2 3 或 4 3 适合题意，
故选：C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中BC的值即可.
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题.
【解答】
解：由题意知O′B′=1 ， B′C′=1,∴O′C′= 2 ，
如图，将直观图复原为四边形 ABCD ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
因为 A′B′=2 ， O′ 是 A′B′ 的中点，故 OB=1 ，且 OC=2 2 ，
故 BC= OB2+OC2= 1+8=3 ，故 AD=3 ，
故选：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查圆台的体积、侧面积的计算，关键求出圆台的上底、下底半径，属于基础题.
设圆台的 上底面半径为 r′ ，下底面半径为 r ，母线为 l ，由圆台的侧面积得 r′+r=3 ，再由圆台的高 h 为 3 可得体积．
【解答】
解：设圆台的上底面半径为 r′ ，下底面半径为 r ，母线为 l ，
圆台的 高为 3 ，母线与底面所成角为 60∘ ，
所以 r−r′= 3× 33=1,l= 3 32=2 ，
则圆台的侧面积 S=πr′+rl=6π ，可得 r′+r=3 ，
故有 r′=1,r=2 ，
圆台的体积 V圆台=13πh(r ′2+r ′r+r2)=13π× 3×(1+2+4)=7 3π3 .
故选：B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
首先求以 OP 为终边的角为 π10t−π6 ，再根据三角函数的定义求点 P 的纵坐标，根据图形表示 ht 即可.
本题主要考查匀速圆周运动的数学模型的理解与应用，属于中档题.
【解答】
解： ∵∠xOP0=π6 ，所以 OP0 对应的角是 −π6 ，
由 OP 在 ts 内转过的角为 3×2π60t=π10t ，t∈0,+∞
可知以 Ox 为始边，以 OP 为终边的角为 π10t−π6 ，t∈0,+∞
因为圆的半径为 4, 则点 P 的纵坐标为 4sinπ10t−π6 ，t∈0,+∞
又因为筒车的轴心到水面的距离为 2 ，
所以点 P 距水面的高度 h 表示为 t 的函数是 h=4sinπ10t−π6+2,t∈0,+∞ .
故选：D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
建立平面直角坐标系，根据题意条件确定P点坐标，即可利用数量积的坐标表示求得 PB⋅PC 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
本题主要考查向量数量积的运算，属于较难题.
【解答】
解：如图，以 AB,AC 为 x,y 轴建立平面直角坐标系，
由于 AB=1t,AC=t,t>0 ，则 A(0,0),B1t,0,C0,t ，
则 AB=(1t,0),AC=(0,t) ，
而 AP=AB2AB+AC4AC=t2(1t,0)+14t(0,t)=(12,14) ，即有 P(12,14) ，
故 PB⋅PC=(1t−12,−14)⋅(−12,t−14)=−12t−t4+516 ，
因为 t>0 ， 12t+t4≥2 12t×t4= 22 ，当且仅当 12t=t4 ，即 t= 2 时取等号，
故当 t= 2 时， PB⋅PC=−12t−t4+516 取到最大值 − 22+516 ，
故选：B.
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查面面平行概念的理解，属于基础题.
根据平面与平面平行的判定一一判断各选项，即得答案.
【解答】
解：对于A，平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，A错误；
对于B，根据平面平行的传递性知，平行于同一平面的两个平面平行，B正确；
对于C，垂直于同一直线的两个平面平行，C正确；
对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，可能平行，D错误，
故选：BC.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查余弦型函数的性质，三角函数图像变换，属于中档题.
利用代入验证法可判断A；根据余弦型函数的周期公式可判断B；根据三角函数图像的平移变换规律判断C；根据X的范围确定 2x+π6∈−5π6,π6 ，结合余弦函数的最值可判断D.
【解答】
解：对于A，将 x=−π12 代入fx=2cs2x+π6 ，可得2cs−π6+π6=2 ，
即函数fx 图象关于直线 x=−π12 对称，A正确；
对于B，函数 fx 的最小正周期为 2π2=π ，B错误；
对于C，因为 fx=2cs2(x+π12) ，
故函数fx 图象可看作是把函数y=2cs2x 的图象向左平移π12 个单位而得到，C错误；
对于D， x∈−π2,0 时， 2x+π6∈−5π6,π6 ，
由于余弦函数y=csx在−5π6,π6上最大值为1，
故函数fx 在区间−π2,0的最大值为2，D正确，
故选：AD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
根据正弦定理可判断A；利用正弦定理边化角结合两角差的余弦公式可判断B；根据数量积的定义判断C；结合图形得到三角形中的不等关系化简可判断D.
本题主要考查了解三角形，涉及正弦定理的应用以及向量的运算，属于中档题.
【解答】
解：对于A，在 △ABC 中 A>B ，则 a>b ，由正弦定理可得 sinA>sinB ，A正确；
对于B， b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC ，则 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcsBcsC ，
在 △ABC 中， sinB≠0,sinC≠0 ，故 sinBsinC=csBcsC ，
即 cs(B+C)=0 ，则 csA=0 ，由于 A 为三角形内角，
故 A=π2 ，即 △ABC 是直角三角形，B错误；
对于C， AB⋅BC=2a ，即 |AB|⋅|BC|cs(π−B)=2a ，
故 −cacsB=2a ，则 csB<0 ， B 为 △ABC 内角，
故 B 为钝角，即 △ABC 是钝角三角形，C正确；
对于D，
sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC,a=ccsB+bcsC ，同理 b=acsC+ccsA ，
故 a+b=(a+b)csC+c(csB+csA) ，即 (a+b)(1−csC)=c(csB+csA) ，
因为 a+b>c,1−csC>0 ，故 0<1−csC即 csA+csB+csC>1>0 ，D正确，
故选：ACD.
12.【答案】
【解析】
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查对向量数量级的运算，属于基础题.
根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的定义，即可求得答案.
【解答】
解：由题意知向量 a,b 的夹角为 2π3 ，且 a=1,a+b⊥a ，
故 (a+b)⋅a=0,∴a2+a⋅b=0 ，
即 1+1×|b|×cs2π3=0 ，则 |b|=2 ，
故答案为：2.
14.【答案】2 15− 510
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题.
根据三角函数定义求得 sinα,csα ，再根据两角差的余弦公式即可求得答案.
【解答】
解：因为 P−1,2 是角 α 的终边上一点，故 |OP|= (−1)2+22= 5 ，
所以 sinα=2 55,csα=− 55 ，
故 csα−π3=csαcsπ3+sinαsinπ3
=− 55×12+2 55× 32=2 15− 510 ，
故答案为： 2 15− 510.
15.【答案】15 3+1
【解析】【分析】
先根据三角形内角和为 180∘ ，求得 ∠CBD ，再根据正弦定理求得 BC ，进而在 Rt△ABC 中，根据 AB=BCtan∠ACB 求得 AB .
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题.
【解答】
解：在 △BCD 中， CD=30m ， ∠BCD=30∘,∠BDC=105∘ ，
∠CBD=180∘−30∘−105∘=45∘，
由正弦定理，得 BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
所以 BC=30sin105∘sin45∘=30sin45∘+30∘sin45∘=30 22× 32+ 22×12 22=15 3+1，
在 Rt△ABC 中， AB=BC⋅tan∠ACB=BC⋅tan45∘=15 3+1m，
所以塔高AB为 15 3+1m .
故答案为： 15 3+1 .
16.【答案】 22 ； 52
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的截面问题以及面面平行的判定.
先作出辅助线，得到面面平行，从而得到动点 N 的轨迹长度为 FG ，并求出轨迹长，再得到当动点 N 与 F 重合时，点 N 到平面 CDD1C1 的距离最大，作出截面，并求出答案.
【解答】
解：如图1，取 BC 的 中点 E ，连接 AE,ME ，则 ME//AD1 ，
故 A,E,M,D1 四点共面，
取 B1C1 的中点 G ， BB1 的中点 F ，连接 A1G,FG,A1F,FM,GE ，
因为 M 是棱 CC1 的中点，所以 A1D1=B1C1=FM,A1D1//B1C1//FM,
所以四边形 A1D1MF 是平行四边形，故 A1F//MD1 ，
因为 A1F⊄平面 AD1M ， MD1⊂ 平面 AD1M ，所以 A1F// 平面 AMD1 ，
因为 A1A=B1B=EG,A1A//B1B//EG,
故四边形 AA1GE 为平行四边形，故 A1G//AE ，
因为 A1G⊄平面 AMD1，AE⊂ 平面 AMD1，所以A1G// 平面 AMD1 ，
因为 A1G∩A1F=A1 ， A1G,A1F⊂ 平面 A1FG ，
所以平面 A1FG // 平面 AMD1 ，
当 N 在 FG 上时，直线 A1N // 平面 AD1M ，
故动点 N 的轨迹长度为 FG= 122+122= 22 ，
当动点 N 与 F 重合时，点 N 到平面 CDD1C1 的距离最大，
此时过点 D,M,N 的平面截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得到截面为四边形 ADMN ，
易知DM // AN ，AD // MN ，所以四边形 ADMN 为平行四边形，
又 MN ⊥平面 CDD1C1 ， MD⊂ 平面 CDD1C1 ，所以 MN ⊥MD ，
故四边形 ADMN 为矩形，故面积为 MN⋅MD=1× 52= 52 .
故答案为 ： 22 ， 52.
17.【答案】解：(1)z1+1z2=1+2i+12−i=1+2i+2+i5=75+115i .
(2)由题可得， A(1,2),B(2,−1) ，
设 z=a+bi,a,b∈R ，则 C(a,b) ，
所以 OC=(a,b) ， AB=(1,−3) ，
因为 OC 与 AB 共线，所以 3a+b=0 ，①，
又因为 z1−z2=−1+3i ，且 z=2z1−z2 ，
所以 a2+b2=2 10 ，即 a2+b2=40 ，②，
联立①②解得， a=2b=−6 或 a=−2b=6 ，
所以 z=2−6i 或 z=−2+6i .
【解析】本题考查复数的运算及其几何意义，属于中档题.
(1)根据复数的四则运算法则求解；
(2)根据复数的几何意义表示出 A,B,C 的坐标，根据共线可确定 3a+b=0 ，再结合复数的模的公式又得 a2+b2=40 ，联立求解即可.
18.【答案】解：(1)取 PD 的中点为G，连接 FG,EG ，
由于F是 PC 的中点，则 FG//CD,FG=12CD ，
又在正四棱锥 P−ABCD 中，已知侧棱和底面边长相等，即有 AB//CD,AB=CD ，
故 FG//BE,FG=12AB=BE ，
则四边形 EBFG 为平行四边形，所以 BF//EG ，
而 BF⊄ 平面 PED ， EG⊂ 平面 PED ，
故 BF // 平面 PED ；
(2)取 CD 中点为N，连接 EN ，取 EN 中点为H，连接 PN,PH ，
则 EN//AD ，故 ∠PEN 即为异面直线 PE 与 AD 所成角或其补角；
且H在 EN 上，且H为底面正方形 ABCD 的中点，则 PH⊥ 底面 ABCD ，
EN⊂ 底面 ABCD ，故 PH⊥EH ，
不妨设正四棱锥 P−ABCD 底面边长为2， △PAB 为正三角形，
则 EH=12EN=1,PE=2× 32= 3 ，
故在 Rt△PHE 中， cs∠PEH=EHPE=1 3= 33 ，
即异面直线 PE 与 AD 所成角的余弦值为 33 .
【解析】本题主要考查线面平行的判定和异面直线所成角的运算，属于中档题.
(1)取 PD 的中点为G，证明四边形 EBFG 为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可证明结论；
(2)利用根据异面直线所成角的定义作出异面直线 PE 与 AD 所成角或其补角，解三角形即可求得答案.
19.【答案】解：(1)由正弦定理及 3acsC−csinA=0 ，
得， 3sinAcsC−sinCsinA=0 ，
因为 A∈(0,π) ，所以sinA≠0 ，
所以 3csC−sinC=0 ，解得， tanC= 3 ，
因为 C∈(0,π) ，所以 C=π3 .
(2)因为 △ABC 的面积为 2 3 ，所以 12absinC=2 3 ，解得 ab=8 ，
又由余弦定理 c2=a2+b2−2abcsC ，
可得 4=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab ，解得 a+b=2 7 ，
由正弦定理可得， csinC=2R=4 33 ，
根据正弦定理可得， sinA+sinB=a2R+b2R=12R(a+b)= 212 .
【解析】本题主要考查三角函数的基本关系，属于中档题.
(1)利用正弦定理及同角三角函数的基本关系化简即可.
(2)利用三角形的面积公式和余弦定理、正弦定理结合求解.
20.【答案】解：(1)由题意得fx=2 3sinx2csx2+2cs2x2+a
= 3sinx+csx+1+a
=2sin(x+π6)+1+a ，
由于函数 fx 的最大值为1，
故3+a=1,∴a=−2 .
(2)由(1)可得f(x)=2sin(x+π6)−1 ，
令 π2+2kπ≤x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z ，
则 π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z ，
即函数fx 的单调递减区间为 [π3+2kπ,4π3+2kπ],k∈Z .
(3)由 fα−5π12=0,α∈0,π2 得 2sin(α−5π12+π6)−1=0,∴sin(α−π4)=12 ，
而 α∈0,π2 ，故 α−π4∈(−π4,π4) ，则 cs(α−π4)= 32 ，
故sinα=sin[(α−π4)+π4]=sin(α−π4)csπ4+cs(α−π4)sinπ4
=12× 22+ 32× 22= 2+ 64 ，
cs α=cs [(α−π4)+π4]=cs (α−π4)cs π4−sin (α−π4)sin π4
= 32× 22−12× 22= 6− 24 ，
故 sin2α−2sin2α1+tanα=2sinαcsα−2sin2α1+sinαcsα=2sinα(csα−sinα)csαcsα+sinα
=2× 6+ 24× 6− 24×( 6− 24− 2+ 64) 6− 24+ 6+ 24=− 36 .
【解析】本题主要考查三角函数的性质，三角恒等变换的运用，属于中档题.
(1)利用三角恒等变换化简可得 f(x)=2sin(x+π6)+1+a ，结合其最大值即可求得a；
(2)结合正弦函数的单调性即可求得答案；
(3)根据已知条件化简可得 sin(α−π4)=12 ，结合角的范围利用两角和差公式求得 sinα ， csα 的值，再化简 sin2α−2sin2α1+tanα 并代入求值，即得答案.
21.【答案】解：(1)因为 A1A⊥ 底面 ABCD ，且 A1A//DD1 ，所以 DD1⊥ 底面 ABCD ，
且 DA,CD⊂ 底面 ABCD ，所以 DD1⊥DA,DD1⊥CD ，
且 AD//BC,CD⊥BC ，所以 CD⊥AD ，
所以以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建系如图，
设 AD=2,CD=BC=1,DD1=h ，
则有 D(0,0,0),C(0,1,0),A1(2,0,h),Q(1,1,h2) ，
所以 DA1=(2,0,h),CQ=(1,0,h2) ，所以 DA1=2CQ ，
所以 DA1//CQ ，所以四边形 DA1QC 为梯形，
所以 A1,Q,C,D 四点共面.
(2)由(1)可知， CD⊥AD ， DD1⊥CD ，
AD∩DD1=D,AD,DD1⊂ 平面 AA1D1D ，
所以 CD⊥ 平面 AA1D1D ，
又因为 CD⊂ 平面 A1QCD ，所以平面 A1QCD⊥ 平面 AA1D1D .
(3)设平面 A1CD 的一个法向量为 m=(x,y,z) ，
DC=(0,1,0),DA1=(2,0,h) ，
所以 DC⋅m=y=0,DA1⋅m=2x+hz=0, 设 x=h ，则 y=0,z=−2 ，所以 m=(h,0,−2) ，
平面 CDB 的一个法向量为 n=(0,0,1) ，
所以 cs=m⋅nmn=2 h2+4= 22 ，解得 h=2 或 h=−2 (舍)，
所以 m=(2,0,−2) ，又因为 AC=(−2,1,0) ，
设直线 AC 与平面 A1QCD 所成角为 θ ，
则 sinθ=cs=m⋅ACmAC=42 2× 5= 105 .
即直线 AC 与平面 A1QCD 所成角的正弦值为 105 .
【解析】本题主要考查面面垂直的判定定理，利用空间向量证明线线平行，求面面夹角、线面夹角，属于中档题.
(1)利用空间向量的坐标表示证明 DA1//CQ 即可；
(2)利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明；
(3)利用空间向量的坐标运算表示二面角的余弦值即可求得 DD1=2 ，再利用坐标运算求线面夹角的正弦值.
22.【答案】解：(1)由已知 △ABC 中 cs2B+cs2C−cs2A=1 ，即 1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1 ，
故 sin2A=sin2B+sin2C ，由正弦定理可得 a2=b2+c2 ，
故 △ABC 直角三角形，即 A=π2 .
(2)由(1)知 A=π2 ，
故由点 P 为 △ABC 的费马点得 ∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3 ，
设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x,m>0,n>0,x>0 ，
则由 PB+PC=tPA 得 m+n=t ；
由余弦定理得 |AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=m2+m+1x2 ，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=n2+n+1x2 ，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=m2+n2+mnx2 ，
故由 |AC|2+|AB|2=|BC|2 得 n2+n+1x2+m2+m+1x2=m2+n2+mnx2 ，
即 m+n+2=mn ，而 m>0,n>0 ，故 m+n+2=mn≤(m+n2)2 ，
当且仅当 m=n ，结合 m+n+2=mn ，解得 m=n=1+ 3 时，等号成立，
又 m+n=t ，即有 t2−4t−8≥0 ，解得 t≥2+2 3 或 t≤2−2 3 (舍去)，
故实数 t 的最小值为 2+2 3 .
【解析】本题考查正余弦定理的应用，解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合(1)的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出 m+n=t ，结合费马点含义，利用余弦定理推出 m+n+2=mn ，然后利用基本不等式即可求解，属于中档题.
(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简 cs2B+cs2C−cs2A=1 可得 a2=b2+c2 ，即可求得答案；
(2)由(1)结论可得 ∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3 ，设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出 m+n=t ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出 m+n+2=mn ，再结合基本不等式即可求得答案.
1.复数z=m2−1+(m+1)i(i是虚数单位，m∈R)是纯虚数，则m=( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
2.cs 240∘=( )
A. 12B. −12C. − 32D. 32
3.在△ABC中，点D为边AC的中点，点E为BD的中点，若DE=λAB+μAC，则λ+μ=( )
A. −14B. 12C. 1D. 14
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2 3,c=6,B=30∘，则边长a=( )
A. 2 3B. 4 3C. 2 3或4 3D. 4或2 3
5.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，O′是A′B′的中点，则AD的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若一个圆台的高为 3，母线与底面所成角为60∘，侧面积为6π，则该圆台的体积为( )
A. 5 3π3B. 7 3π3C. 5 3πD. 7 3π
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为4m，筒车的轴心O到水面的距离为2m，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：m).若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图2)，则h与t的函数关系式为( )
A. h=4sin2π3t−π6+2,t∈0,+∞B. h=4sin2π3t+π6+2,t∈0,+∞
C. h=4sinπ10t+π6+2,t∈0,+∞D. h=4sinπ10t−π6+2,t∈0,+∞
8.在直角△ABC中，∠BAC=90∘,AB=1t,AC=t，若点P 是 △ABC所在平面内一点，且AP=AB2AB+AC4AC，则当PB⋅PC取到最大值时，t=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是( )
A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 平行于同一平面的两个平面平行
C. 垂直于同一直线的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两个平面平行
10.已知函数fx=2cs2x+π6，则下列结论正确的是( )
A. 函数fx图象关于直线x=−π12对称
B. 函数fx的最小正周期为2π
C. 函数fx图象可看作是把函数y=2cs2x的图象向左平移π6个单位而得到
D. 函数fx在区间−π2,0的最大值为2
11.已如△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列结论证确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC，则△ABC是钝角三角形
C. 若AB⋅BC=2a，则△ABC是钝角三角形
D. csA+csB+csC>0
12.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a,b的夹角为2π3，且a=1,a+b⊥a，则b=__________.
14.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P−1,2是角α的终边上一点，则csα−π3=__________.
15.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某人选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得CD=30m；∠BCD=30∘,∠BDC=105∘，在点C测得塔顶A的仰角为45∘，则塔高AB=__________m.
16.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，N是侧面B1BCC1上(含边界)的动点，且满足直线A1N//平面AD1M，则动点N的轨迹长度为__________；当动点N到平面CDD1C1的距离最大时，则过点D,M,N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得到的截面面积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数：z1=1+2i,z2=2−i.
(1)求z1+1z2；
(2)在复平面内，O为原点，复数z1,z2,z分别对应向量OA,OB,OC，且OC与AB共线，z=2z1−z2，求z.
18.(本小题12分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，已知侧棱和底面边长相等，E是AB 的 中点，F是PC的中点.
(1)求证：BF//平面PED；
(2)求异面直线PE与AD所成角的余弦值.
19.(本小题12分)
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，具 3acsC−csinA=0.
(1)求角C；
(2)若c=2,△ABC 的 面积为2 3，求sinA+sinB的值.
20.(本小题12分)
已知函数fx=2 3sinx2csx2+2cs2x2+a的最大值为1.
(1)求常数a的值；
(2)求函数fx的单调递减区间；
(3)若fα−5π12=0,α∈0,π2，求sin2α−2sin2α1+tanα的值.
21.(本小题12分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC,CD⊥BC且AD=2BC=2CD.Q是BB1 的 中点.
(1)证明：A1,Q,C,D四点共面；
(2)证明：平面A1QCD⊥平面AA1D1D；
(3)若二面角A1−CD−B的大小为π4，求直线AC与平面A1QCD所成角的正弦值.
22.(本小题12分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于2π3时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=2π3的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于2π3时，最大内角的顶点为费马点.已知△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cs2B+cs2C−cs2A=1.
(1)求角A的值；
(2)若点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题.
根据纯虚数的概念列式计算，即可得答案.
【解答】
解：由复数 z=m2−1+m+1i(i 是虚数单位， m∈R) 是纯虚数，
可得 m2−1=0 且 m+1≠0 ，解得 m=1 ，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的运算，属于基础题.
根据三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值，即可得答案.
【解答】
解：由题意得 cs240∘=cs(180∘+60∘)=−cs60∘=−12 ，
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，属于基础题.
直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可．
【解答】
解： △ABC 中，点 D 为边 AC 的中点，点 E 为 BD 的中点，如图所示，
DE=12DB=12DA+AB=12−12AC+AB=12AB−14AC ，
又 DE=λAB+μAC ， λ=12,μ=−14 ， λ+μ=12−14=14 .
故选：D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形，考查转换能力，属于基础题.
根据余弦定理列式计算，即可求得答案.
【解答】
解：由 △ABC 中， b=2 3,c=6,B=30∘ ，
可得 b2=a2+c2−2accsB ，即 12=a2+36−12acs30∘ ，
即 a2−6 3a+24=0 ，解得 a=2 3 或 4 3 ，
经验证 a=2 3 或 4 3 适合题意，
故选：C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中BC的值即可.
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题.
【解答】
解：由题意知O′B′=1 ， B′C′=1,∴O′C′= 2 ，
如图，将直观图复原为四边形 ABCD ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
因为 A′B′=2 ， O′ 是 A′B′ 的中点，故 OB=1 ，且 OC=2 2 ，
故 BC= OB2+OC2= 1+8=3 ，故 AD=3 ，
故选：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查圆台的体积、侧面积的计算，关键求出圆台的上底、下底半径，属于基础题.
设圆台的 上底面半径为 r′ ，下底面半径为 r ，母线为 l ，由圆台的侧面积得 r′+r=3 ，再由圆台的高 h 为 3 可得体积．
【解答】
解：设圆台的上底面半径为 r′ ，下底面半径为 r ，母线为 l ，
圆台的 高为 3 ，母线与底面所成角为 60∘ ，
所以 r−r′= 3× 33=1,l= 3 32=2 ，
则圆台的侧面积 S=πr′+rl=6π ，可得 r′+r=3 ，
故有 r′=1,r=2 ，
圆台的体积 V圆台=13πh(r ′2+r ′r+r2)=13π× 3×(1+2+4)=7 3π3 .
故选：B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
首先求以 OP 为终边的角为 π10t−π6 ，再根据三角函数的定义求点 P 的纵坐标，根据图形表示 ht 即可.
本题主要考查匀速圆周运动的数学模型的理解与应用，属于中档题.
【解答】
解： ∵∠xOP0=π6 ，所以 OP0 对应的角是 −π6 ，
由 OP 在 ts 内转过的角为 3×2π60t=π10t ，t∈0,+∞
可知以 Ox 为始边，以 OP 为终边的角为 π10t−π6 ，t∈0,+∞
因为圆的半径为 4, 则点 P 的纵坐标为 4sinπ10t−π6 ，t∈0,+∞
又因为筒车的轴心到水面的距离为 2 ，
所以点 P 距水面的高度 h 表示为 t 的函数是 h=4sinπ10t−π6+2,t∈0,+∞ .
故选：D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
建立平面直角坐标系，根据题意条件确定P点坐标，即可利用数量积的坐标表示求得 PB⋅PC 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
本题主要考查向量数量积的运算，属于较难题.
【解答】
解：如图，以 AB,AC 为 x,y 轴建立平面直角坐标系，
由于 AB=1t,AC=t,t>0 ，则 A(0,0),B1t,0,C0,t ，
则 AB=(1t,0),AC=(0,t) ，
而 AP=AB2AB+AC4AC=t2(1t,0)+14t(0,t)=(12,14) ，即有 P(12,14) ，
故 PB⋅PC=(1t−12,−14)⋅(−12,t−14)=−12t−t4+516 ，
因为 t>0 ， 12t+t4≥2 12t×t4= 22 ，当且仅当 12t=t4 ，即 t= 2 时取等号，
故当 t= 2 时， PB⋅PC=−12t−t4+516 取到最大值 − 22+516 ，
故选：B.
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查面面平行概念的理解，属于基础题.
根据平面与平面平行的判定一一判断各选项，即得答案.
【解答】
解：对于A，平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，A错误；
对于B，根据平面平行的传递性知，平行于同一平面的两个平面平行，B正确；
对于C，垂直于同一直线的两个平面平行，C正确；
对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，可能平行，D错误，
故选：BC.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查余弦型函数的性质，三角函数图像变换，属于中档题.
利用代入验证法可判断A；根据余弦型函数的周期公式可判断B；根据三角函数图像的平移变换规律判断C；根据X的范围确定 2x+π6∈−5π6,π6 ，结合余弦函数的最值可判断D.
【解答】
解：对于A，将 x=−π12 代入fx=2cs2x+π6 ，可得2cs−π6+π6=2 ，
即函数fx 图象关于直线 x=−π12 对称，A正确；
对于B，函数 fx 的最小正周期为 2π2=π ，B错误；
对于C，因为 fx=2cs2(x+π12) ，
故函数fx 图象可看作是把函数y=2cs2x 的图象向左平移π12 个单位而得到，C错误；
对于D， x∈−π2,0 时， 2x+π6∈−5π6,π6 ，
由于余弦函数y=csx在−5π6,π6上最大值为1，
故函数fx 在区间−π2,0的最大值为2，D正确，
故选：AD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
根据正弦定理可判断A；利用正弦定理边化角结合两角差的余弦公式可判断B；根据数量积的定义判断C；结合图形得到三角形中的不等关系化简可判断D.
本题主要考查了解三角形，涉及正弦定理的应用以及向量的运算，属于中档题.
【解答】
解：对于A，在 △ABC 中 A>B ，则 a>b ，由正弦定理可得 sinA>sinB ，A正确；
对于B， b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC ，则 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcsBcsC ，
在 △ABC 中， sinB≠0,sinC≠0 ，故 sinBsinC=csBcsC ，
即 cs(B+C)=0 ，则 csA=0 ，由于 A 为三角形内角，
故 A=π2 ，即 △ABC 是直角三角形，B错误；
对于C， AB⋅BC=2a ，即 |AB|⋅|BC|cs(π−B)=2a ，
故 −cacsB=2a ，则 csB<0 ， B 为 △ABC 内角，
故 B 为钝角，即 △ABC 是钝角三角形，C正确；
对于D，
sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC,a=ccsB+bcsC ，同理 b=acsC+ccsA ，
故 a+b=(a+b)csC+c(csB+csA) ，即 (a+b)(1−csC)=c(csB+csA) ，
因为 a+b>c,1−csC>0 ，故 0<1−csC
故选：ACD.
12.【答案】
【解析】
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查对向量数量级的运算，属于基础题.
根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的定义，即可求得答案.
【解答】
解：由题意知向量 a,b 的夹角为 2π3 ，且 a=1,a+b⊥a ，
故 (a+b)⋅a=0,∴a2+a⋅b=0 ，
即 1+1×|b|×cs2π3=0 ，则 |b|=2 ，
故答案为：2.
14.【答案】2 15− 510
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题.
根据三角函数定义求得 sinα,csα ，再根据两角差的余弦公式即可求得答案.
【解答】
解：因为 P−1,2 是角 α 的终边上一点，故 |OP|= (−1)2+22= 5 ，
所以 sinα=2 55,csα=− 55 ，
故 csα−π3=csαcsπ3+sinαsinπ3
=− 55×12+2 55× 32=2 15− 510 ，
故答案为： 2 15− 510.
15.【答案】15 3+1
【解析】【分析】
先根据三角形内角和为 180∘ ，求得 ∠CBD ，再根据正弦定理求得 BC ，进而在 Rt△ABC 中，根据 AB=BCtan∠ACB 求得 AB .
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题.
【解答】
解：在 △BCD 中， CD=30m ， ∠BCD=30∘,∠BDC=105∘ ，
∠CBD=180∘−30∘−105∘=45∘，
由正弦定理，得 BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
所以 BC=30sin105∘sin45∘=30sin45∘+30∘sin45∘=30 22× 32+ 22×12 22=15 3+1，
在 Rt△ABC 中， AB=BC⋅tan∠ACB=BC⋅tan45∘=15 3+1m，
所以塔高AB为 15 3+1m .
故答案为： 15 3+1 .
16.【答案】 22 ； 52
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的截面问题以及面面平行的判定.
先作出辅助线，得到面面平行，从而得到动点 N 的轨迹长度为 FG ，并求出轨迹长，再得到当动点 N 与 F 重合时，点 N 到平面 CDD1C1 的距离最大，作出截面，并求出答案.
【解答】
解：如图1，取 BC 的 中点 E ，连接 AE,ME ，则 ME//AD1 ，
故 A,E,M,D1 四点共面，
取 B1C1 的中点 G ， BB1 的中点 F ，连接 A1G,FG,A1F,FM,GE ，
因为 M 是棱 CC1 的中点，所以 A1D1=B1C1=FM,A1D1//B1C1//FM,
所以四边形 A1D1MF 是平行四边形，故 A1F//MD1 ，
因为 A1F⊄平面 AD1M ， MD1⊂ 平面 AD1M ，所以 A1F// 平面 AMD1 ，
因为 A1A=B1B=EG,A1A//B1B//EG,
故四边形 AA1GE 为平行四边形，故 A1G//AE ，
因为 A1G⊄平面 AMD1，AE⊂ 平面 AMD1，所以A1G// 平面 AMD1 ，
因为 A1G∩A1F=A1 ， A1G,A1F⊂ 平面 A1FG ，
所以平面 A1FG // 平面 AMD1 ，
当 N 在 FG 上时，直线 A1N // 平面 AD1M ，
故动点 N 的轨迹长度为 FG= 122+122= 22 ，
当动点 N 与 F 重合时，点 N 到平面 CDD1C1 的距离最大，
此时过点 D,M,N 的平面截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得到截面为四边形 ADMN ，
易知DM // AN ，AD // MN ，所以四边形 ADMN 为平行四边形，
又 MN ⊥平面 CDD1C1 ， MD⊂ 平面 CDD1C1 ，所以 MN ⊥MD ，
故四边形 ADMN 为矩形，故面积为 MN⋅MD=1× 52= 52 .
故答案为 ： 22 ， 52.
17.【答案】解：(1)z1+1z2=1+2i+12−i=1+2i+2+i5=75+115i .
(2)由题可得， A(1,2),B(2,−1) ，
设 z=a+bi,a,b∈R ，则 C(a,b) ，
所以 OC=(a,b) ， AB=(1,−3) ，
因为 OC 与 AB 共线，所以 3a+b=0 ，①，
又因为 z1−z2=−1+3i ，且 z=2z1−z2 ，
所以 a2+b2=2 10 ，即 a2+b2=40 ，②，
联立①②解得， a=2b=−6 或 a=−2b=6 ，
所以 z=2−6i 或 z=−2+6i .
【解析】本题考查复数的运算及其几何意义，属于中档题.
(1)根据复数的四则运算法则求解；
(2)根据复数的几何意义表示出 A,B,C 的坐标，根据共线可确定 3a+b=0 ，再结合复数的模的公式又得 a2+b2=40 ，联立求解即可.
18.【答案】解：(1)取 PD 的中点为G，连接 FG,EG ，
由于F是 PC 的中点，则 FG//CD,FG=12CD ，
又在正四棱锥 P−ABCD 中，已知侧棱和底面边长相等，即有 AB//CD,AB=CD ，
故 FG//BE,FG=12AB=BE ，
则四边形 EBFG 为平行四边形，所以 BF//EG ，
而 BF⊄ 平面 PED ， EG⊂ 平面 PED ，
故 BF // 平面 PED ；
(2)取 CD 中点为N，连接 EN ，取 EN 中点为H，连接 PN,PH ，
则 EN//AD ，故 ∠PEN 即为异面直线 PE 与 AD 所成角或其补角；
且H在 EN 上，且H为底面正方形 ABCD 的中点，则 PH⊥ 底面 ABCD ，
EN⊂ 底面 ABCD ，故 PH⊥EH ，
不妨设正四棱锥 P−ABCD 底面边长为2， △PAB 为正三角形，
则 EH=12EN=1,PE=2× 32= 3 ，
故在 Rt△PHE 中， cs∠PEH=EHPE=1 3= 33 ，
即异面直线 PE 与 AD 所成角的余弦值为 33 .
【解析】本题主要考查线面平行的判定和异面直线所成角的运算，属于中档题.
(1)取 PD 的中点为G，证明四边形 EBFG 为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可证明结论；
(2)利用根据异面直线所成角的定义作出异面直线 PE 与 AD 所成角或其补角，解三角形即可求得答案.
19.【答案】解：(1)由正弦定理及 3acsC−csinA=0 ，
得， 3sinAcsC−sinCsinA=0 ，
因为 A∈(0,π) ，所以sinA≠0 ，
所以 3csC−sinC=0 ，解得， tanC= 3 ，
因为 C∈(0,π) ，所以 C=π3 .
(2)因为 △ABC 的面积为 2 3 ，所以 12absinC=2 3 ，解得 ab=8 ，
又由余弦定理 c2=a2+b2−2abcsC ，
可得 4=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab ，解得 a+b=2 7 ，
由正弦定理可得， csinC=2R=4 33 ，
根据正弦定理可得， sinA+sinB=a2R+b2R=12R(a+b)= 212 .
【解析】本题主要考查三角函数的基本关系，属于中档题.
(1)利用正弦定理及同角三角函数的基本关系化简即可.
(2)利用三角形的面积公式和余弦定理、正弦定理结合求解.
20.【答案】解：(1)由题意得fx=2 3sinx2csx2+2cs2x2+a
= 3sinx+csx+1+a
=2sin(x+π6)+1+a ，
由于函数 fx 的最大值为1，
故3+a=1,∴a=−2 .
(2)由(1)可得f(x)=2sin(x+π6)−1 ，
令 π2+2kπ≤x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z ，
则 π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z ，
即函数fx 的单调递减区间为 [π3+2kπ,4π3+2kπ],k∈Z .
(3)由 fα−5π12=0,α∈0,π2 得 2sin(α−5π12+π6)−1=0,∴sin(α−π4)=12 ，
而 α∈0,π2 ，故 α−π4∈(−π4,π4) ，则 cs(α−π4)= 32 ，
故sinα=sin[(α−π4)+π4]=sin(α−π4)csπ4+cs(α−π4)sinπ4
=12× 22+ 32× 22= 2+ 64 ，
cs α=cs [(α−π4)+π4]=cs (α−π4)cs π4−sin (α−π4)sin π4
= 32× 22−12× 22= 6− 24 ，
故 sin2α−2sin2α1+tanα=2sinαcsα−2sin2α1+sinαcsα=2sinα(csα−sinα)csαcsα+sinα
=2× 6+ 24× 6− 24×( 6− 24− 2+ 64) 6− 24+ 6+ 24=− 36 .
【解析】本题主要考查三角函数的性质，三角恒等变换的运用，属于中档题.
(1)利用三角恒等变换化简可得 f(x)=2sin(x+π6)+1+a ，结合其最大值即可求得a；
(2)结合正弦函数的单调性即可求得答案；
(3)根据已知条件化简可得 sin(α−π4)=12 ，结合角的范围利用两角和差公式求得 sinα ， csα 的值，再化简 sin2α−2sin2α1+tanα 并代入求值，即得答案.
21.【答案】解：(1)因为 A1A⊥ 底面 ABCD ，且 A1A//DD1 ，所以 DD1⊥ 底面 ABCD ，
且 DA,CD⊂ 底面 ABCD ，所以 DD1⊥DA,DD1⊥CD ，
且 AD//BC,CD⊥BC ，所以 CD⊥AD ，
所以以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建系如图，
设 AD=2,CD=BC=1,DD1=h ，
则有 D(0,0,0),C(0,1,0),A1(2,0,h),Q(1,1,h2) ，
所以 DA1=(2,0,h),CQ=(1,0,h2) ，所以 DA1=2CQ ，
所以 DA1//CQ ，所以四边形 DA1QC 为梯形，
所以 A1,Q,C,D 四点共面.
(2)由(1)可知， CD⊥AD ， DD1⊥CD ，
AD∩DD1=D,AD,DD1⊂ 平面 AA1D1D ，
所以 CD⊥ 平面 AA1D1D ，
又因为 CD⊂ 平面 A1QCD ，所以平面 A1QCD⊥ 平面 AA1D1D .
(3)设平面 A1CD 的一个法向量为 m=(x,y,z) ，
DC=(0,1,0),DA1=(2,0,h) ，
所以 DC⋅m=y=0,DA1⋅m=2x+hz=0, 设 x=h ，则 y=0,z=−2 ，所以 m=(h,0,−2) ，
平面 CDB 的一个法向量为 n=(0,0,1) ，
所以 cs
所以 m=(2,0,−2) ，又因为 AC=(−2,1,0) ，
设直线 AC 与平面 A1QCD 所成角为 θ ，
则 sinθ=cs
即直线 AC 与平面 A1QCD 所成角的正弦值为 105 .
【解析】本题主要考查面面垂直的判定定理，利用空间向量证明线线平行，求面面夹角、线面夹角，属于中档题.
(1)利用空间向量的坐标表示证明 DA1//CQ 即可；
(2)利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明；
(3)利用空间向量的坐标运算表示二面角的余弦值即可求得 DD1=2 ，再利用坐标运算求线面夹角的正弦值.
22.【答案】解：(1)由已知 △ABC 中 cs2B+cs2C−cs2A=1 ，即 1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1 ，
故 sin2A=sin2B+sin2C ，由正弦定理可得 a2=b2+c2 ，
故 △ABC 直角三角形，即 A=π2 .
(2)由(1)知 A=π2 ，
故由点 P 为 △ABC 的费马点得 ∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3 ，
设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x,m>0,n>0,x>0 ，
则由 PB+PC=tPA 得 m+n=t ；
由余弦定理得 |AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=m2+m+1x2 ，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=n2+n+1x2 ，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=m2+n2+mnx2 ，
故由 |AC|2+|AB|2=|BC|2 得 n2+n+1x2+m2+m+1x2=m2+n2+mnx2 ，
即 m+n+2=mn ，而 m>0,n>0 ，故 m+n+2=mn≤(m+n2)2 ，
当且仅当 m=n ，结合 m+n+2=mn ，解得 m=n=1+ 3 时，等号成立，
又 m+n=t ，即有 t2−4t−8≥0 ，解得 t≥2+2 3 或 t≤2−2 3 (舍去)，
故实数 t 的最小值为 2+2 3 .
【解析】本题考查正余弦定理的应用，解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合(1)的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出 m+n=t ，结合费马点含义，利用余弦定理推出 m+n+2=mn ，然后利用基本不等式即可求解，属于中档题.
(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简 cs2B+cs2C−cs2A=1 可得 a2=b2+c2 ，即可求得答案；
(2)由(1)结论可得 ∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3 ，设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出 m+n=t ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出 m+n+2=mn ，再结合基本不等式即可求得答案.
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