2023-2024学年四川省成都市成华区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市成华区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，小器一容三斛；大器一，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
2．估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．＝±3B．＝2C．＝2D．＝﹣8
4．近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市2023年12月某五天的空气质量指数（AQI）：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（ ）
A．34B．28C．35D．27
5．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了4棵桂花树．分别以两条小路为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若A，B两处桂花树的位置关于x轴对称，点A的坐标为 （﹣3，3），则点B的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（3，﹣3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）
6．如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
7．中国象棋文化历史悠久．如图是某次对弈的残图，如果在图中建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣1
8．△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等边三角形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 ．
10．一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过第 象限．
11．某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是 分．
12．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列二元一次方程组为 ．
13．如图，我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．设直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形面积为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）计算：．
15．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
16．如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且 BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，AE＝4，求△AED的面积．
17．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于16顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若 DE＝2，求点M的坐标；
（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．计算：＝ ．
20．关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝6，则m的值是 ．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3．点D为△ABC外一点，满足∠BAD＝15°，∠ABD＝30°，则△ABD的面积是 ．
22．如图，直线l1：与x轴交于点A1，与直线l2：交于点B1，过点B1作l1的垂线交x轴于点A2，过点A2作l1的平行线交l2于点B2，过点B2作l1的垂线交x轴于点A3，过点A3作l1的平行线交l2于点B3，…按此方法作下去，则点B2024的坐标是 ．
23．如图，BD是边长为6的等边△ABC的高，E为BD上的动点，以CE为边长在CE的右上方作等边△ECF，连接DF，则△CDF的周长的最小值是 ．
二、解答题（本大题有3个小题，共30分）
24．汽车出发前油箱有油51升，匀速行驶3小时后，在加油站加油至45升．如图所示的图象表示汽车从出发后，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系．
（1）求加油前剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
（2）汽车剩余油量为8升时汽车必须加油．若汽车均以70千米/小时速度匀速行驶，加油站距目的地还有280千米，那么汽车要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P在BC边上（不与点B，C重合），连接PA，过点P作PA的垂线交过点B且垂直于AB的直线于点E．
（1）求证：∠BEP＝∠BAP；
（2）试探索线段BA，BP，BE之间有何数量关系？写出你结论，并证明；
（3）若点P在CB的延长线上，那么线段BA，BP，BE之间又有何数量关系？请直接写出你结论，不用证明．
26．在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式移动；从点（x，y）移动到点（x+1，y+3）称为一次乙方式移动．
（1）若原点O经过两次甲方式移动，得到点M；原点O经过两次乙方式移动，得到点N．设过点M，N的直线为l1，求直线l1的解析式；
（2）若原点O连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移动），最终移动到点Q．试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在一条确定的直线上；设这条直线为l2，请求出直线l2的解析式；
（3）将（2）中的直线l2向下平移30个单位，得到直线l3．分别在上述直线l1，l2，l3上取点A，B，C，设点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，且a≠b，试探究：当A，B，C三点共线时，a，b，c之间有何数量关系？说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是．
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．
解：∵4＜6＜9，
∴＜＜，
即2＜＜3，
那么在2和3之间，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．＝±3B．＝2C．＝2D．＝﹣8
【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市2023年12月某五天的空气质量指数（AQI）：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（ ）
A．34B．28C．35D．27
【分析】根据中位数的求法，将5个数字从大到小排列，找出中间的数即为中位数．
解：将5个数字从大到小排列为61、35、34、28、27，最中间为34．
所以中位数为34．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就容易出错．
5．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了4棵桂花树．分别以两条小路为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若A，B两处桂花树的位置关于x轴对称，点A的坐标为 （﹣3，3），则点B的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（3，﹣3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）
【分析】根据A、B关于x轴对称得出答案即可．
解：∵A，B两处桂花树的位置关于x轴对称，点A的坐标为 （﹣3，3），
∴点B的坐标为为（﹣3，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置等知识点，注意：点A（x，y）关于x对称的对称点的坐标是（x，﹣y）．
6．如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠BCD，从而求出∠DCE，再根据三角形的内角和即可求解．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BCD＝45°，
∴∠DCE＝135°，
由三角形的内角和可得∠D＝180°﹣135°﹣20°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解题关键．
7．中国象棋文化历史悠久．如图是某次对弈的残图，如果在图中建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣1
【分析】根据“帅”的位置确定“马”的位置的坐标，然后确定解析式即可．
解：∵棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，
∴棋子“马”位于点（1，2）的位置，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝x+1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．
8．△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
解：由题意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 2 ．
【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．
解：把代入方程得：3×2+2m＝10，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程是解题的关键．
10．一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过第 四 象限．
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
解：一次函数y＝3x+b（b≥0）中，
∵k＝3＞0，b≥0，
∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知1一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
11．某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是 93 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
解：根据题意，八一班的最终成绩是：30%×90+50%×94+20%×95＝93（分）．
故答案为：93．
【点评】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
12．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列二元一次方程组为 ．
【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵大容器5个，小容器1个，总容量为3斛，
∴5x+y＝3；
∵大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，
∴x+5y＝2．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．如图，我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．设直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形面积为 96 ．
【分析】根据直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，b﹣a＝4，c＝20，得出a2+b2＝c2＝400，（b﹣a）2＝16，从而得出＝96，即可求解．
解：∵直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，b﹣a＝4，c＝20，
∴a2+b2＝c2＝400，（b﹣a）2＝16，
∴a2+b2﹣2ab＝16，
∴400﹣2ab＝16，
∴2ab＝384，
∴＝96，
即每个直角三角形面积为96，
故答案为：96．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，根据题意得出a2+b2＝c2＝400，（b﹣a）2＝16是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先把所有的二次根式进行化简，然后利用二次根式的乘除法则进行计算即可；
（2）先根据乘方的意义、二次根式的化简和绝对值性质，计算乘方和开方，然后再算加减即可．
解：（1）原式＝
＝
＝
＝
＝1；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的有关计算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的方法．
15．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先用加减消元法求出x的值，再由用代入消元法求出y的值即可；
（2）先去括号，再用加减消元法和代入消元法求解即可．
解：（1）①×3﹣②得，8x＝8，解得x＝1，
把x＝1代入①得，3×1+y＝5，
解得y＝2，
故此方程组的解为；
（2）原方程组可化为，
①+②得，3y＝28，
解得y＝；
把y＝代入①得，3x﹣2×＝8，
解得x＝，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且 BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，AE＝4，求△AED的面积．
【分析】（1）利用AAS证明∴△ABE≌△ECD，即可证明结论；
（2）先证明△AED为等边三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，过A点作AF⊥ED于F，利用等边三角形的性质可得EF＝2，再根据勾股定理求得AF的长，利用三角形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）解：由（1）知∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴△AED为等边三角形，
∴AE＝AD＝ED＝4，
过A点作AF⊥ED于F，
∴EF＝ED＝2，
∴AF＝，
∴S△AED＝ED•AF＝．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识的综合运用，证明△ABE≌△ECD是解题的关键．
17．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于16顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：，即可解得答案；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，B种帐篷数量不少于16顶，可得x≤4，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案．
解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得：，
解得：，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，
∵B种帐篷数量不少于16顶
∴20﹣x≥16，
解得x≤4，
根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，
∵﹣400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝4时，w取最小值，最小值为﹣400×4+20000＝18400（元），
∴20﹣x＝20﹣4＝16，
答：购买A种型号帐篷4顶，购买B种型号帐篷16顶，总费用最低，最低总费用为18400元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若 DE＝2，求点M的坐标；
（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出C（2，），再用待定系数法可得直线l1的解析式为y＝x+3；
（2）设M（m，0），则D（m，m+3），E（m，m），由DE＝2，得|m+3﹣m|＝2，解得m＝或m＝，从而M的坐标为（，0）或（，0）；
（3）求出B（0，3），①当B为直角顶点时，过B作BH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BQH（AAS），可得OA＝BH＝4，OB＝QH＝3，故Q的坐标为（﹣3，7）；②当A为直角顶点时，过Q作QT⊥x轴于T，同理可得Q的坐标为（﹣7，4）；③当Q为直角顶点时，过Q作WG⊥y轴于G，过A作AW⊥WG于W，同理可得△AQW≌△QBG（AAS），AW＝QG，QW＝BG，设Q（p，q），有，可解得Q的坐标为（﹣，）．
解：（1）在y＝x中，令x＝2得y＝，
∴C（2，）；
设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（2，）代入得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝x+3；
（2）如图：
设M（m，0），则D（m，m+3），E（m，m），
∵DE＝2，
∴|m+3﹣m|＝2，
∴3﹣m＝2或3﹣m＝﹣2，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，0）或（，0）；
（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
①当B为直角顶点时，过B作BH⊥y轴于H，如图：
∵△QAB为等腰直角三角形，
∴AB＝QB，∠QBA＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠QBH＝∠BQH，
∵∠AOB＝90°＝∠QHB，
∴△ABO≌△BQH（AAS），
∴OA＝BH＝4，OB＝QH＝3，
∴OH＝OB+BH＝7，
∴Q的坐标为（﹣3，7）；
②当A为直角顶点时，过Q作QT⊥x轴于T，如图：
同理可得△AQT≌△BAO（AAS），
∴AT＝OB＝3，QT＝OA＝4，
∴OT＝OA+AT＝7，
∴Q的坐标为（﹣7，4）；
③当Q为直角顶点时，过Q作WG⊥y轴于G，过A作AW⊥WG于W，如图：
同理可得△AQW≌△QBG（AAS），
∴AW＝QG，QW＝BG，
设Q（p，q），
∴，
解得，
∴Q的坐标为（﹣，）；
综上所述，Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．计算：＝ 1 ．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
解：
＝2024﹣2023
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝6，则m的值是 3 ．
【分析】首先解方程组得x＝1.5m﹣1，y＝0.5m﹣4，再根据x﹣y＝6得1.5m﹣1+0.5m﹣4＝6，据此即可求出m的值．
解：解方程组得：，
∵x+y＝6，
∴1.5m﹣1+0.5m﹣4＝6，
解得：m＝3．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3．点D为△ABC外一点，满足∠BAD＝15°，∠ABD＝30°，则△ABD的面积是 ．
【分析】过点A作AE⊥BE，交BD的延长线于点E，从而可得∠AEB＝90°，再在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝3，然后利用AAS证明△ACB≌△AEB，从而可得BC＝BE＝3，AC＝AE＝3，再利用三角形的外角性质可得∠ADE＝45°，从而可得△ADE是等腰直角三角形，进而可得AE＝DE＝3，最后利用线段的和差关系可得BD＝3﹣3，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
解：过点A作AE⊥BE，交BD的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，
∴BC＝AC＝3，
∵∠ABC＝∠ABD＝30°，∠C＝∠E＝90°，AB＝AB，
∴△ACB≌△AEB（AAS），
∴BC＝BE＝3，AC＝AE＝3，
∵∠ADE是△ADB的一个外角，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣3，
∴△ABD的面积＝BD•AE＝×（3﹣3）×3＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．如图，直线l1：与x轴交于点A1，与直线l2：交于点B1，过点B1作l1的垂线交x轴于点A2，过点A2作l1的平行线交l2于点B2，过点B2作l1的垂线交x轴于点A3，过点A3作l1的平行线交l2于点B3，…按此方法作下去，则点B2024的坐标是 ．
【分析】分别过点B1，B2，B3作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，依题意得OA1＝1，∠B1A1A2＝60°，∠B1OA1＝30°，进而得∠OB1A1＝30°，则OA1＝A1B1＝1，由此可求出A2B1＝√3，再由△的面积公式求出B1C1＝，进而可求出A1C1＝，则OC1＝OA1+A1C1＝，据此得点B1，根据A2B1⊥直线l1，A2B2∥直线l1，得A2B1⊥A2B2，∠A2B2B1＝∠OB1A1＝30°，∠B2A2A3＝∠B1A1A2＝60°，则B1B2＝2A2B1＝，A2B2＝3，再由A3B2⊥直线l1得∠B2A2A3＝60°，则∠A2A3B2＝30°，A2A3＝2A2B2＝6，进而可求出A3B2＝，再由三角形的面积公式求出B2C2＝，由此可求出A2C2＝，则OC2＝OA1+A1A2+A2C2＝，据此得点B2，同理可得：点B3，点B4，…，以此类推，点Bn的坐标为，据此规律即可得出点B2024的坐标．
解：分别过点B1，B2，B3作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，如图所示：
∵直线l1：与x轴的夹角为60°，点A1的坐标为（1，0），
∴OA1＝1，∠B1A1A2＝60°，
∵直线l2：经过坐标原点，且与x轴的夹角为30°，
∴∠B1OA1＝30°，
∵∠B1A1A2＝∠B1OA1+∠OB1A1，
∴60°＝30°+∠OB1A1，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∵A2B1⊥直线l1，
∴∠A2B1A1＝90°，
∴∠A1A2B1＝30°，
∴A1A2＝2A1B1＝2，
在Rt△A1A2B1中，A1A2＝2，A1B1＝1，
由勾股定理得：A2B1＝＝，
由△的面积公式得：△A1A2B1的面积＝A1A2•B1C1＝A1B1•A2B2，
∴B1C1＝＝＝，
在Rt△A1B1C1中，A1B1＝1，B1C1＝，
由勾股定理得：A1C1＝＝，
∴OC1＝OA1+A1C1＝＝，
∴点B1的坐标为，
∵A2B1⊥直线l1，A2B2∥直线l1，
∴A2B1⊥A2B2，∠A2B2B1＝∠OB1A1＝30°，∠B2A2A3＝∠B1A1A2＝60°，
∴B1B2＝2A2B1＝，
由勾股定理得：A2B2＝＝3，
∵A3B2⊥直线l1，
∴在Rt△A2A3B2中，∠B2A2A3＝60°，
∴∠A2A3B2＝30°，
∴A2A3＝2A2B2＝6，
由勾股定理得：A3B2＝＝，
由三角形的面积公式得：A2A3B2的面积＝A2A3•B2C2＝A2B2•A3B2，
∴B2C2＝＝，
在Rt△A2C2B2中，A2B2＝3，B2C2＝，
由勾股定理得：A2C2＝＝，
∴OC2＝OA1+A1A2+A2C2＝＝，
∴点B2的坐标为，
同理可得：点B3的坐标为，点B4的坐标为，
…，以此类推，点Bn的坐标为，
∴当n＝2024时，，，
∴点B2024的坐标为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握一次函数的图象，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，根据点B1，B2、B3，…坐标的规律归纳总结出点Bn的坐标是解决问题的难点．
23．如图，BD是边长为6的等边△ABC的高，E为BD上的动点，以CE为边长在CE的右上方作等边△ECF，连接DF，则△CDF的周长的最小值是 3+3 ．
【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，
过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，
则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，
∴CH＝AC＝6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH＝CD•tan60°＝3，
AG垂直平分CH，
∴CI＝HI，CF＝FH，
∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，
CF+DF＝HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，
∴△CDF的周长的最小值为3+3．
故答案为：3+3．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹．
二、解答题（本大题有3个小题，共30分）
24．汽车出发前油箱有油51升，匀速行驶3小时后，在加油站加油至45升．如图所示的图象表示汽车从出发后，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系．
（1）求加油前剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
（2）汽车剩余油量为8升时汽车必须加油．若汽车均以70千米/小时速度匀速行驶，加油站距目的地还有280千米，那么汽车要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）求出加油前行驶的路程和用油量，再求出从加油站到目的地所需要的油量，然后判断即可．
解：（1）因为函数图象过点（0，51）和（3，24），
所以设函数关系式为y＝kt+b，
则，
解得，
因此，加油前剩余油量y与行驶时间t的函数关系式y＝﹣9t+51；
（2）油箱中的油，够用．
∵汽车加油前行驶了3小时，行驶了3×70＝210（km），用去了51﹣24＝27升油，
而目的地距加油站还有280km，
∴要到达目的地还需36升油，而中途加油21升后有油45升，
即油箱中的剩余油量是45升，45﹣36＝9＞8，所以够用．
因此，要到达目的地油箱中的油够用．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息并准确识图，观察出油箱中的油量的变化是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P在BC边上（不与点B，C重合），连接PA，过点P作PA的垂线交过点B且垂直于AB的直线于点E．
（1）求证：∠BEP＝∠BAP；
（2）试探索线段BA，BP，BE之间有何数量关系？写出你结论，并证明；
（3）若点P在CB的延长线上，那么线段BA，BP，BE之间又有何数量关系？请直接写出你结论，不用证明．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出结论；
（2）过P作PF⊥BC交AB于F，证明△EBP≌△AFP（AAS），得出BE＝FA，则可得出结论；
（3）过P作PF⊥BP交EB于F，同理可证△EFP≌△ABP（AAS），得出EF＝BA，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AB，
∴∠6＝90°，
∴∠E+∠1＝90°，
∵PE⊥AP，
∴∠EPA＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠E＝∠3，
即∠BEP＝∠BAP；
（2）解：结论：线段BA，BP，BE之间的数量关系是．
证明：过P作PF⊥BC交AB于F，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠4＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BP＝FP，∠5＝45°，
∴∠7＝135°，
∵∠6＝90°，∠4＝45°，
∴∠EBP＝135°，
∴∠EBP＝∠7，
在△EBP和△AFP中，
，
∴△EBP≌△AFP（AAS），
∴BE＝FA，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴，
∵BA＝BF+FA，
∴；
（3）解：线段BA，BP，BE之间的数量关系为BE＝BP+AB．
证明：过P作PF⊥BP交EB于F，
同理可证△EFP≌△ABP（AAS），
∴EF＝BA，
∵BF＝PB，
∴BE＝BF+EF＝PB+AB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式移动；从点（x，y）移动到点（x+1，y+3）称为一次乙方式移动．
（1）若原点O经过两次甲方式移动，得到点M；原点O经过两次乙方式移动，得到点N．设过点M，N的直线为l1，求直线l1的解析式；
（2）若原点O连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移动），最终移动到点Q．试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在一条确定的直线上；设这条直线为l2，请求出直线l2的解析式；
（3）将（2）中的直线l2向下平移30个单位，得到直线l3．分别在上述直线l1，l2，l3上取点A，B，C，设点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，且a≠b，试探究：当A，B，C三点共线时，a，b，c之间有何数量关系？说明理由．
【分析】（1）根据定义分别求出M、N点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设原点O按甲方式移动n次，则按乙方式移动（10﹣n）次，通过平移后得到Q（n+10，30﹣2n），可求得直线l2的解析式为y＝﹣2x+50；
（3）由题可知A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+50），C（c，﹣2c+20），再由A，B，C三点共线，可知直线AB解析式、直线AC解析式中k的值相等，则有＝，从而可得b＝4c﹣3a．
解：（1）原点O经过一次甲方式移动得到（2，1），（2，1）经过一次甲方式移动得到M（4，2）；
原点O经过一次乙方式移动得到（1，3），（1，3）经过一次甲方式移动得到N（2，6）；
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）设原点O按甲方式移动n次，则按乙方式移动（10﹣n）次，
∴原点O按甲方式移动n次后得到点（2n，n），点（2n，n）按乙方式移动（10﹣n）次后得到点Q（n+10，30﹣2n），
设x＝n+10，y＝30﹣2n，
∴y＝30﹣2（x﹣10）＝﹣2x+50，
∴无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在一条确定的直线y＝﹣2x+50上，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+50；
（3）直线l3的解析式为y＝﹣2x+20，、
由题可知A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+50），C（c，﹣2c+20），
∵A，B，C三点共线，
∴＝，
整理得b＝4c﹣3a．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄清定义是解题的关键．