2020-2021学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了一元二次方程的根是，如图所示的几何体，其俯视图是，下列说法中，错误的是，一元二次方程配方后可化为等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）.
1．（3分）一元二次方程的根是　　
A．0 B．2 C．0和2 D．0和
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是　　
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
3．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是　　

A． B．
C． D．
4．（3分）下列说法中，错误的是　　
A．菱形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
5．（3分）已知，相似比为2，且的面积为16，则的面积为　　
A．32 B．8 C．4 D．16
6．（3分）一元二次方程配方后可化为　　
A． B． C． D．
7．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在中，，则下列各式中正确的是　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为　　

A． B． C． D．
10．（3分）二次函数的对称轴是直线，图象如图所示，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
二.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　　．
12．（4分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率稳定在　　．
13．（4分）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一般式为　　．
14．（4分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，，则的长为　　．

三.解答题（本大题共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
17．（8分）为了解疫情期间网络学习的效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不好”四个等次中，选择一项作为评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　　人；扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为　　；请将条形统计图补充完整；
（2）张老师在班上抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
18．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高为20米，求二号楼的高．（结果精确到1米）（参考数据，，，，，

19．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点是轴上的点，的面积是4，求点的坐标．

20．（10分）如图，点在菱形的边上滑动（不与，重合），点在边上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点为边的黄金分割点，求证：．

四.填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则　　．
22．（4分）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是中，的顶点都在小正方形的顶点上，则　　．

23．（4分）从，2，，4这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　　．
24．（4分）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别交于点，．连接并延长交轴于点，则的面积是　　．

25．（4分）如图，在的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知是网格中的格点三角形，则该网格中与相似且面积最大的格点三角形的面积是　　，符合条件的格点三角形共有　　个．

五.解答题（本大题有3个小题，共30分）
26．（8分）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？月利润的最大值是多少？
27．（10分）中，，，过点作直线，使，点在直线上（不与点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转后交直线于点．
（1）如图1，点在射线上，，求证：；
（2）如图2，点在射线上，，线段，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明．
（3）若，，，请直接写出线段的长
28．（12分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标；
（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．


2020-2021学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）.
1．（3分）一元二次方程的根是　　
A．0 B．2 C．0和2 D．0和
【解答】解：移项得，，
因式分解得，，
解得，，，
故选：．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是　　
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【解答】解：、、既是轴对称图形，也是中心对称图形；
、不是轴对称图形，只是中心对称图形．
故选：．
3．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．
故选：．
4．（3分）下列说法中，错误的是　　
A．菱形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【解答】解：、菱形的对角线互相垂直，
选项不符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
选项符合题意；
、矩形的四个角都是直角，
矩形的四个内角都相等，
选项不符合题意；
、四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，
四个内角都相等的四边形是矩形，
选项不符合题意；
故选：．
5．（3分）已知，相似比为2，且的面积为16，则的面积为　　
A．32 B．8 C．4 D．16
【解答】解：，相似比为2，
与的面积比为4，
的面积为16，
的面积为：．
故选：．
6．（3分）一元二次方程配方后可化为　　
A． B． C． D．
【解答】解：



故选：．
7．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
8．（3分）如图，在中，，则下列各式中正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，，，
，，，．
故选：．
9．（3分）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，

故选：．

10．（3分）二次函数的对称轴是直线，图象如图所示，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由图象知，抛物线与轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴为直线，
，
，
由图象知，抛物线开口方向向下，
，
，
，而抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，故②③正确，
由图象知，当时，，
，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：．
二.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　　．
【解答】解：由题意可知：△，
，
故答案为：
12．（4分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率稳定在　　．
【解答】解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是．
故答案为：．
13．（4分）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一般式为　　．
【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，
再向下平移2个单位得到抛物线，即．
故答案为：．
14．（4分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，，则的长为　6　．

【解答】解：如图，设交于点，连接．

由作图可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故答案为：6．
三.解答题（本大题共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）原式

；

（2）
，
则或，
解得：，．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：



，
当时，原式．
17．（8分）为了解疫情期间网络学习的效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不好”四个等次中，选择一项作为评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　200　人；扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为　　；请将条形统计图补充完整；
（2）张老师在班上抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【解答】解：（1）这次活动共抽查了（名，
扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为，
“不好”的人数为（名，
补全条形统计图如图所示：

故答案为：200、；

（2）把学习效果“优秀”的记为，“良好”记为，“一般”的记为，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
抽取的2人学习效果全是“良好”的概率为．
18．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高为20米，求二号楼的高．（结果精确到1米）（参考数据，，，，，

【解答】解：过点、分别作，，垂足分别为、，
由题意得，，，，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答：二号楼的高度约为39米．
19．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点是轴上的点，的面积是4，求点的坐标．

【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，，
，
解得，
即反比例函数的解析式为，
，解得，
点，
一次函数的图象过点，，
，
解得，
即一次函数的解析式为；
（2）设点的坐标为，
一次函数，
当时，，
的面积是4，点，，
，
解得，，
即点的坐标为，或，．
20．（10分）如图，点在菱形的边上滑动（不与，重合），点在边上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点为边的黄金分割点，求证：．

【解答】证明：（1）四边形为菱形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）点为边的黄金分割点，，
，
，
，
，
．
四.填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则　　．
【解答】解：把代入得，解得，
，
．
故答案为．
22．（4分）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是中，的顶点都在小正方形的顶点上，则　　．

【解答】解：如图，过点作于．

在中，，，
，
．
故答案为：．
23．（4分）从，2，，4这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　　．
【解答】解：画树状图得：

则共有12种等可能的结果，
反比例函数中，图象在二、四象限，
，
有8种符合条件的结果，
（图象在二、四象限），
故答案为：．
24．（4分）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别交于点，．连接并延长交轴于点，则的面积是　　．

【解答】解：设点，则，
是的中点，
点，，
则，
连接，如图所示：
轴，
，
的面积的面积，
故答案为：．

25．（4分）如图，在的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知是网格中的格点三角形，则该网格中与相似且面积最大的格点三角形的面积是　10　，符合条件的格点三角形共有　　个．

【解答】解：在中，，，
，，
与相似的格点三角形的两直角边的比值为，

若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出，，的三角形，
，
，
，
此时的面积为：，为面积最大的三角形，
的三边为的直角三角形，
相似，直角边为，
直角边最长应为与，如图中4个，
每旋转又有4个，
共（个．
故答案为：10；16．
五.解答题（本大题有3个小题，共30分）
26．（8分）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？月利润的最大值是多少？
【解答】解：（1）设每千克水果售价为元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每千克水果售价为60元或80元．
（2）设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
依题意得：．
，
当时，取得最大值，最大值为9000．
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大，月利润的最大值是9000元．
27．（10分）中，，，过点作直线，使，点在直线上（不与点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转后交直线于点．
（1）如图1，点在射线上，，求证：；
（2）如图2，点在射线上，，线段，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明．
（3）若，，，请直接写出线段的长
【解答】解：（1）如图1中，

当时，，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
；

（2）结论：．
理由：如图2中，当时，，

，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（3）由题可得，，
分两种情况：
①如图所示，当点在线段上时，过点作于，过点作于．

，
，
，
，，
，，，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
．

②如图所示，当点在的延长线上时，

过作于，
，
，，
，
，
，设，
，
，
，
．
综上所述所，线段的长度为或．
28．（12分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标；
（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为，
即，解得，
故抛物线的表达式为①；

（2）由抛物线的表达式知，点，
如图，过点、分别作直线、，使两条直线均与平行，

设直线、分别交轴于点、，则，
由，，，
，
，
故点，
由点、的坐标知，直线的表达式为，
而，则直线的表达式为②，
联立①②并解得或3，
故点的坐标为或．

（3）存在．，，，
为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
点的横坐标为，
又点在直线上，
点的纵坐标为，
，，
设，，，
①如图2中，当，，

由，
则，
解得或（舍去），
此时点的坐标为，，

②当，当时，
则，
解得：或（舍去），
此时点的坐标为，．

③当，时，
此时与相似，
此时的点与点关于①的结果，对称，
设，，
则，
解得，
，，
此时点的坐标为，．

故在射线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为：，或，或，．
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日期：2021/12/7 15:40:28；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123