2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是
A．B．0C．D．1.5
2．（4分）在平面直角坐标系中，点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（4分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是
A．2，3，4B．，，C．，，D．0.3，0.4，0.5
4．（4分）下列命题中，假命题是
A．相等的角是对顶角
B．三角形内角和为
C．实数和数轴上点是一一对应的
D．两条直线平行，同旁内角互补
5．（4分）甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为，方差，；则投篮的命中率较稳定的是
A．两人一样稳定B．甲C．乙D．无法判断
6．（4分）已知一次函数，则该函数的图象大致是
A．B．
C．D．
7．（4分）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是
A．B．C．D．
8．（4分）我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”（大意是，100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？设有大马匹，小马匹，根据题意列方程组正确的是
A．B．
C．D．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）27的立方根是 ，9的平方根是 ．
10．（4分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
11．（4分）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是 ．
12．（4分）如图，直线与直线都经过点，则关于，的方程组的解是 ．
13．（4分）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ．
三、解答题（共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（8分）计算：
（1）；
（2）．
15．（12分）（1）解方程组：；
（2）阅读下面的文字，解答问题．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值．
16．（8分）为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：
（1）根据以上信息回答下列问题：
①求m＝ ，并补全条形统计图．
②抽查的学生每周平均课外阅读时间这组数据的众数 小时、中位数 小时．
（2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；点的对应点的坐标是 ；
（2）求△的面积；
（3）在中，边上的高为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．
（1）点的坐标是 ；直线的函数表达式 ；
（2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标；
（3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒，请求出的最小值．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）比较大小： ．
20．（4分）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ．
21．（4分）定义：对于给定的一次函数、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ．
22．（4分）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若△为直角三角形，则的长为 ．
23．（4分）如图，在等腰中，，，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ．
二、解答题（共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．（8分）“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办．大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销．小冬在某网店选中，两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售．这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小冬用550元购进了，两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？
（2）第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与直线平行．
（1） ；点的坐标 ；点的坐标是 ；
（2）若点，将线段水平向右平移个单位得到线段，连接，．若△是等腰三角形，求的值；
（3）点为轴上一动点，连接，若，请求出点坐标．
26．（12分）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接，易证，则
①线段、之间的数量关系是 ；
② ；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是
A．B．0C．D．1.5
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可．
解：，，
点所在的象限是第四象限．
故选：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
3．（4分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是
A．2，3，4B．，，C．，，D．0.3，0.4，0.5
【分析】欲判断能否作为直角三角形的三边长，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：．，该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
．，该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
．，该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
．，该组数据能作为直角三角形的三边长，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（4分）下列命题中，假命题是
A．相等的角是对顶角
B．三角形内角和为
C．实数和数轴上点是一一对应的
D．两条直线平行，同旁内角互补
【分析】根据对顶角的定义，三角形内角和定理，实数的意义，平行线的性质进行解答即可．
解：．相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，符合题意；
．三角形内角和为，是真命题，不符合题意；
．实数和数轴上点是一一对应的，是真命题，不符合题意；
．两条直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了对顶角的定义，三角形内角和定理，实数的意义，平行线的性质，熟练掌握相关内容是解答本题的关键．
5．（4分）甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为，方差，；则投篮的命中率较稳定的是
A．两人一样稳定B．甲C．乙D．无法判断
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：，，
，
投篮的命中率较稳定的是乙，
故选：．
【点评】本题主要考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（4分）已知一次函数，则该函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质，，函数值随的增大而增大，即可得到结论．
解：一次函数，，，
函数经过第一，二，三象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．
7．（4分）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质求解即可．
解：，，
，
故选：．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8．（4分）我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”（大意是，100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？设有大马匹，小马匹，根据题意列方程组正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意和题目中的数据可知：大马的匹数小马的匹数，大马的匹数小马的匹数，然后列出方程组即可．
解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）27的立方根是 3 ，9的平方根是 ．
【分析】根据立方根和平方根的定义求出即可．
解：27的立方根是3，9的平方根是，
故答案为：3，．
【点评】本题考查了立方根和平方根，熟知平方根和立方根的定义是解题的关键．
10．（4分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【分析】二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
11．（4分）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是 ．
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到的度数．
解：在中，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（4分）如图，直线与直线都经过点，则关于，的方程组的解是 ．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到结论．
解：直线与直线都经过点，
关于，的方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．（4分）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ．
【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解．
解：，
由勾股定理可得：，，，
可知，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．
三、解答题（共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
15．（12分）（1）解方程组：；
（2）阅读下面的文字，解答问题．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值．
【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）仿照题中给出的方法求出、的值，即可求出的值．
解：（1），
把②代入①得，，
解得，
把代入②得，，
方程组的解是；
（2），即，
的整数部分为3，小数部分为，
，，
，
，
解得．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，无理数的估算，熟练掌握解二元一次方程组的方法和用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
16．（8分）为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：
（1）根据以上信息回答下列问题：
①求m＝ 60 ，并补全条形统计图．
②抽查的学生每周平均课外阅读时间这组数据的众数 3 小时、中位数 3 小时．
（2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数．
【分析】（1）①根据2小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出3小时的人数，画出条形图；
②根据中位数，众数的定义判断即可；
（2）用样本估计总体的思想解决问题．
解：（1）①m＝15÷＝60（名），3小时的人数＝60﹣10﹣15﹣10﹣5＝20（名）．
条形图如图所示：
故答案为：60；
②这组数据的众数3、中位数是3．
故答案为：3，3；
（2）1800×＝1050（名）．
答：估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数约为1050名．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；点的对应点的坐标是 ；
（2）求△的面积；
（3）在中，边上的高为 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
解：（1）如图，△即为所求，点的对应点的坐标是．
故答案为：；
（2）△的面积；
（3）设边上的高为．
，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查作图轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．
（1）点的坐标是 ；直线的函数表达式 ；
（2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标；
（3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒，请求出的最小值．
【分析】（1）先根据直线过点，求出点坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）设点坐标为，先求出点坐标，再求出的面积，表示出的面积，根据，列方程求解即可；
（3）根据点在第二象限，当，可知点在线段（不含端点）上运动，作点关于线段的对称点，连接，交线段点，连接，则的最小值即为的长，求出的长度，进一步可得的最小值．
解：（1）点在轴上，直线过点，
点坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
直线的函数表达式为，
故答案为：，；
（2）设点坐标为，
直线过点，与轴交于点，
令，得，
点坐标为，
点，点，
，，，
，
，
，解得或，
点的坐标为，或，；
（3）点在第二象限，当时，如图，
在过点且平行于的线段（不含端点）上，
直线的函数表达式为，
，
，
，
作点关于线段的对称点，连接，，，交线段点，连接，则的最小值即为的长，
，，，
，
，
，
，
点的运动速度始终为每秒1个单位长度，
运动的总时间为（秒，
的最小值为．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）比较大小： ．
【分析】首先把两个数平方，再根据实数的大小比较方法即可比较大小．
解：，，
．
故填空答案：．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．
20．（4分）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 8 ．
【分析】根据题意联立方程和方程，求出、的值，然后再代入其它的两个方程得到关于、的方程组，求出、的值，即可求出的值．
解：关于，的方程组与有相同的解，
，
①②得，，
解得，
把代入②得，，
这个方程组的解是，
将其代入其它两个方程得，
③④得，，
解得，
把代入③得，，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题时正确理解题意得到关于、的方程组是关键．
21．（4分）定义：对于给定的一次函数、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ．
【分析】找出一次函数的“新生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出、的值．
解：一次函数的“新生函数”为．
点在一次函数的“新生函数”图象上，，
．
点在一次函数的“新生函数”图象上，
当时，，解得，
当时，，解得，
则的值是1或，
故答案为：，1或．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“新生函数”的定义，找出一次函数的“新生函数”是解题的关键．
22．（4分）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若△为直角三角形，则的长为 或1 ．
【分析】①如图1，当，与重合，是的中点，于是得到结论；②如图2，当，推出是等腰直角三角形，得到，列方程即可得到结论．
解：①如图1，
当，与重合，是的中点，
；
②如图2，当，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
沿所在的直线折叠，使点的对应点，
，
，
，
，
，
综上所述，若△为直角三角形，则的长为或1，
故答案为：或1．
【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
23．（4分）如图，在等腰中，，，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ．
【分析】在上截取，连接作点关于的对称点，连接，，先明得到，，根据当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用股定理求出长，即可求出长度的最小值．
解：在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，如图：
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
点与点的关于对称，
，，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
线段长度的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，利用轴对称求最短距离，作出恰当辅助线是解题的关键，
二、解答题（共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．（8分）“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办．大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销．小冬在某网店选中，两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售．这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小冬用550元购进了，两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？
（2）第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？
【分析】（1）设购进款“蓉宝”玩偶个，款“蓉宝”玩偶个，利用进货总价进货单价进货数量，结合第一次小冬用550元购进了，两款“蓉宝”玩偶共30个，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进款“蓉宝”玩偶个，全部售出后获得的总利润为元，则购进款“蓉宝”玩偶个，利用总利润每个款“蓉宝”玩偶的销售利润销售数量（购进款“蓉宝”玩偶的数量）每个款“蓉宝”玩偶的销售利润销售数量（购进款“蓉宝”玩偶的数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设购进款“蓉宝”玩偶个，款“蓉宝”玩偶个，
根据题意得：，
解得：．
答：购进款“蓉宝”玩偶20个，款“蓉宝”玩偶10个；
（2）设购进款“蓉宝”玩偶个，全部售出后获得的总利润为元，则购进款“蓉宝”玩偶个，
根据题意得：，
即，
，
随的增大而增大，
又，
当时，取得最大值，最大值（元．
答：小冬第二次销售中获得的最大利润是300元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与直线平行．
（1） ；点的坐标 ；点的坐标是 ；
（2）若点，将线段水平向右平移个单位得到线段，连接，．若△是等腰三角形，求的值；
（3）点为轴上一动点，连接，若，请求出点坐标．
【分析】（1）根据两直线平行，可得的值，即可求出直线与坐标轴的交点．
（2）根据平移的性质，可知点和点的坐标，△是等腰三角形，分三种情况讨论．
（3）分两种情况讨论，①过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，，证明，根据全等三角形的性质进一步可得点的坐标为，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点的坐标；②过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，，证明
根据全等三角形的性质进一步可得点的坐标为，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点的坐标．
解：（1）直线与直线平行．
．
直线的解析式为．
令，得．
即点的坐标为．
令，得．
即点的坐标为．
故答案为：，，．
（2）点，且将线段水平向右平移个单位得到线段．
点的坐标为，点的坐标为．
．
．
．
△是等腰三角形，分情况讨论：
①当时，可得，解得或．
②当时，可得，解得（舍去）或（舍去）．
③当时，可得，解得．
综上所述，或或．
（3）分情况讨论：
①过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
则是等腰直角三角形．
．
点，点．
，．
．
．
．
．
．
在和中．
．
．
．
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，为常数，．
代入点，点．
得．
解得．
直线的解析式为．
点的坐标为．
②过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
则是等腰直角三角形．
．
．
．
．
．
．
在和中．
．
．
．
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，为常数，．
代入点，点．
得．
解得．
直线的解析式为．
点的坐标为．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大．
26．（12分）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接，易证，则
①线段、之间的数量关系是 ；
② ；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
【分析】（1）由条件易证，从而得到：，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；
（2）同（1）证出，得出，，求出，得出．由勾股定理求出即可；
（3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，得出，，，，证出是等边三角形，得出，，求出，证明、、在同一条直线上，得出，再由勾股定理求出即可．
解：（1）①和均为等边三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
；
故答案为：；
②由①得：，
．
为等边三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
故答案为：；
（2）和均为等腰直角三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
，，
为等腰直角三角形
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
；
（3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：
则，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
即、、在同一条直线上，
，
在中，，
即的长为．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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