2024年高考数学第二轮复习：高考数学模拟试题精编(九)

这是一份2024年高考数学第二轮复习：高考数学模拟试题精编(九)，共6页。试卷主要包含了抛物线有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝( )
A．[－1，＋∞) B．[1，3]
C．[－1，1) D．(1，3]
2．已知i为虚数单位，若复数z＝ eq \f(3－i,1＋i)，则|iz|＝( )
A．1 B． eq \r(5)
C． eq \r(2) D．2
3．若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋2n＋a，则“a＝0”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．向量a，b满足|a|＝1，且(2a－b)⊥a，(a＋b)⊥(3a－b)，则|b|＝( )
A．2 B． eq \r(5)
C． eq \r(6) D． eq \r(7)
5．函数y＝(1＋cs x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))在(－5，0)∪(0，5)上的图象大致为( )

A B C D
6.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行且均为扇环(圆环被扇形截得的部分)形．现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，AA1⊥底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为 eq \f(π,2)，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且CD＝2，则该曲池的体积为( )
A． eq \f(9π,2) B．6π
C． eq \f(11π,2) D．5π
7.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BCC1B1的边界及其内部移动．若D1O⊥OP，则异面直线D1P与AB所成角的余弦值的最大值为( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(5),3) D． eq \f(\r(6),3)
8．已知f(x)是定义在R上的函数，且函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，当x＜ eq \f(1,2)时，f(x)＝ln (1－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程是( )
A．y＝x－4 B．y＝x
C．y＝－2x＋2 D．y＝－2x＋6
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法正确的有( )
A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6
C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12
D．若A⊆B，则P(A|B)＝0.3
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射，沿直线l2射出，经过点Q，则( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝ eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－ eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线
11．已知函数g(x)＝lga(x＋k)(a＞0且a≠1)的图象如图所示．函数f(x)＝(k－1)ax－a－x的图象上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列正确的是( )
A.a＞1，k＞2
B．f(x)在R上是奇函数
C．f(x)在R上是单调递增函数
D．当x≥0时，2f(x)≤f(2x)
12．已知圆C：x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝1上两点A，B满足|AB|≥ eq \r(2)，点M(x0，0)满足|MA|＝|MB|，则下列不正确的是( )
A．当|AB|＝ eq \r(2)时，x0＝ eq \f(1,2)
B．当x0＝0时，过M点的圆C的最短弦长是2 eq \r(3)
C．线段AB的中点纵坐标最小值是－ eq \f(\r(2),2)
D．过M点作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是(－∞，－ eq \f(\r(7),2)]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\f(\r(7),2)，＋∞)))
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数f(x)＝2cs x－cs 2x的最大值为________．
14. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(1－x)6的展开式中含x4项的系数为________．
15．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列．若按此规律列举下去，从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为________．
16．已知f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，0＜x＜1，,ex，x≥1，))若存在x2＞x1＞0，使得f(x2)＝ef(x1)，则x1·f(x2)的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)如图，在直角三角形ABC中，角C为直角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs B＝ eq \f(c－a,2a).
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3，D点为AB边上一点，且AD＝1，求sin ∠BCD.
18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝ eq \r(2)BC＝ eq \r(2)AB＝ eq \r(2)，E，F分别为线段BB1，A1C的中点．
(1)证明：EF⊥平面AA1C1C；
(2)若二面角C­A1E­A的大小为 eq \f(π,3)，求AA1的长．
19．(本小题满分12分)已知数列{an}满足 eq \f(a1－1,a1)· eq \f(a2－1,a2)·…· eq \f(an－1,an)＝ eq \f(1,an).
(1)求{an}的通项公式；
(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k个相同的数(－1)k+1·k，构成一个新数列{bn}：a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}的前100项和S100.
20．(本小题满分12分)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的斜率为 eq \f(\r(2),2)，且双曲线C经过点M(2，1).
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为－ eq \f(1,2)的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A，B，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝1，求直线l的方程．
21．(本小题满分12分)某县种植的某品种脐橙果实按果径X(单位：mm)的大小分级，其中X∈(70，90]为一级果，X∈(90，110]为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批该品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数 eq \x\t(X)，σ近似为样本标准差s.已知样本的方差的近似值为100.若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n(n≥2，且n∈N*)个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个脐橙进行检验，若取到的两个脐橙等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为f(p)，求函数f(p)的最大值，及取最大值时n的值．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≤0.9973.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x ln x－x2－mx＋1.
(1)若m＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若m＜0，0＜b＜a，证明：2ln eq \f(a＋b,a－b)＜ eq \f(4ab,a2－b2)－m.