山西省阳泉市第一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份山西省阳泉市第一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知过点的直线l的方向向量,则l的方程为( )
A.B.C.D.
2．在长方体中,,,,则( )
A.B.C.D.
3．若平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,且,则的值是( )
A.B.C.3D.4
4．圆心为,且过原点的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
5．在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是( ).
A.B.C.D.
6．已知方程表示的曲线是椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,,,,E为弧的中点,则直线CE与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为B,F为双曲线的右焦点,若,设,且,则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.任何直线方程都能表示为一般式
B.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
C.直线与直线的交点坐标是
D.直线方程可化为截距式为
10．已知圆与直线,下列选项正确的是( )
A.圆的圆心坐标为B.直线过定点
C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离
11．已知曲线,则( )
A.当时,C是圆
B.当时,C是椭圆且一焦点为
C.当时,C是椭圆且焦距为
D.当时,C是焦点在y轴上的椭圆
12．已知抛物线的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点,且A在x轴上方,过A,B分别作C的准线l的垂线,垂足分别为,,则( )
A.若A的纵坐标为3,则
B.
C.准线方程为
D.以为直径的圆与直线AB相切于F
三、填空题
13．直线l过点,且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍,则直线l的方程为________
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程________.
15．如图,在正方体中,M,N分别是CD,的中点,则异面直线与DN所成角的大小是____________.
16．已知,分别为椭圆的左,右焦点,P为椭圆上的动点,点关于直线的对称点为M,点关于直线的对称点为N,则当最大时,的面积为____________.
四、解答题
17．已知直线l过点,根据下列条件分别求出直线l的方程.
（1）l在x轴,y轴上的截距互为相反数;
（2）l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小.
18．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,E,F分别为AD,PC的中点.
（1）证明:平面PBE;
（2）若BF与CD所成的角为,求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.
19．已知圆C过点,圆心C在直线上,且圆C与x轴相切.
（1）求圆C的标准方程;
（2）过点作圆C的切线,求此切线的方程.
20．已知椭圆,直线,
（1）m为何值时,直线l与椭圆C有公共点;
（2）若直线l与椭圆C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.
21．如图,已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为AC的中点D,又知.
（1）求证:平面;
（2）求到平面的距离.
22．已知双曲线的离心率,,分别为其两条渐近线上的点,若满足的点在双曲线上,且的面积为8,其中O为坐标原点.
（1）求双曲线C的方程;
（2）过双曲线C的右焦点的动直线与双曲线相交于A,B两点,在x轴上是否存在定点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：直线l的方向向量,则l的斜率为,
又直线l过点,l的方程为,即.
故选:B
2．答案：B
解析：因为,,,
所以,所以,
故选:B
3．答案：A
解析：,
,
故存在实数,使得,
即,故,解得,
.
故选:A
4．答案：A
解析：根据题意,故圆方程为.
故选:A.
5．答案：A
解析：因为在平行六面体中,,
所以.
故选:A.
6．答案：B
解析：因为方程表示的曲线是椭圆,所以,解得且,即实数m的取值范围是,故选B.
7．答案：D
解析：在半圆柱下底面半圆所在平面内过A作直线AB的垂线,由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,
则以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
于是,,,,,,,,
又为的中点,则,,,,
设平面的法向量,则,令,得,
设直线CE与平面所成角为,则
,
所以直线CE与平面所成角的正弦值为.
故选:D
8．答案：C
解析：如图所示,设双曲线的左焦点为,连接,,
因为,则四边形为矩形,
所以,
则,.
.
.
即,
则,
因为,则,
可得,即,
所以,
即双曲线离心率的取值范围是,
故选:C.
9．答案：AC
解析：对A:直线的一般是方程为:,
当,时,方程表示水平线,垂直y轴;
当,时,方程表示铅锤线,垂直x轴;
当,时,方程表示任意一条不垂直于x轴和y轴的直线;故A正确.
对B:两条直线的斜率相等时,两直线可能重合,故B错.
对C:联立,解得,故C正确.
对D:若或时,式子显然无意义,故D错.
故选:AC.
10．答案：AC
解析：对于A中,由圆,可得圆的圆心坐标为,半径为,所以A正确;
对于B中,由直线,可化为,
令,解得,,所以直线恒过点,所以B不正确;
对于C中,由圆心坐标为和定点,可得,
根据圆的性质,当直线与CP垂直时,直线与圆相交且所截的弦长最短,
则最短弦长为,所以C正确;
对于D中,由直线恒过定点,且,即点在圆内,所以直线与圆相交,所以D不正确.
故选:AC.
11．答案：AC
解析：对于A项,当时,曲线C可化为是圆,A正确;
对于B项,当时,曲线C可化为是焦点在y轴上的椭圆,B错误;
对于C项,当时,曲线是椭圆,且,所以,故C正确;
对于D项,当时,曲线C不是椭圆,故D错误.
故选:AC.
12．答案：CD
解析：由抛物线,可得抛物线的焦点,准线,所以C正确;
对于A中,由A的纵坐标为3,可得横坐标为,
根据抛物线的定义,可得,所以A错误;
对于B中,设直线AB的方程为,且,,
则,,联立方程,整理得,
则,,
因为,,
可得,所以与不互垂直,所以B错误;
对于D中,因为,,可得,
则,
所以的中点到直线AB的距离,
又因为,
故以为直径的圆与直线AB相切于F,所以D正确.
故选:CD.
13．答案：
解析：倾斜角为的直线的斜率,则直线l的斜率,
由点斜式方程可得,整理可得:.
故答案为:.
14．答案：或或
解析：[方法一]:显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为,
于是,.
故①,于是或,
再结合①解得或或,
所以直线方程有三条,分别为,,
[方法二]:设圆的圆心,半径为,
圆的圆心,半径,
则,因此两圆外切,
由图像可知,共有三条直线符合条件,显然符合题意;
又由方程和相减可得方程,
即为过两圆公共切点的切线方程,
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为,
直线OC与直线的交点为,
设过该点的直线为,则,解得,
从而该切线的方程为.
[方法三]:圆的圆心为,半径为1,
圆的圆心为,半径为4,
两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,
当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
故答案为:或或.
15．答案：
解析：分别以DA,DC,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,
,,
,即异面直线与DN所成角的大小是
16．答案：/
解析：根据椭圆的方程可知,,,连接PM,PN,
则,所以当M,N,P三点共线时,|MN|的值最大
此时,.
又因,可得
在中,由余弦定理可得,,
即,解得,
.
故答案为:.
17．答案：（1）或;
（2）
解析：（1）①当直线l经过原点时,在x轴,y轴上的截距互为相反数都等于0,此时直线l的方程为,
②当直线l不经过原点时,设直线l的方程为
在直线l上,,,即.
综上所述直线l的方程为或
（2）由题意可知直线l与两坐标轴均交于正半轴,故设直线方程为,将代入可得,
故,故,当且仅当,即,时等号成立,
故此时面积最小为,
故直线方程为,即
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）由,E为AD的中点,则,,
又,,易知:四边形BCDE为正方形,即,
由,则,又面面ABCD,面,面面
所以面ABCD,面ABCD,则,
又,PE,面PBE,则平面PBE;
（2）由（1）易知:PE,BE,EA两两垂直,可建如下空间直角坐标系,
所以,,,设且,
则,故,,又BF与CD所成的角为,
所以,则,即,
,若为面BEF的一个法向量,
则,令,故,
又是面的一个法向量,则,
所以平面BEF和平面ABE夹角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意,圆心C在直线上,故设圆心,
由于圆C与x轴相切,半径,
则圆C的方程为:,
又圆C过点,
,解得:,
圆C的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时,因为圆心到直线的距离为2,
所以是圆C的切线方程.
当切线斜率存在时,设切线斜率为k,则切线方程为,
即,
由直线与圆相切得,解得:,
因此过点与圆C相切的切线方程为,即,
综上知,过点圆C的切线方程为或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由消去y并化简得,
若直线l与椭圆C有公共点,则,
即,解得,
所以时,直线l与椭圆C有公共点.
（2）由（1）得,当时,直线l与椭圆C有两个公共点A,B,
设,,则,,
,
由于,
所以,解得,
所以直线l的方程为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:在底面ABC上的射影为AC的中点D,
平面平面ABC,
,且平面平面,平面ABC,
平面,
平面,
,
,且,平面,
平面.
（2）取的中点,以为坐标原点,CA,CB,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
平面,平面,∴,
四边形是菱形,
是AC的中点,,
,,,,
,,
设平面的法向量,则,
,取,
,
到平面的距离.
,平面,平面
平面,
到平面的距离等于到平面的距离.
22．答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）由离心率,得,所以,则双曲线的渐近线方程为,
因为,分别为其两条渐近线上的点,所以,不妨设,,由于,则点P为的中点,所以,
又点P在双曲线上,所以,整理得:
因为的面积为8,所以,则,
故双曲线C的方程为;
（2）由（1）可得,所以为
当直线AB的斜率存在时,设AB方程为:,,,
则,所以,则
恒成立,所以,
假设在x轴上是否存在定点M,设,则
要使得为常数,则,解得,定点,;
又当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为,代入双曲线可得,不妨取,,
若,则,符合上述结论;
综上,在x轴上存在定点M,使为常数,且.