山西省阳泉市第一中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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考试时长：120 分钟 总分：150分
客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
3. 以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A. ①②④⑥B. ②③④⑤C. ①②③⑥D. ①②⑤⑥
4. 底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
6. 中，已知，且，则是
A. 三边互不相等的三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 顶角为钝角的等腰三角形
7. 已知点，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ）
A. B，C，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线D. A，B，D三点共线
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，角的对边分别为，则（ ）
A. 若，则恰有1解
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则
10. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（ ）
A. 面积的最大值为B.
C. 周长的最大值为6D. 的取值范围为
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A. 若，则M为重心
B. 若M为的内心，则
C. 若，，M为的外心，则
D. 若M为的垂心，，则
主观题
三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
13. 已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______.
14. 若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆台上、下底面半径分别是1和2，高是1．求：
（1）圆台的表面积；
（2）圆台的体积．
16. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当何值时，？
17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
（1）平面PCD；
（2）平面平面PBC.
18. 设内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小
（2）若，求的面积．
19. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.
（1）设函数，求“相伴向量”；
（2）记“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.