大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试卷(含答案)

这是一份大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的虚部是( )
A.B.C.D.
2．已知向量，满足，，且，则( )
A.B.2C.D.
3．斜四棱柱侧面中矩形的个数最多可有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4．已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为，和，则此球的体积为( )
A.B.C.D.
6．在平行四边形中，G为的重心，满足，，则( )
A.B.C.0D.-1
7．中，，则的周长为( )
A.B.
C.D.
8．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子某折扇如图所示。其平面为右图所示的扇形，其半径为3，，
点E，F分别在，上，且，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．复数,其共轭复数为,则下列叙述正确的是( )
A.对应的点在复平面的第四象限B.是一个纯虚数
C.D.
10．下列选项中哪些是正确的( )
A.(i为虚数单位)
B.用平面去倠一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C.在中，若，则是钝角三角形
D.当时，向量，的夹角为钝角
11．在正四面体中，若，M为BC的中点，下列结论正确的是( )
A.正四面体的体积为
B.正四面体外接球的表面积为
C.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
三、填空题
12．如图，是水瓶放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为________.
13．在中，，，，则________.
14．已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，圆台的底面圆周都在球O的表面上，点O在线段上，且，记圆台的体积为，球O的体积为，则___________.
四、解答题
15．(1)已知复数是方程的根(i是虚数单位，)，求.
(2)已知复数，设敒数(是z的共轭复数)，且交数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.
16．如图，在等腰三角形中，，，F是线段上的动点(异于端点)，.
(1)若F是边的中点，求的值；
(2)当时，请确定点F的位置.
17．已知圆锥的顶点为P，母线，所成色的分弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，不的西积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值；
18．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：试题分析：，则虚部为
故选B
2．答案：C
解析：，
，.
故选：C.
3．答案：B
解析：由于在斜四棱柱的底面中最多有两条平行的对边和侧棱垂直，其余一组对边不和侧棱垂直，
故此时四棱柱的侧面中最多有2个侧面为矩形，且这两个侧面为相对的面，
其余一组相对的侧面不可能为矩形，
故选：B
4．答案：B
解析：设与夹角为，则，
在上的投影向量为：，
故选：B.
5．答案：D
解析：由题意可得，球的内接三棱锥即三棱锥的外接球即长宽高分别为，和的长方体的外接球，
又长方体的体对角线长为外接球的直径，
所以球的半径，
球的体积为.
故选：D.
6．答案：A
解析：如图，设与相交于点O，G为的重心，
可得O为的中点，，
所以
，
因为，
所以，，则.
故选：A.
7．答案：D
解析：根据正弦定理，
，
的周长为.
故选D.
8．答案：D
解析：设，则，因为，
所以
，
又，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：D
9．答案：BCD
解析：由题意得:,
对于A项:,对应的点在复平面的第一象限,故A项错误;
对于B项:为纯虚数,故B项正确;
对于C项:,故C项正确;
对于D项:,故D项正确;
故选:BCD.
10．答案：AC
解析：对于A，由，，，，，
则，
所以
，
故A正确；
对于B，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；
对于C，由，则根据正弦定理得，
所以，即，即，
由，则C为钝角，所以是钝角三角形，故C正确；
对于D，由，则，
所以向量，的夹角为钝角或平角，故D错误．
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：由于正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图所示，
O为底面中心，M为的中点则D，O，M共线，为正四面体的高，
故，
所以,
故四面体的体积为，
故A错误；
由题意，正四面体外接球球心E在上，
且半径，
所以，则,
故外接球的表面积为，
故B正确；
正四面体内一点F，设到四个面，，，的距离分别为，，，，
则正四面体的体积
，
故，
即正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，
故C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接圆柱的一个上底面，
若截面所成正三角形边长为，
则圆柱的高，
圆柱底面半径为，
所以其侧面积
，
故当时，，D正确，
故选：BCD.
12．答案：12
解析：如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形，
且两条直角边，，
所以，的面积为.
故答案为：12.
13．答案：
解析：在中，由，得，
由余弦定理得.
故答案为：
14．答案：
解析：由可设圆台的上、下底面半径分别为r，2r，球O的半径为R，，因为，所以，所以，，所以，，
所以.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为复数是方程的根，
所以，整理得，
所以，解得，
所以，.
（2）因为，
所以，
又因为复数所对应的点在第三象限，
所以，解得.
16．答案：(1)
(2)F是线段靠近A处的四等分点
解析：(1)由题意知，
由于F是边的中点，因此，
因此.
(2)不妨设，，因此，
又，
所以
解得，即，
故F是线段靠近A处的四等分点.
17．答案：（1）；（2）
解析：（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
∴，解得（负值舍去），
又，所以，
∴圆锥的侧面积．
（2）作出轴截面如图所示：由（1）可知，
设圆柱底面半径，即，
则圆锥的高，
所以，即圆柱的高为，
所以圆锥内接圆柱的侧面积，
当且仅当，即时取等号，
所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为.
18．答案：（1）条件选择见解析，
（2）
解析：（1）若选择①：，
由正弦定理可得，
因，，故，，
则有，因，故.
若选择②：，
则，
由正弦定理可得，
故，
因，故.
若选择③；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，.
（2），又，，
在三角形BCD中，，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为.