河南省商丘市部分学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省商丘市部分学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 已知在正项等比数列中，，则， 已知数列满足，，则等内容，欢迎下载使用。

数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点关于轴的对称点的坐标为判断即可.
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为.
故选：C
2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线化为标准方程，利用定义即可求解.
【详解】因为抛物线可化为，则，
由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为，
故选：
3. 直线与直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出直线的倾斜角，直线的倾斜角为，进而求解即可.
【详解】因为直线，所以，
则直线的倾斜角，
又直线，所以直线的倾斜角为，
所以直线与直线的夹角为，
故选：.
4. 已知在正项等比数列中，，则（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列性质求解即可。
【详解】因为，解得
所以，所以
故选：B
5. 已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义判断.
【详解】，
，不存在满足的点；
满足的点在双曲线的下支；
满足的点在双曲线的上支；
满足的点的轨迹是整个双曲线；
故选：C．
6. 已知双曲线中心在坐标原点处，其对称轴为坐标轴，经过点，且一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设双曲线方程为，然后将点的坐标代入方程可求出，从而可求得双曲线的方程.
【详解】由题意设双曲线方程为，
因为双曲线经过点，
所以，得，
所以双曲线方程为，即为，
故选：D
7. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】画出图形，求出的长，就能求出的长，根据求解.
【详解】因为圆的圆心，半径为
因为是圆的切线，
所以，即是以为直角的直角三角形
则
又因为
又因为
所以
所以
故选：A
8. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 12D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解即可．
【详解】正项数列满足，，所以，
可得，所以等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故选：A．
9. 若直线在轴、轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先求出圆心坐标，结合题意可知直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，进而求解.
【详解】圆化为：，
所以圆心为，半径为.
由直线将圆的周长平分，且在轴、轴上的截距相等，
所以直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，
所以直线的方程为或，即或.
故选：D.
10. 已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解.
【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线
易得，
菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥
在菱形中，，翻着后垂直不变，即
所以是二面角的平面角，即
又因为
所以平面，取中点，连接
又因为平面
所以
在中，，并且为的中点，
所以
故是异面直线与的距离
又因为异面直线与的距离是菱形边长的
所以
在中，
所以，又因为
所以
故选：C
11. 已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出椭圆方程，由于不在椭圆的外部，得到，结合，得到，求出离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故.
故选：B
12. 已知分别为双曲线的左､右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立表示面积），则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可求出双曲线的离心率，设内切圆半径为，则由可得，而，则，从而可求出的值.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，
设内切圆半径为，
因为为的内心，成立表示面积），
所以，
所以，
因为点为双曲线右支上一点，所以，
所以，
所以，
所以，
故选：C
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则______.
【答案】
【解析】
【分析】两圆方程相减可求得公共弦所在的直线方程，再由公共弦所在的直线与直线平行，可求出结果.
【详解】由，得，
所以，半径为，
由，得，
所以，半径为，
因为两圆相交，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以当满足上式时，两圆的公共弦方程为，
因为公共弦所在的直线与直线平行，
所以，
所以，
故答案为：
14. 在四棱锥中，四边形是平行四边形，，若，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据空间向量基本定量将，用表示出来，即可求得结果.
【详解】因为，所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：1
15. 若直线与双曲线的两支各交于一点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】联立直线l和双曲线方程，根据 和 确定k的范围.
【详解】联立方程 ，得…① ，设方程①的解为 ，
由题意： ，解得 ；
故答案为： .
16. 已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则______.
【答案】135
【解析】
【分析】根据等差数列的性质：数列成等差数列，且公差为等差数列的公差的9倍，根据等差数列前项和公式与首项和公差的关系，分别求出等差数列的首项和公差，进而求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
由题意知：数列成等差数列，且公差，
记数列为，其前项和为，
则，
又因为数列的前项和为，
所以，解得：，
所以，，解得：，
所以.
故答案为：.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
（1）证明：是等比数列.
（2）判断是否可能是数列中的项.若是，求出的最大值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）是，7
【解析】
【分析】（1）由，得，两式相比可求得，从而可求得，进而可证得结论；
（2）由（1）得，则，从而可得，再由可求得的范围，进而可求得的最大值.
【小问1详解】
当时，，
，
，
两式相比得.
，
是以2为2公比，1为首项的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得.
由，得，
.
，解得.
，
的最大值为7.
可能是数列中的项，
的最大值为7.
18. 已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求.
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义理解运算；
（2）由分析可得，结合抛物线的定义与方程列式求解.
【小问1详解】
∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等，
∴动点的轨迹是抛物线，其方程为.
【小问2详解】
设.
∵，则，
∴.
又∵，则，
解得，
故.
19. 如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：.
【答案】（1）
（2）112万元
【解析】
【分析】（1）设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；
（2）求出，由垂径定理得到点到的距离，从而求出开通的这条路的最低造价.
【小问1详解】
由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
设圆的方程为，
则，解得,
圆的方程为，即，
建筑物的中心的坐标为.
【小问2详解】
因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
，圆的半径为，
点到的距离为，
开通的这条路的最低造价为（万元）.
20. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若时，，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 根据数列的递推公式可得：数列是首项为2，公比为2的等比数列，进而求解即可；
(2)结合（1）的结论得出：，利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
当时，，得.
①，
当时，②，
①①可得，即，
即.
由题易知.又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，即.
【小问2详解】
由（1）可知，
，又，
数列是等差数列，其首项为1，公差为1.
，即.
，
，
，.
21. 已知圆的直径，圆所在平面，，点是圆周上不同于、的一点.
（1）证明：；
（2）已知，点是棱上一点，若与平面所成角的余弦值为，且，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求得的值.
【小问1详解】
证明：平面，平面，.
点是圆周上不同于、的一点，且为圆的一条直径，.
又，、平面，平面.
又平面，.
【小问2详解】
解：如图，连接，，为的中点，则，
又因为平面，以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，则，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则.
设与平面所成的角为，由已知，则，
则.
整理可得，因为，解得或.
22. 已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可得，单位圆与椭圆有两个交点，可求椭圆的方程；
（2）四边形对角线互相垂直，由题意通过联立方程组用韦达定理表示出弦长，再表示出面积求取值范围.
【小问1详解】
由题可知圆与椭圆有且只有两个公共点，
这两个公共点为短轴顶点，.
.
椭圆的方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不为0，且斜率存在时，
设直线的方程为且.
联立方程组得 ， 消去得.
设，则.
.
同理得.
与相互垂直，则四边形的面积.
令，则且，.
，当时等号成立
∴且时，.
当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，
不妨设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为.
代入椭圆方程可得，，
，，
综上，可知四边形的面积大于.