河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（Word版附解析），共17页。

注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
2. 设随机变量，，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.6D. 0.7
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态曲线的对称性可求答案.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：B.
3. 直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A. 10B. 16C. 20D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】由图形结合椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为.
故选：C
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；
对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；
对于C，假设向量共面，则，
即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；
故选：C.
5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ）
A. 变量与独立
B. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. 变量与不独立
D. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】A
【解析】
【分析】根据作出判断.
【详解】由于，故变量与独立，A正确，BCD均错误.
故选：A
6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.
【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：A
7. 已知函数的极小值为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求导数，利用极小值可求答案.
【详解】因为，所以；
当时，，为减函数，没有极值.
当时，由得；
时，，为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数；
所以当时，有极小值，，解得.
故选：C.
8. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列前项的和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系求得.
【详解】，
，
，
……
以此类推，.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下表是2022年某市1～5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据，
由表中数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 与正相关
C. 由线性回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆
D. 由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项利用样本中心在回归直线方程上即可判断；对于利用线性回归方程即可判断；对于利用线性回归方程的意义即可判断.
【详解】由得样本中心坐标，
代入，得，解得故A正确；
由线性回归方程的系数是，知与正相关，且月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆，故、正确；
线性回归方程只能预测趋势，不能确定销量，故错误.
故选：.
10. 若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A.
B. 的离心率
C. 为双曲线，且渐近线方程为
D. 与的交点在直线上
【答案】BD
【解析】
【分析】由题可得的焦点为.则圆锥曲线为双曲线，可判断各选项正误.
【详解】A选项，抛物线的焦点为，则焦点为，则圆锥曲线为双曲线，且，则.故A错误；
B选项，由A分析可知，，故B正确；
C选项，由A分析可知渐进线方程为：，故C错误；
D选项，联立，方程有，
由可知，则，即与的交点在直线上，故D正确.
故选：BD
11. 已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间向量基底法相关性质进行图形关系运算与模的运算.
【详解】如下图所示，，故A正确，B错误；
由平方得，
，
所以，故C正确，D错误.

故选：AC
12. 人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，和是显性基因，是隐性基因．则下列说法正确的是（ ）
A. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有18种
B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种
C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】若父母的血型不相同，列出所有情况算数即可判断A，B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D.
【详解】若父母的血型不相同，
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种，
所以父母血型的基因类型组合有种，故A错误，B正确；
若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，
则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中的常数项为_______.
【答案】
【解析】
【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．
【详解】的通项公式为：Tr+1（-1）rx6﹣2r．
令6﹣2r＝0
解得r＝3，
∴（-1）320，所以常数项为-20．
故答案为-20．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．
14. 已知为等比数列前项的和，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，设出公比，得到方程，求出，从而得到首项，利用求和公式求出答案.
【详解】由可得，设公比为，
则，解得，则，
则.
故答案为：
15. 在端午节假期间，某单位要安排某科室的3名男职工和2名女职工进行3天假期值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，男职工可以值白班和夜班，且每个人至少要值一次班，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
【答案】252
【解析】
【分析】分类讨论白班是否有男职工，结合间接法以及分步乘法计算原理运算求解.
【详解】1.若白班均为女职工，则不同的安排方法共有种，
可知晚班均为男职工，则不同的安排方法共有种，
则不同的安排方法共有种；
2.若白班有男职工，则不同的安排方法共有种，
①当值白班的男职工不值晚班时，则不同的安排方法共有种；
②当值白班的男职工也值晚班时，则不同的安排方法共有种；
则不同的安排方法共有种；
综上所述：不同的安排方法共有种.
故答案为：252.
16. 已知函数，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案．
【详解】由题意，函数，则，
令，即，解得，
当时，的单调增区间为，单调减区间为，
又由，，
可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为.
故答案．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出线段AB的中垂线方程与直线l的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解．
（2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程．
小问1详解】
的中点为，，所以线段的中垂线方程为，
由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解，解之得
所以圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆的标准方程是．
【小问2详解】
设所求直线方程为，圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
18. 已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】（1）
（2）取6或7，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据递推公式,带入求得首项.由递推可得作差即可得等差数列的公差,即可得等差数列的通项公式
（2）先求得等差数列的前项和,可得的通项公式,即可求最小值.
小问1详解】
由已知为等差数列，记其公差为，
①当时，所以两式相减可得,
②当时，，所以．
所以，．
【小问2详解】
，
所以，当取与最接近的整数6或7时，最小，最小值为—21．
19. 某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会．
（1）记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列；
（2）按照三轮中奖概率由小到大分別发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望．
【答案】（1）的分布列为：
（2）100元【解析】
【分析】（1）（2）综合应用离散型随机变量的分布列和数学期望的知识即可求得结果.
【小问1详解】
依题意，的取值可能为1，2，3，则
，
，
，
所以的分布列为：
【小问2详解】记甲抽取代金券的金额为随机变量，的取值可能为200，500，1500，0，则
，
，
，
，
所以，所以甲抽取代金券金额的期望为100元．
20. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，四棱锥的体积为，的面积为．

（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法即可求解；（2）通过建立空间直角坐标系求解.
【小问1详解】
四棱锥的体积为，底面是菱形，
所以三棱锥的体积为，
设到平面的距离为，
所以，．
【小问2详解】
因为为的中点，，
所以，
又因为平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为侧棱底面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，．
如图，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，

由（1）知，平面，，
所以，
则
，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则即,
取，则平面的一个法向量为．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21. 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
（1）求点的轨迹方程；
（2）经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）点的轨迹是椭圆，方程为
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用相关点法求解点的轨迹方程，得到点的轨迹为椭圆；
（2）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用垂径定理得到，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，从而列出方程，求出答案.
【小问1详解】
点，点，则点，由点是的中点，得，，
因在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
【小问2详解】
若直线斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，
而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
则，
联立得，
设，，则，，
，
由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
22. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值及切线的方程；
（2）证明：．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由切线的几何意义和两直线垂直时斜率的关系即可得答案.
（2）先对函数求导，分析导数可求出函数的最小值，因为最小值大于零，所以.
【小问1详解】
，
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解之得，
又，所以切线的方程为，
即．
【小问2详解】
由（1）知，，，
令，，
所以在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上有唯一实根，且，
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，月份
1
2
3
4
5
销量
5
5
6
6
8
1
2
3
1
2
3