2022-2023学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面是离散型随机变量的是( )
A. 电灯泡的使用寿命X
B. 小明射击1次，击中目标的环数X
C. 测量一批电阻两端的电压，在10V∼20V之间的电压值X
D. 一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X
2.从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，若从甲地到达丙地必须经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法的种数为( )
A. 5B. 6C. 8D. 12
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2+a5+a8=30，则S9=( )
A. 30B. 60C. 90D. 180
4.(x−2)5的展开式中x3的系数为( )
A. −40B. −20C. 20D. 40
5.已知直线3x+4y+a=0与圆C：(x−2)2+y2=9相交于A，B两点，且∠ACB=120∘，则实数a=( )
A. 32B. 52C. 52或−232D. 32或−272
6.某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为y =6.3x+6.8，则看不清的数据★的值为( )
A. 32B. 34C. 36D. 38
7.过双曲线x2−y28=1的右支上的一点P分别向圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:(x−3)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2−|PN|2的最小值为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
8.已知函数f(x)=ex−ax,x≥0,−x2−(a+2)x+1,x<0有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (1e,+∞)B. (1,+∞)C. (e,+∞)D. (e2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X∼N(2,4)，则下列结论正确的是( )
A. 该正态分布的均值为2B. 该正态分布的标准差为4
C. P(X>2)=12D. P(X>3)=P(X<1)
10.已知向量a=(1,1,−1),b=(1,−1, 6)，则( )
A. 向量c=(− 33,− 33, 33)是与向量a方向相反的单位向量
B. |a|= 2|b|
C. 向量a,b的夹角的大小为2π3
D. 若向量m=(3,1, 6−2)=xa+yb(x,y为实数)，则x−y=−1
11.甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用A1，A2，A3分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是( )
A. A1，A2，A3两两互斥B. P(B|A1)=13
C. P(B)=38D. A2与B是相互独立事件
12.已知双曲线C:x22−y28=1的右焦点为F，左、右顶点分别为A、B，点P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是( )
A. 过点A有且仅有2条直线与双曲线C有且仅有一个交点
B. 点F关于双曲线C的渐近线的对称点在双曲线C上
C. 若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k1k2=4
D. 过点F的直线与双曲线C交于M、N两点，则|MN|的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.A20222C20222=______.
14.已知抛物线C：y2=6x，过P(3,2)的直线l交抛物线C于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线l的方程为______.
15.在数列{an}中，a1=12,a3=110，且1an−1+1an+1=2an(n≥2)，则an=______.
16.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)=4，且f′(x)−2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x−3)<2x(2x−3)的解集为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某便利店销售草莓，经过市场调研，对连续6天的销售量及销售单价进行统计，销售单价x(元)和销售量y(千克)之间的一组数据如表所示：
(1)试根据前5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程；
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2于克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程y =b x+a ，其中b =i=1nxiyi−n⋅y−i=1nxi2−nx−2.
参考数据：i=15xiyi=1568，i=15xi2=2010.
18.(本小题12分)
自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：
(1)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望E(X)和方差D(X).
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
19.(本小题12分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+12−12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=an+3n−3，求{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD，PC=3 3，点E是棱PB的中点，点F是棱PC上的一点，且PF=2FC.
(1)证明：平面AEC⊥平面PBC；
(2)求平面AEF和平面AFC夹角的大小.
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过点(−3, 2)，(2,4 33).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是圆O:x2+y2=245上的一点，过点P作圆O的切线交椭圆C于A，B两点，证明：以AB为直径的圆过原点O.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−4x+2lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a=2，证明：f(x)+(2x−2)⋅lnx≤2(ex−2x).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0，1，2，…，10，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10∼V∼20∼V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X的所有取值，
故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出其所有取值，
故X不是离散型随机变量，故D不符题意．
故选：B.
变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可．
本题考查随机事件，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由分步计数原理可知，从甲地到丙地的不同的走法种数为2×3=6.
故选：B.
利用分步乘法计数原理计算可得．
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：等差数列{an}中，a2+a5+a8=2a5+a5=3a5=30，
解得a5=10，
所以S9=9(a1+a9)2=9a5=9×10=90.
故选：C.
根据等差数列项的性质求出a5，再利用中间项求S9.
本题考查了等差数列的性质与前n项和计算问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：易知，(x−2)5的展开式中x3的系数为C52×(−2)2=40.
故选：D.
利用二项式定理直接求解即可．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为圆C：(x−2)2+y2=9的圆心C(2,0)，半径为3，
又∠ACB=120∘，
所以点C到直线AB的距离为3cs60∘=32，
所以|3×2+a| 32+42=32，
解得a=32或a=−272.
故选：D.
求得圆的圆心和半径，圆心到直线AB的距离，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求值．
本题考查圆的方程和应用，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设看不清的数据★的值为a，则x=2+3+4+5+65=4,y−=19+25+a+40+445=a+1285，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得6.3×4+6.8=a+1285，解得a=32.
故选：A.
设看不清的数据★的值为a，求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可求得结果．
本题考查线性回归方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：双曲线x2−y28=1的a=1，b=2 2，c= a2+b2=3，
圆C1:(x+3)2+y2=4的圆心C1(−3,0)，半径r1=2，
圆C2:(x−3)2+y2=1的圆心C2(3,0)，半径r2=1，
设P(x,y)，由切线长定理可知|PM|2=|PC1|2−|C1M|2=(x+3)2+y2−4，
|PN|2=|PC2|2−|C2N|2=(x−3)2+y2−1，
所以|PM|2−|PN|2=(x+3)2−(x−3)2−3=12x−3.
因为P在双曲线右支上，故x≥1，
当x=1时，|PM|2−|PN|2取得最小值9.
故选：B.
设P(x,y)，根据勾股定理表示出|PM|2，|PN|2，再根据x的范围得出最小值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线与圆的位置关系，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：当x<0时，f(x)=−x²−(a+2)x+1，又f(0)=1，所以f(x)在(−∞,0)上有唯一零点，
要使f(x)有3个零点，即f(x)=eˣ−ax在[0,+∞)上有2个零点，
即y=eˣ与y=ax的图象有2个交点，
设切点为设切点坐标为(t,et)，
由y=ex，得y′=ex，则过切点的切线方程为y=et(x−t)+et，
把点(0,0)代入，可得0=et(−t)+et，
得t=1，则切点坐标为(1,e)，
即过(0,0)与y=eˣ相切的直线方程为y=ex，
所以实数a的取值范围是(e,+∞).
故选：C.
要使f(x)有3个零点，只需f(x)=eˣ−ax在[0,+∞)上有2个零点，即y=eˣ与y=ax的图象有2个交点，求得过(0,0)与y=eˣ相切的直线方程为y=ex，即可求解．
本题考查了导数的几何意义，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
由正态分布的性质逐个分析判断即可．
本题主要考查正态分布及其应用，属于基础题．
【解答】
解：因为X∼N(2,4)，
所以正态分布的均值为2，标准差为2，所以A正确，B错误，
因为正态分布的均值为2，
所以由正态曲线的性质可得P(X>2)=12，P(X>3)=P(X<1)，所以CD正确，
故选ACD.
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为a=(1,1,−1)，c=(− 33,− 33, 33)，
所以a=− 3c，且|c|= (− 33)2+(− 33)2+( 33)2=1，选项A正确；
对于B，由|a|= 12+12+(−1)2= 3，|b|= 12+(−1)2+( 6)2=2 2，得|a|= 64|b|，选项B错误；
对于C，由a⋅b=1−1− 6=− 6，计算cs=a⋅b|a||b|=− 6 3×2 2=−12，
可得向量a、b的夹角大小为2π3，选项C正确；
对于D，由m=xa+yb，即(3,1, 6−2)=x(1,1,−1)+y(1,−1, 6)，
即x+y=3,x−y=1, 6y−x= 6−2,，解得x=2，y=1，所以x−y=1，选项D错误．
故选：AC.
根据空间向量的坐标表示与运算法则，对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，由题意知A1，A2，A3不能同时发生，∴A1，A2，A3两两互斥，故A正确，
对于B，由题意知P(A1)=38，P(A1B)=38×26=18，
∴P(B|A1)=P(A1B)P(A1)=13，故B正确，
对于C，∵P(A2)=38，P(A2B)=38×36=316，P(A3)=28=14，P(A3B)=28×26=112，
∴P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=18+316+112=1948，∴C错误，
对于D，∵P(A2B)≠P(A2)P(B)，∴A2与B不是相互独立事件，∴D错误．
故选：AB.
由互斥事件的定义判断A，由条件概率的定义判断B，由全概率公式的定义判断C，由独立事件的定义判断D.
本题考查互斥事件、条件概率、独立事件，是中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：对于A选项，过点A垂直于x轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线C有且仅有一个交点，所以至少有3条，故A错误；
对于B选项，易得F( 10,0)，双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，
设点F关于y=2x的对称点为F′(m,n)，
则nm− 10=−12n2=2×m+ 102，解得m=−3 105n=4 105，所以F′(−3 105,4 105)，
又(−3 105)22−(4 105)28=1，即点F′在双曲线C上，故B正确；
设P(x0,y0)，所以x022−y028=1，即y02=8(x022−1)，
所以k1k2=y0x0+ 2⋅y0x0− 2=y02x02−2=4x02−8x02−2=4，故C正确；
当直线MN的斜率为0时，|MN|=2a=2 2<8，故D错误．
故选：BC.
根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点F关于双曲线C的渐近线y=2x的对称点F′的坐标，再将点F′的坐标代入双曲线C的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线MN的斜率为0时|MN|的值，可判断D选项．
本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：根据排列数及组合数公式可得，A20222C20222=2022×20212022×20212×1=2.
故答案为：2.
由已知结合排列数及组合数公式进行化简即可求解．
本题主要考查了排列数及组合数公式的应用，属于基础题．
14.【答案】3x−2y−5=0
【解析】解：因为P(3,2)在抛物线C内部，又|PA|=|PB|，所以P是AB的中点．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y22=2，即y1+y2=4，
又A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C上，
所以y12=6x1,y22=6x2，两式作差，得y1−y2x1−x2(y1+y2)=6，
所以y1−y2x1−x2=32，
所以直线l的方程为y−2=32(x−3)，即3x−2y−5=0.
故答案为：3x−2y−5=0.
根据条件可知P是AB的中点，然后利用“点差法”可求出直线l的斜率，进而可得直线的方程．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了“点差法”思想的应用，属于基础题．
15.【答案】14n−2
【解析】解：因为1an−1+1an+1=2an(n≥2)，所以{1an}为等差数列，
又1a1=2,1a3=10，设{1an}的公差为d，
所以2d=1a3−1a1=8，解得d=4，
所以1an=2+4(n−1)=4n−2，所以an=14n−2.
故答案为：14n−2.
根据等差中项可判断{1an}为等差数列，进而根据等差数列的基本量求解．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】(2,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
由已知f′(x)−2x<3构造函数g(x)=f(x)−x2−3x，并得出函数g(x)在R上单调递减，再求解不等式g(2x−3)【解答】
解：令g(x)=f(x)−x2−3x，则g′(x)=f′(x)−2x−3<0在R上恒成立，
所以g(x)在R上单调递减．
又f(2x−3)<2x(2x−3)，即f(2x−3)−(2x−3)2−3(2x−3)<0，
又f(1)−12−3×1=0，即g(2x−3)所以2x−3>1，解得x>2，
所以不等式f(2x−3)<2x(2x−3)的解集为(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
17.【答案】解：(1)由表中数据可得，x−=15×(18+19+20+21+22)=20，y−=15×(22+20+16+12+10)=16，
故b =1568−5×20×162010−5×202=−3.2，则a =16+3.2×20=80，
故回归直线方程为y =−3.2x+80.
(2)当x=16时，y =−3.2×16+80=28.8千克，
而|28.8−30|=1.2千克，
故误差不超过1.2千克，即(1)中所得到的回归直线方程是理想的．
【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法公式，即可求解．
(2)当x=16时，y =−3.2x×16+80=28.8千克，与30作差取绝对值，即可判断．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意可得：K2的观测值K2=00×(40×20−10×30)270×30×50×50=10021≈4.76<6.635.
所以没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关．
(2)由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“现金支付”的概率为2050=25.
所以X∼B(3,25)，X的所有可能取值为：1，2，3.
P(X=0)=C30×(1−25)3=27125，P(X=1)=C31×25×(1−25)2=54125，
P(X=2)=C32×(25)2×(1−25)=36125，P(X=3)=C33×(25)3=8125.
所以X的分布列为：
E(X)=3×25=65，D(X)=3×25×(1−25)=1825.
【解析】(1)计算K2的观测值，结合独立性检验的思想求解即可；
(2)由题知X∼B(3,25)，再根据二项分布求解即可．
本题主要考查相关系数和离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意，当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=an+12−12−an2+12，
化简整理，可得an+1an=3，
∵数列{an}是等比数列，
∴当n=1时，a2a1=3也成立，即a2=3a1，
又∵当n=1时，a1=a22−12，
∴将a2=3a1代入a1=a22−12，解得a1=1，
∴an=1×3n−1=3n−1，n∈N*.
(2)由(1)可得，bn=an+3n−3=3n−1+3n−3，
则Tn=b1+b2+b3+⋯+bn
=(30+3×1−3)+(31+3×2−3)+(32+3×3−3)+⋅⋅⋅+(3n−1+3n−3)
=(30+31+32+⋅⋅⋅+3n−1)+3×(1+2+3+⋅⋅⋅+n)−3n
=(30+31+32+⋅⋅⋅+3n−1)+3×[1+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)]
=1−3n1−3+3×(n−1)(1+n−1)2
=3n+3n2−3n−12.
【解析】(1)根据题干已知条件并结合公式an=Sn−Sn−1(n≥2)即可推导出an+1an=3，再根据数列{an}是等比数列可得a2a1=3，然后将n=1代入题干表达式，进一步推导出首项a1的值，即可计算出等比数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列求和公式的运用，即可计算出数列{bn}的前n项和Tn.
本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】(1)证明：四边形ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD，
则AB⊥AD，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
所以A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,3,0)，
设P(0,0,t)(t>0)，
则PC= 32+32+t2=3 3，解得t=3，即P(0,0,3).
则E(32,0,32),AE=(32,0,32),AC=(3,3,0)，
因为BC=(0,3,0),BP=(−3,0,3)，设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
所以m⋅BC=0,m⋅BP=0,即3y1=0,−3x1+3z1=0,，令x1=1，解得y1=0，z1=1，
所以平面PBC的一个法向量为m=(1,0,1)，
设平面AEC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0,n⋅AC=0,，即32x+32z=0,3x+3y=0,
令x=1，解得y=−1，z=−1，所以平面AEC的一个法向量为n=(1,−1,−1).
又m⋅n=0，所以平面AEC⊥平面PBC；
(2)解：CF=13CP=13×(−3,−3,3)=(−1,−1,1)，
所以AF=AC+CF=(2,2,1)，
设平面CAF的一个法向量为n2=(x3,y3,z3)，
则n2⋅AC=0,n2⋅AF=0,即3x3+3y3=0,2x3+2y3+z3=0,
令x3=1，解得y3=−1，z3=0，所以平面CAF的一个法向量为n2=(1,−1,0).
设平面EAF的一个法向量为n1=(x2,y2,z2)，
所以n1⋅AE=0,n1⋅AF=0,，即32x2+32z2=0,2x2+2y2+z2=0,
令x2=1，解得y2=−12,z2=−1，
所以平面EAF的一个法向量为n1=(1,−12,−1).
csn1,n2=n1⋅n2|n1||n2|=32 1+1+14× 1+1= 22，
所以平面AEF和平面AFC夹角的大小为π4.
【解析】(1)根据已知条件，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依次求出平面AEC，平面PBC的法向量，再结合向量垂直的性质，即可求证；
(2)根据已知条件，依次求出平面AEF和平面AFC的法向量，再结合平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知9a2+2b2=14a2+163b2=1，解得a2=12，b2=8，
所以椭圆C的标准方程是x212+y28=1；
(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=2 305或x=−2 305.
若直线AB的方程为x=2 305，不妨设A(2 305,2 305)，B(2 305,−2 305)，
所以OA⋅OB=0，所以OA⊥OB；
若直线AB的方程为x=−2 305，不妨设A(−2 305,2 305)，B(−2 305,−2 305)，
所以OA⋅OB=0，所以OA⊥OB；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
又直线AB与圆O相切，所以|m| 1+k2=2 305，即m2=245(1+k2).
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x212+y28=1y=kx+m，得(2+3k2)x2+6kmx+3m2−24=0，
所以Δ=36k2m2−4(2+3k2)(3m2−24)=−24m2+288k2+192=8645k2+3845>0，
x1+x2=−6km2+3k2，x1x2=3m2−242+3k2，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=3m2−242+3k2×(1+k2)+km(−6km2+3k2)+m2=5m2−24−24k23k2+2=5×245(1+k2)−24−24k23k2+2=0，
所以OA⊥OB.
综上，以AB为直径的圆过原点O.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)根据题意列出方程组，求得a2，b2的值，即可得到椭圆的标准方程；
(2)当直线AB的斜率不存在时，得到直线AB的方程，求出点A，B的坐标，可证得OA⋅OB=0；当直线AB的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由直线AB与圆O相切得m2=245(1+k2)，联立直线AB与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明OA⋅OB=0即可．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2ax2−4x+2x，
①当a=0时，令f′(x)=0，x=12，则f(x)在(0,12)单调递增，在(12,+∞)单调递减，
②当a≠0时，Δ=16−16a，
当△≤0时，即a≥1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，
当Δ>0时，a<0或0此时方程2ax2−4x+2=0有两个实根x1，x2，
x1=1− 1−aa，x2=1+ 1−aa，
当a<0时，x1=1− 1−aa>0，x2=1+ 1−aa<0，
则f(x)在(0,x1)单调递增，在(x1,+∞)单调递减，
当00，x2=1+ 1−aa>0，
则f(x)在(0,x1)单调递增，在(x1,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，
综上，当a=0时，f(x)在(0,12)单调递增，在(12,+∞)单调递减；
当a<0时，f(x)在(0,1− 1−aa)单调递增，在(1− 1−aa,+∞)单调递减，
当a≥1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，
当0(2)证明：当a=2时，不等式f(x)+(2x−2)⋅lnx≤2(ex−2x)等价于exx2≥1+lnxx.
令g(x)=exx2，h(x)=1+lnxx，
由g′(x)=ex(x−2)x3，可得g(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增，∴g(x)min=g(2)=e24，
由h′(x)=1−lnxx2，可得h(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，∴h(x)max=h(e)=1e+1，
又e24>1+1e，
∴exx2≥1+lnxx恒成立．
即f(x)+(2x−2)⋅lnx≤2(ex−2x)得证．
【解析】(1)求得f(x)的导数，讨论当a=0，a≠0，结合二次不等式的解法，可得单调性；
(2)当a=2时，不等式f(x)+(2x−2)⋅lnx≤2(ex−2x)等价于exx2≥1+lnxx.令g(x)=exx2，h(x)=1+lnxx，利用导数可得g(x)min=g(2)=e24，h(x)max=h(e)=1e+1结合e24>1+1e，即可证明．
本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造法和分类讨论思想、化简运算能力、推理能力，属于难题．x
2
3
4
5
6
y
19
25
★
40
44
天i
1
2
3
4
5
6
销售单价xi
18
19
20
21
22
16
销售量yi
22
20
16
12
10
30
手机支付
现金支付
合计
60岁以下
40
10
50
60岁以上
30
20
50
合计
70
30
100
P(K2≥k0)
0.10
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125