（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第15讲 解三角形及其应用（讲义+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第15讲 解三角形及其应用（讲义+解析），共25页。试卷主要包含了知识梳理等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
5.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
6.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
考点和典型例题
1、利用正、余弦定理解三角形
【典例1-1】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【典例1-3】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-4】（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·天津·耀华中学一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的值.
【典例1-6】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求BE的长.
【典例1-7】（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
2、判断三角形的形状
【典例2-1】（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形
【典例2-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为钝角三角形，则
C．若，则为等腰直角三角形
D．若，，，则符合条件的只有一个
【典例2-3】（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【典例2-4】（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【典例2-5】（2022·全国·高一单元测试）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3、和三角形面积有关的问题
【典例3-1】（2022·江西·二模（理））在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
典例3-2】（2022·江西·模拟预测（文））在中，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
典例3-3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））的内角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
典例3-4】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））的三个内角，，的对边分别为，，且
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【典例3-5】（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．
4、解三角形的实际应用
【典例4-1】（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．30°B．60°C．75°D．45°
【典例4-2】（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）
A．68B．70C．72D．74
【典例4-3】（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【典例4-4】（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
【典例4-5】（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；
(2)求.
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝c2＋a2－2cacs__B；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
常见变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
第15讲 解三角形及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
5.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
6.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
考点和典型例题
1、利用正、余弦定理解三角形
【典例1-1】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
【典例1-2】（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
【典例1-3】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理得： ，解得：.
因为，所以.
所以.
故选：C
【典例1-4】（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为，则，
整理得，
所以即，
则，
∵，所以.
故选：B.
【典例1-5】（2022·天津·耀华中学一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)
由余弦定理可得：，解得或（舍去），故
(2)由正弦定理 ,故
(3)由（2）知：，则，故,
所以
【典例1-6】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求BE的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
过B作于F.
∵，，
∴，在直角中，，
∴，
∴.
(2)连接BD.在中，，，，由余弦定理，得
在中，，，由余弦定理，得.
在中，，，由余弦定理，得.
∵，得
∴，得，（负值舍去）.
∴.
【典例1-7】（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
【答案】(1)；(2)选①；选②.
【解析】(1)
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
(2)选①，因为的面积，
所以，
即，，由余弦定理得
所以，
所以，
因为平分，
所以，
所以，
选②，因为，在中，由余弦定理：
，
即，
所以，
因为，
所以，
因为平分，所以，
因为，，由正弦定理得，
，所以 ，
又，所以，
所以是直角三角形，且，
所以.
2、判断三角形的形状
【典例2-1】（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形
【答案】C
【详解】
设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，
，则
，∴
同理，
∴，∴，，∴可以构成三角形
，∴，
∴为钝角三角形，
故选：C
【典例2-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为钝角三角形，则
C．若，则为等腰直角三角形
D．若，，，则符合条件的只有一个
【答案】D
【详解】
，则，只能说明A为锐角，
不能说明B和C的大小，故不能得到是锐角三角形，A错误；
若为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，若角A为锐角，则，
若角A为钝角，则，B错误；
，由正弦定理得：，即，
所以或，故或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
由余弦定理得：，
因为，所以，故符合条件的只有1个，D正确.
故选：D
【典例2-3】（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【详解】
因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：B.
【典例2-4】（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【详解】
由以及余弦定理得，
化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形.
故选：B
【典例2-5】（2022·全国·高一单元测试）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】
在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
3、和三角形面积有关的问题
【典例3-1】（2022·江西·二模（理））在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【详解】
，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当a2=3c2⇔c=83,a=83时取等号，
，
则．
故选：C．
典例3-2】（2022·江西·模拟预测（文））在中，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由余弦定理得，
即，解得，
因为，所以，
所以，
故选：B．
典例3-3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））的内角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由余弦定理，即，又，
所以，，所以.
故选：C
典例3-4】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））的三个内角，，的对边分别为，，且
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)
由及正弦定理，得
，即，于是有，
由余弦定理，得，
(2)由（1）知，，及，，
由余弦定理，得，即，
化简整理，得，解得或（舍）.
所以.
所以的面积为.
典例3-5】（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．
【解析】(1)
解：因为，
由正弦定理可得：，
所以；
(2)
由（1）得，
由余弦定理得：，
所以，即，
将，代入，得，
即，
解得或，
∵，∴，
∴舍去，
∴，．
从而，
由可知，
所以．
所以的面积．
4、解三角形的实际应用
【典例4-1】（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．30°B．60°C．75°D．45°
【答案】B
【详解】
依题意，过点作的延长线交于点，如图，
则，，，
在中，，
在中，，，
又
，
则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.
故选：B.
【典例4-2】（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）
A．68B．70C．72D．74
【答案】B
【详解】
如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，
由已知得为直角三角形，，，(米)，(米),设PQ=x，则,.
∴，
∴,
∴塔高(米),
故选：B
【典例4-3】（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【详解】
如图，由题可知，
∴，，又，
∴，
∴（米）．
故选：A.
【典例4-4】（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
【答案】(1)(2)1000米.
【解析】(1)
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
由题可知，，
所以，即.
(2)由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故两隧道口间的距离为1000米.
【典例4-5】（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：由余弦定理可得，
所以，.
(2)解：由余弦定理可得，
所以，，则为锐角，故，
因此，.
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝c2＋a2－2cacs__B；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
常见变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解