（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第14讲 三角函数的图像和性质（讲义+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
考点和典型例题
1、三角函数的定义域和值域
【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．时取得最小值
C．关于对称D．时取得最大值
【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数为偶函数，则( )
A．0B．C．D．
【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数的图像经过点，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数的最小正周期为，则是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．是奇函数也是偶函数
【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（ ）
A．B．
C．D．
3、三角函数的单调性
【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A．B．C．3D．4
【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则使得单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)若，求的值.
【典例3-7】（2022·浙江·三模）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无
第14讲 三角函数的图像和性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
考点和典型例题
1、三角函数的定义域和值域
【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：函数，
，
，
因为，则
所以，
因为，
所以，一个为的最大值，一个为最小值，
则，或
解得，或
所以（i），或（ii）
对于（i），当时，的最小值是，
对于（ii），当时，的最小值是，
综上，的最小值是，
故选：D
【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．时取得最小值
C．关于对称D．时取得最大值
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期，A错误，
，BC错误，
，D正确.
故选：D.
【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：因为不等式对恒成立，
所以不等式对恒成立，
令，
因为，所以，
则，
所以，
所以，解得，
所以m的最小值为，
故选：D
【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，，则，
要使f(x)在上的值域是，
则.
故选：C.
2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数为偶函数，则( )
A．0B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴，
，．
当时，为偶函数满足题意．
故选：C．
【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为
，
所以，而为偶函数，所以，即，而，所以的最小值是．
故选：B．
【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数的图像经过点，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为函数的图像经过点，
所以，得，
所以，得，
所以，所以，
所以，
所以的最小正周期为，
故选：C
【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数的最小正周期为，则是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．是奇函数也是偶函数
【答案】B
【详解】
因为函数的最小正周期为，解得，
所以，，
所以，函数为偶函数.
故选：B.
【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由题可得，即，则函数的解析式为，
将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：
，又函数图象关于轴对称，
当时，，
则①，
令，可得：，其余选项不适合①式.
故选：B．
3、三角函数的单调性
【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【详解】
解：将函数的图象向左平移个单位，
得到函数，
因为，所以，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的值可能为，
故选：B
【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，
令，解得，，
因为，所以，则，
故，解得 ，所以最大值为．
故选：B．
【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则使得单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则，则单调递增区间为：，则
当时，.
故选：C.
【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
A.因为，所以是偶函数，，在上单调递增，当时，，当时，，在上单调递增，故正确；
B. ，所以是偶函数，易知在 上递增，在上递减，故错误；
C. ，所以是偶函数，易知在上递减，故错误；
D. 因为，所以，则不是偶函数，故错误；
故选：A
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：，
，
，
，
令，
解得，
所以的单调增区间为.
令得区间为，
所以在上的单调增区间为；
(2)因为，
所以，
又，且，
所以，则
所以
.
【典例3-7】（2022·浙江·三模）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
令
解之得
∴的单调递增区间为
(2)对任意，都有，
∵，
∴，
∴，
∴实数的范围为．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无