（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第5讲 指对幂函数及其应用（讲义+解析）

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一、知识梳理
指数和指数函数
1.根式的概念及性质
(1)概念：eq \r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN，
②lgaMα＝αlgaM，
③lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝lgax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图像和性质
考点和典型例题
1、指数和指数函数
【典例1-1】（2020·黑龙江·东宁市第一中学高二阶段练习）（多选）关于函数的结论正确的是（ ）
A．值域是B．单调增区间是
C．值域是D．单调减区间是
【典例1-2】（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）（多选）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-4】（2022·重庆·模拟预测）（多选）已知（e为自然对数的底数），则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（ ）
A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1
2、对数和对数函数
【典例2-1】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2022·江苏南京·三模）我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（ ）位数．
A．71B．70C．69D．68
【典例2-3】（2022·河南开封·三模（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-4】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-5】（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A．0.073B．0.081C．0.122D．0.657
3、幂函数和二次函数
【典例3-1】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．是周期函数B．是单调函数
C．关于点对称D．关于原点对称
【典例3-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-5】（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-6】（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
4、综合应用
【典例4-1】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4-3】（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例4-4】（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4-5】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
a>1
0图像
性质
定义域
定义域为R
值域
值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图像关于y轴对称
a>1
0图像
性质
定义域
定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边
值域
值域为R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值
的变化
当0当x>1时，y>0
当00，
当x>1时，y<0
单调性
增函数
减函数
对称性
y＝lgax与y＝lgeq \s\d9(\f(1,a))x的图像关于x轴对称
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图像
(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点
坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
第5讲 指对幂函数及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
指数和指数函数
1.根式的概念及性质
(1)概念：eq \r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN，
②lgaMα＝αlgaM，
③lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝lgax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图像和性质
考点和典型例题
1、指数和指数函数
【典例1-1】（2020·黑龙江·东宁市第一中学高二阶段练习）关于函数的结论正确的是（ ）
A．值域是B．单调增区间是
C．值域是D．单调减区间是
【答案】AB
【详解】
令，
则，
又为增函数，
所以，所以函数的值域为，故A正确，C错误；
因为在上单调递增，为增函数，
所以函数的单调增区间是，
故选：AB
【典例1-2】（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】
由图可得，即，
单调递减过点，故A正确；
为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【详解】
如上图所示，分别是绕着原点逆时针方向旋转，，，，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
【典例1-4】（2022·重庆·模拟预测）已知（e为自然对数的底数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】
因为，所以，，．
对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，,
设，则，由，解得，
所以在上单调递增，故，
即，则，故，
故选：AD．
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（ ）
A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1
【答案】CD
【详解】
设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为
，
故的分布列为：
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需
即，即，即
又，，
故选：CD
2、对数和对数函数
【典例2-1】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，
因为函数为上的增函数，，
所以，故，
又为R上的增函数，，
所以，即，
所以，
故选：A
【典例2-2】（2022·江苏南京·三模）我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（ ）位数．
A．71B．70C．69D．68
【答案】B
【详解】
，则其为70位数，
故选：B
【典例2-3】（2022·河南开封·三模（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故CD不正确；
当时，，故B不正确.
故选：A
【典例2-4】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
，；
，；
，；
，，.
故选：C.
【典例2-5】（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A．0.073B．0.081C．0.122D．0.657
【答案】B
【详解】
解：依题意
所以，
又
所以估算出的与实际的的误差绝对值近似为；
故选：B
3、幂函数和二次函数
【典例3-1】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
对选项，则有：
对选项，则有：
对选项，定义域为：
对选项，则有：
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
【答案】D
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．是周期函数B．是单调函数
C．关于点对称D．关于原点对称
【答案】C
【详解】
由题意得，即，故，
令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，
故选：C.
【典例3-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
当时，，此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；当时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，所以时，函数一定为减函数，选项D符合，C不符合.
故选：C
【典例3-5】（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，，即为奇函数，同时也为增函数，
∵，即，
∴，即恒成立，，
若不等式恒成立，只需，
令，
∴，∴．
故选：C
【典例3-6】（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，所以，
故令得，所以
所以的图象过定点
故选：D
4、综合应用
【典例4-1】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故选：D．
【典例4-2】（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
【典例4-3】（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由为偶函数且在上单调递减知：在上单调递增，，
又，，，故，
所以.
故选：D.
【典例4-4】（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设，，
则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，
当时，，
当时，，
当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况，
故选：．
【典例4-5】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
a>1
0图像
性质
定义域
定义域为R
值域
值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图像关于y轴对称
a>1
0图像
性质
定义域
定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边
值域
值域为R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值
的变化
当0当x>1时，y>0
当00，
当x>1时，y<0
单调性
增函数
减函数
对称性
y＝lgax与y＝lgeq \s\d9(\f(1,a))x的图像关于x轴对称
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图像
(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点
坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
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