（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第30讲 圆锥曲线的综合应用（讲义+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第30讲 圆锥曲线的综合应用（讲义+解析），共23页。试卷主要包含了弦及弦中点问题的解决方法，弦长的求解方法等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；
②|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).
考点和典型例题
1、直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1-1】直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【典例1-2】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【典例1-3】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
【典例1-4】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（ ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为
D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则
【典例1-5】（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线的斜率为2D．面积的最小值为4
2、中点弦及弦长问题
【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的短轴长为
C．D．到的两焦点距离之差的最大值为
【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．ba
3、圆锥曲线的综合应用
【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.
【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.
【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
第30讲 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；
②|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).
考点和典型例题
1、直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1-1】直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】
，在椭圆内，
恒过点，直线与椭圆相交.
故选：A.
【典例1-2】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【详解】
当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
【典例1-3】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
【典例1-4】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（ ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为
D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则
【答案】ABD
【详解】
由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，
则，又，则，A正确；
对于B，设，则，由A选项知，即，
又，，故，解得，即，B正确；
对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，
解得，代入可得，即，
解得，则C的离心率为，C错误；
对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，
则，又，可得，
则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，
则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，
，，在中，
可得，即，整理得，D正确.
故选：ABD.
【典例1-5】（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线的斜率为2D．面积的最小值为4
【答案】ABD
【详解】
对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.
对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.
对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，
故：，故. 故选项C不正确.
对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确；
故选：ABD
2、中点弦及弦长问题
【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设点，依题意，，
相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A
【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【答案】C
【详解】
解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的短轴长为
C．D．到的两焦点距离之差的最大值为
【答案】ACD
【详解】
令、，则，
则，则，
则，则，所以，，
所以，，则，，椭圆的标准方程为，
所以，椭圆的焦点在轴上，即，
，即，A对；
椭圆的方程为，联立，
消可得，，可得，
则，，
所以，，则，所以，椭圆的短轴长为，B错；
，C对；
椭圆的方程为，其标准方程为，，
椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示：
设点关于直线的对称点为点，则，解得，
即点，
易知，则,
当且仅当点、、三点共线时，等号成立，D对.
故选：ACD．
【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．ba
【答案】CD
【详解】
解：设，
则，
两式相减得，
化简得，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以，即，
所以，渐近线方程为，离心率为，
故选：CD
3、圆锥曲线的综合应用
【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.
【答案】(1)，离心率为；(2)
【解析】(1)
依题知：，所以.
所以椭圆方程为，离心率.
(2)
如图：
设，第一象限有，①；
由得：，
又，，
因此②，
联立①②解得，故.
【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.
【解析】(1)
因为过焦点且与轴垂直，故，
故，
解得：，从而抛物线C的方程为.
(2)
设线段中点为，，，
由题知，直线的垂直平分线斜率存在，设为k，则：，
，.
若直线不与x轴垂直，由得，，
即，
则直线l斜率为，
从而直线l的方程为，
整理得：恒过点.
若直线与x轴垂直，则l为直线，显然也满足恒过点.
综上所述，直线l恒过点.
【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
(1)
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
(2)
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．