（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第31练 统计与统计模型（原卷版+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第31练 统计与统计模型（原卷版+解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份B．50份C．32份D．19份
2．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（ ）
A．0.0046，72B．0.0046，70
C．0.0042，72D．0.0042，70
3．某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
6．某电脑公司有名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
由表中数据算出线性回归方程中的．若第名推销员的工作年限为年，则估计他的年推销金额为（ ）A．万元B．万元
C．万元D．万元
7．为了保证乘客的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果，得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．岁B．岁C．岁D．岁
8．在一项调查中有两个变量和，如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（ ）
A．B．C．D．
9．《电信条例》规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业信息.某调研小组对某社区居民持有的35部手机在某特定时间段内接收的商业信息进行统计，绘制了如下所示的茎叶图，现按照接收的商业信息由少到多对手机进行编号为1~35号，再用系统抽样方法从中依次抽取7部手机，若被抽取的第一部手机接收商业信息的条数是133，则第4部手机接收的商业信息的条数是（ ）
A．141B．143C．145D．148
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为，中位数为；
乙地：总体平均数为，总体方差大于；
丙地：中位数为，众数为；
丁地：总体平均数为，总体方差为．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
二、多选题
11．某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为90B．样本中三居室住户共抽取了35户
C．据样本可估计对四居室满意的住户有110户D．样本中对二居室满意的有3户
12．某校举行“永远跟党走､唱响青春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组A､小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图如图所示，则（ ）
A．小组A打分的分值的众数为47
B．小组B打分的分值第80百分位数为69
C．小组A是由专业人士组成的可能性较大
D．小组B打分的分值的方差小于小组A打分的分值的方差
三、解答题
13．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．
附：，
，．
参考数据：，，，．
14．2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附：，
15．在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
推销员编号
工作年限（年）
推销金额（万元）
1
2
3
4
5
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0
喜欢游泳
不喜欢游泳
总计
男生
10
女生
20
总计
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第31练 统计与统计模型
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份B．50份C．32份D．19份
【答案】C
【详解】
在延庆冬奥村投放的问卷数量是份.
故选：C.
2．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（ ）
A．0.0046，72B．0.0046，70
C．0.0042，72D．0.0042，70
【答案】A
【详解】
根据频率分布直方图的面积和为1，得，解得，
月用电量落在区间内的频率为，所以在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数为户.
故选：A.
3．某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】B
【详解】
因为11名选手成绩的中位数恰好是第6名，知道了第6名的成绩，
小强就可以判断自己是否能参加省举办的田径赛了，其余数字特征不能反映名次．
故选：B．
4．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】D
【详解】
去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，
根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小.
故选：D
5．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】D
【详解】
对A，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故A正确；
对B，由直方图得超过3小时的频率为,所以B正确；
对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以C正确；
对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误.
故选:D．
6．某电脑公司有名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
由表中数据算出线性回归方程中的．若第名推销员的工作年限为年，则估计他的年推销金额为（ ）A．万元B．万元
C．万元D．万元
【答案】B
【详解】
由题意，得，，
所以，即．
当时，．
故选：B．
7．为了保证乘客的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果，得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．岁B．岁C．岁D．岁
【答案】C
【详解】
设第二组矩形的高为，则，解得．
设中位数为，前个矩形的面积之和为，
前个矩形的面积之和为，所以，，
所以，，得．
故选：C．
8．在一项调查中有两个变量和，如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：散点图呈曲线，A中函数为线性函数，不合题意，排除选项；
由散点图可知整体呈增长态势，且增长速度变慢，
对B选项中函数，当时，函数为单调递增函数，且增长速度逐渐变慢，符合题意，故B正确；
对于C选项，当时，函数为开口向上的二次函数，增长先慢后快，不合题意，
当时，函数为开口向下的二次函数，增长先慢后快，不合题意，排除选项C；
对于D选项，函数为指数型函数，当时单调递增，且越增越快，不合题意，
当时为单调递减函数，不合题意，故排除D；
故选：B
9．《电信条例》规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业信息.某调研小组对某社区居民持有的35部手机在某特定时间段内接收的商业信息进行统计，绘制了如下所示的茎叶图，现按照接收的商业信息由少到多对手机进行编号为1~35号，再用系统抽样方法从中依次抽取7部手机，若被抽取的第一部手机接收商业信息的条数是133，则第4部手机接收的商业信息的条数是（ ）
A．141B．143C．145D．148
【答案】B
【详解】
由题，根据系统抽样方法定义，抽取的手机编号间隔为，第一部手机编号为3号，故第四部手机编号为号，即143，
故选：B
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为，中位数为；
乙地：总体平均数为，总体方差大于；
丙地：中位数为，众数为；
丁地：总体平均数为，总体方差为．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】D
【详解】
对于甲地，若连续日的数据为，则满足平均数为，中位数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；
对于乙地，若连续日的数据为，则满足平均数为，方差大于，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；
对于丙地，若连续日的数据为，则满足中位数为，众数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；
对于丁地，若总体平均数为，假设有一天数据为人，则方差，不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.
故选：D.
二、多选题
11．某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为90B．样本中三居室住户共抽取了35户
C．据样本可估计对四居室满意的住户有110户D．样本中对二居室满意的有3户
【答案】BC
【详解】
解：如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占，
，二居室有户，三居室有450户，
由图1和图2得：
在A中，样本容量为：，故A正确；
在B中，样本中三居室住户共抽取了户，故B错误；
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有户，故C错误；
在D中，样本中对二居室满意的有户，故D正确．
故选：BC．
12．某校举行“永远跟党走､唱响青春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组A､小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图如图所示，则（ ）
A．小组A打分的分值的众数为47
B．小组B打分的分值第80百分位数为69
C．小组A是由专业人士组成的可能性较大
D．小组B打分的分值的方差小于小组A打分的分值的方差
【答案】AC
【详解】
由折线图知，小组A打分的9个分值排序为：42，45，46，47，47，47，50，50，55，小组打分的9个分值排序为：36，55，58，62，66，68，68，70，75；
对于A：小组A打分的分值的众数为47，故选项A正确；
对于B：小组打分的分值第80百分位数为，所以应排序第8，
所以小组打分的分值第80百分位数为70，故选项B不正确；
对于C：小组A打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平对评估相对波动较小，故小组A更像是由专业人士组成，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值的均值约47.7，小组打分的分值均值为62，根据数据的离散程度可知小组波动较大，方差较大，选项D不正确；
故选：AC
三、解答题
13．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．
附：，
，．
参考数据：，，，．
【答案】(1)，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2)，万元．
【解析】(1)
由题表，，
因为，，，
所以．
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2)
，，
所以．当时，．
预测该专营店在时的利润为万元．
14．2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附：，
【解析】(1)
（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为.
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
(2)
因为，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
15．在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【答案】(1)应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势；理由见解析
(2)①为常函数；②答案见解析
【解析】(1)
由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量对时间的导数．
如选用模型①，，是关于时间的减函数，不符合折线图；
如选用模型②，，是关于时间的增函数，符合折线图．
所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
(2)
由题设知，．
（i），．
消去条件中的得，所以．
所以为常函数．
（ii）由（i），，．
由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为，．
①若，．
则当时，，此时可以近似认为甲种群灭绝；
②若，．
则当时，，此时可以近似认为乙种群灭绝；
③若，，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．
综上所述，对所有的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
推销员编号
工作年限（年）
推销金额（万元）
1
2
3
4
5
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0
喜欢游泳
不喜欢游泳
总计
男生
10
女生
20
总计
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100