（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第25讲 直线的方程（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π).
(2)斜率公式
①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
2.直线的方向向量、法向量
(1)直线的方向向量的定义
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(2)直线方向向量的有关结论
①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量.
③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝eq \f(y,x).
(3)直线的法向量的定义
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
3.直线方程的五种形式
考点和典型例题
1、直线的倾斜角与斜率
【典例1-1】过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
【典例1-2】已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-3】直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【典例1-4】如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-5】直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
2、求直线的方程
【典例2-1】过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-3】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-5】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3、直线方程的综合应用
【典例3-1】已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-2】的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-3】若点，关于直线l对称，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-4】已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．xy+2＝0C．xy+2＝0D．x﹣2y+2＝0
【典例3-5】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【典例3-6】直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
【典例3-7】已知在中，，，，边BC所在的直线方程为，求边AB、AC所在的直线方程．名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
直线的方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π).
(2)斜率公式
①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
2.直线的方向向量、法向量
(1)直线的方向向量的定义
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(2)直线方向向量的有关结论
①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量.
③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝eq \f(y,x).
(3)直线的法向量的定义
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
3.直线方程的五种形式
考点和典型例题
1、直线的倾斜角与斜率
【典例1-1】过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【详解】
过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
【典例1-2】已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或，
所以或，
故选：D
【典例1-3】直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】A
【详解】
直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，因为，
则.
故选：A.
【典例1-4】如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由斜率的定义可知，.
故选：A．
【典例1-5】直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】B
【详解】
由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
2、求直线的方程
【典例2-1】过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
【典例2-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
【典例2-3】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
【典例2-4】直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
根据题意，直线不与轴垂直，则其斜率存在，设为， 则，
因此，直线，
令则有，则，
令则有，则.
因此，
当且仅当即时取等（舍去），
故面积最小值为4，此时，即.
故选：C.
【典例2-5】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线
的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率
则的欧拉线的方程为，即
故选：D．
3、直线方程的综合应用
【典例3-1】已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【典例3-2】的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：由，得，
所以点的坐标为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
因为点在直线上，
所以直线的方程为，即，
设点的坐标为，则的中点坐标为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
所以，
所以边所在直线的方程为，即，
故选：B
【典例3-3】若点，关于直线l对称，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题意可知AB中点坐标是，
，
因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即，
故选：A.
【典例3-4】已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．xy+2＝0C．xy+2＝0D．x﹣2y+2＝0
【答案】D
【详解】
由已知可得|AB|＝|BC|＝5，
所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，
又线段AC中点坐标为（2，2），
则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2，
即x﹣2y+2＝0．
故选：D．
【典例3-5】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【详解】
对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
【典例3-6】直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析，，(2)时，取得最大值
【解析】(1)
在直线的方程中，令可得，则直线过定点，
在直线的方程中，令可得，则直线过定点；
(2)
联立直线、的方程，解得，即点.
，，
，所以，；
且，因此，当时，取得最大值，即.
【典例3-7】已知在中，，，，边BC所在的直线方程为，求边AB、AC所在的直线方程．
【答案】边AB、AC所在的直线方程分别是， 或边AB、AC所在的直线方程分别是，.
【详解】
因为，，
所以是等腰三角形，且，
由可知，该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.
当过的直线不存在斜率时，此时该直线方程为，
与直线的夹角为，符合题意；
当过的直线存在斜率时，
所以有，直线方程为，
所以边AB、AC所在的直线方程分别是， ，
或者边AB、AC所在的直线方程分别是，.
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线