（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第26讲 圆的方程（讲义+解析）

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知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
考点和典型例题
1、圆的方程
【典例1-1】已知圆方程的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-4】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【典例1-5】与圆C：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2、与圆有关的最值问题
【典例2-1】已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【典例2-3】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-4】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【典例2-5】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3、与圆有关的轨迹问题
【典例3-1】正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
【典例3-2】直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【典例3-3】已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【典例3-4】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
第26讲 圆的方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
考点和典型例题
1、圆的方程
【典例1-1】已知圆方程的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为，即，
所以圆心坐标为；
故选：C
【典例1-2】当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
【典例1-3】过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
【典例1-4】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【详解】
由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
【典例1-5】与圆C：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
圆C：的圆心，半径．
设点关于直线的对称点为，
则，
所以圆C关于直线的对称圆的方程为，
故选:C．
2、与圆有关的最值问题
【典例2-1】已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：因为直线与圆有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B.
【典例2-2】已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】A
【详解】
由，令，则，
所以当时，的最大值为.
故选：A
【典例2-3】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：直线整理可得，，即直线恒过，
同理可得，直线恒过，
又，
直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，
圆心距，
两圆相离，
，
的取值范围是．
故选：B．
【典例2-4】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】
解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
【典例2-5】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
3、与圆有关的轨迹问题
【典例3-1】正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
【答案】D
【详解】
解：方法一：由题可知：，
又
所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
所以
设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
【典例3-2】直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【答案】
【详解】
设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．
【典例3-3】已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【答案】条件选择见解析，答案见解析.
【详解】
选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：(且).
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：.
【典例3-4】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)
设，，点A在圆，所以有：，
P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
(2)
联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，
设到直线MN得距离为d，则,
所以，；
(3)
作出关于轴得对称点，
如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，
此时，所以的最小值为.
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)