广东省梅州市丰顺县东海中学2022-2023学年八年级上学期1月月考数学试题

这是一份广东省梅州市丰顺县东海中学2022-2023学年八年级上学期1月月考数学试题，共15页。

注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考
号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
（3分）一组数据从小到大排列为：1，2，4，x，6，9．已知这组数据的中位数是 5，则这组数据的众数是
A． 4 B． 5 C． 5.5 D． 6
（3分）若一组数据 3，x，4，5，6 的众数是 3，则这组数据的中位数为
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
（3分）若使算式 32○8 的运算结果最小，则 ○ 表示的运算符号是
A． + B． − C． × D． ÷
（3分）下列数中 −4，237，3.1415，−3π，3.030030003⋯⋯ 中，无理数的个数是
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
（3分）某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
A．中位数是 4，平均数是 3.75B．众数是 4，平均数是 3.75
C．中位数是 4，平均数是 3.8D．众数是 2，平均数是 3.8
（3分）如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=2，点 D 在 BC 上，∠ADC=2∠B，AD=5，则 BC 的长为
A． 3−1 B． 3+1 C． 5−1 D． 5+1
（3分）已知 xyz≠0，且 4x−5y+2z=0,x+4y−3z=0, 则 x:y:z 等于
A． 3:2:1 B． 1:2:3 C． 4:5:3 D． 3:4:5
（3分）如图，在 △ABC 中，AB⊥AC，AB=5 cm，BC=13 cm，BD 是 AC 边上的中线，则 S△BCD 等于
A． 15 cm2 B． 30 cm2 C． 60 cm2 D． 65 cm2
（3分）已知一次函数 y1=2x+m 与 y2=2x+nm≠n 的图象如图所示，则关于 x 与 y 的二元一次方程组 2x−y=−m,2x−y=−n 的解的个数为
A． 0 个B． 1 个C． 2 个D．无数个
（3分）如图，过点 Q0,3.5 的一次函数与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 P，能表示这个一次函数图象的方程是
A． 3x−2y+3.5=0 B． 3x−2y−3.5=0
C． 3x−2y+7=0 D． 3x+2y−7=0
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（4分）已知一次函数 s=2t−3，当 −1（4分）当 m 时，正比例函数 y=1−mx 的图象经过第二、第四象限．
（4分）一组数据 3，5，7，x 的中位数和平均数相等，则 x 的值是 ．
（4分）如图，△ABC 中，DE 垂直平分 AC，与 AC 交于 E，与 BC 交于 D，∠C=15∘，∠BAD=60∘，则 △ABD 是 三角形．
（4分）⑴利用计算器判断下列各式是否成立，成立的在式子后的括号内打“√”，不成立的在式子后的括号内打“×”．
①1−12=12； ②2−25=225； ③3−310=3310； ④4−417=4417．
⑵按上述规律，第五个等式是 ．⑶第 n 个等式是 ．
（4分）甲、乙两运动员在长为 100 m 的直道 AB（A，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点，⋯⋯，若甲跑步的速度为 5 m/s，乙跑步的速度为 4 m/s，则起跑后 100 s 内，两人相遇的次数为 ．
（4分）国庆期间，重庆市民都收到了一条“大气”的短信，告知为市外旅客提供出游空间，实力宠粉的重庆又上热搜．某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后，旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调查表，且只选了一个景点），统计后发现“南山一颗树”、“洪崖洞”、“两江游”、“磁器口”榜上有名，其中选“南山一棵树”的人数比选“磁器口”的人数少 7 人；选“洪崖洞”的人数是选“磁器口”人数的整数倍；选“南山一棵树”与“磁器口”的人数之和比选“洪崖润”与“两江游”的人数之和少 25 人；选“磁器口”与“洪崖洞”的人数之和是选“南山一棵树”与“两江游”人数之和的 4 倍．则该旅行团共有 人．
三、解答题：本大题共8小题，第18、19、20小题6分，第21、22、23小题8分，第24、25小题10分。
（6分）某商场购进商品后，加价 40% 作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙两种商品分别以 7 折和 9 折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款 399 元．这两种商品原销售价之和为 490 元，问这两种商品进价分别为多少元？
（6分）游泳是一项全身性运动，可以舒展肌体，增强人体的心肺功能．在学校举办的一场游泳比赛中，抽得 10 名学生 200 米自由泳所用时间（单位：秒）如下：
245270260265305265290250255265
(1) 这 10 名学生 200 米自由泳所用时间的平均数、中位数和众数分别是多少？
(2) 如果有一名学生的成绩是 267 秒，你觉得他的成绩如何？请说明理由．
（7分） △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C 三点在格点上．
(1) 作出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 C1 的坐标．
(2) 作出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A2B2C2，并写出点 C2 的坐标．
（7分）平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标为 A3,4，B1,2，C5,1．
(1) 直接写出 A，B，C 关于 y 轴对称的点 A1，B1，C1 的坐标：A1 ，B1 ，C1 ．
(2) 若 △ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以 −1，请直接写出对应点 A2，B2，C2 的坐标，并在坐标系中画出 △A2B2C2．
（8分）如图所示，在直角坐标系中，第一次将 △OAB 变换成 △OA1B1，第二次将 △OA1B1 变换成 △OA2B2，第三次将 △OA2B2 变换成 △OA3B3，已知 A1,2，A12,2，A24,2，A38,2，B2,0，B14,0，B28,0，B316,0．
(1) 观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将 △OA3B3 变换成 △OA4B4，则 A4 的坐标为 ，B4 的坐标为 ．
(2) 可以发现变换过程中 A1，A2，A3，⋯⋯，An 纵坐标均为 ．
(3) 按照上述规律将 △OAB 进行 n 次变换得到 △OAnBn，则可知 An 的坐标为 ，Bn 的坐标为 ．
(4) 线段 OAn 的长度为 ．
（8分）如果实数 a，b 满足 a−b=ab 的形式，那么 a 和 b 就是“智慧数”，用 a,b 表示．如：由于 2−23=2×23，所以 2,23 是“智慧数”．
(1) 下列是“智慧数”的是 （填序号）．
① −1.2 和 6，② 92 和 −3，③ −12 和 −1．
(2) 如果 3,★ 是“智慧数”，那么“★”的值为 ．
(3) 如果 x,y 是“智慧数”．
① y 与 x 之间的关系式为 y= ．
②当 x>0 时，y 的取值范围是 ．
③在②的条件下，y 随 x 的增大而 （填“增大“，“减小”或“不变”）．
（10分）已知，如图，E 为 BC 延长线上一点，点 D 是线段 AC 上一点．
(1) 如图 1，DF∥BC，作 DG 平分 ∠BDF 交 AB 于 G，DH 平分 ∠GDC 交 BC 于 H，且 ∠BDC 比 ∠ACB 大 20∘，求 ∠GDH 的度数．
(2) 如图 2，连接 DE，若 ∠ABC 的平分线与 ∠ADE 的平分线相交于点 P，BP 交 AC 于点 K．
①设 ∠ABK=x，∠AKB=y，∠ADP=z，试用 x，y，z 表示 ∠E；
②求证：∠P=12∠A−∠E．
（10分）已知二次函数 y=ax2+bx−3a 经过点 A−1,0，C0,3，与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D．
(1) 求此二次函数解析式；
(2) 连接 DC，BC，DB，求证：△BCD 是直角三角形；
(3) 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得 △PDC 是以 CD 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】D
2. 【答案】B
3. 【答案】B
4. 【答案】B
5. 【答案】C
6. 【答案】D
7. 【答案】B
8. 【答案】A
9. 【答案】A
10. 【答案】D
二、填空题（共7题，共28分）
11. 【答案】 −512. 【答案】 >1
13. 【答案】 1 或 5 或 9
14. 【答案】直角
15. 【答案】√；√；√；√；5−526=5526；n−nn2+1=nnn2+1
16. 【答案】 4
17. 【答案】 55
三、解答题（共8题，共62分）
18. 【答案】设这两种商品进价分别为 x 元，y 元．
根据题意，得x1+40%+y1+40%=490,x1+40%×70%+y1+40%×90%=399,解得x=150,y=200.答：甲、乙两种商品的进价分别为 150 元，200 元．
19. 【答案】
(1) 平均数为 267 秒，中位数和众数为 265 秒．
(2) 根据（1）中得到的样本数据的平均数可以估计，在这次比赛中，该名学生的成绩处于平均水平；从样本数据的中位数可以估计，大约有 70% 的学生 200 米自由泳所用的时间不大于 265 秒，可得这名学生的成绩处于中等偏下水平．
20. 【答案】
(1) 如图，C1−3,2．
(2) 如图，C2−3,−2．
21. 【答案】
(1) −3,4；−1,2；−5,1
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求；
点 A2，B2，C2 的坐标分别为 3,−4，1,−2，5,−1．
22. 【答案】
(1) 16,2；32,0
(2) 2
(3) 2n,2；2n+1,0
(4) 22n+4
23. 【答案】
(1) ①③
(2) 34
(3) xx+1（x≠−1）；024. 【答案】
(1) 设 ∠BCD=a，则 ∠BDC=a+20，
∴∠CBD=180∘−∠BCD−∠BDC=160−2a，
∵DF∥BC，
∴∠BDF=∠CBD，
∵DG 平分 ∠BDF，
∴∠BDG=12∠BDF=12∠CBD=80−a，
∴∠GDC=∠BDG+∠BDC=80−a+a+20=100，
∵DH 平分 ∠GDC，
∴∠GDH=12∠GDC=50∘．
(2) ① ∵BP 平分 ∠ABC，DP 平分 ∠ADE，
∴∠ABC=2∠ABP=2x，∠ADE=2∠ADP=2z，
∵∠ACB 是 △DCE 的外角，
∴∠E=∠ACB−∠CDE，
在 △ABC 中，∠ACB=180∘−∠ABC−∠A=180∘−2x−∠A，
∴∠E=180∘−2x−∠A−180∘−2z=−2x+2z−∠A，
∵ 在 △ABK 中，∠A=180∘−∠ABK−∠AKB=180∘−x−y，
∴∠E=−2x+2z−180∘−x−y=2z−x+y−180∘．
② ∵∠AKP 分别是 △PKD 与 △ABK 的外角，
∴∠P=∠AKP−∠ADP，∠AKP=∠A+∠ABK，
∴∠P=∠A+∠ABK−∠ADP=180∘−y−z，
∵12∠A−∠E=12180∘−x−y−122z−x+y−180∘=180∘−y−z，
∴∠P=12∠A−∠E．
25. 【答案】
(1) ∵ 二次函数 y=ax2+bx−3a 经过点 A−1,0，C0,3，
∴a−b−3a=0,−3a=3.
解得 a=−1,b=2.
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
(2) 由 y=−x2+2x+3=−x−12+4 得，D 点坐标为 1,4．
∴CD=1−02+4−32=2,BC=32+32=32,BD=3−12+4−02=25.
∵CD2+BC2=22+322=20，BD2=252=20，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD 是直角三角形．
(3) 存在，以 CD 为底边，则 PD=PC．
设 P 点坐标为 x,y，得 x2+3−y2=x−12+4−y2，即 y=4−x．
又 Px,y 在抛物线上，
∴4−x=−x2+2x+3，即 x2−3x+1=0．
解得 x1=3+52，x2=3−52<1（舍去）．
∴x=3+52．
∴y=4−x=5−52，即点 P 坐标为 3+52,5−52．劳动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1