福建省龙岩市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份福建省龙岩市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知三角形两边的长分别为1cm、5cm，则第三边的长可以为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等，根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列式子中，能因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在和中，，，则能说明的依据是（ ）
A．B．C．D．
7．若分式的值为0，则应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，垂直平分，垂足为，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．6B．8C．9D．12
9．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（ ）
A．3或5B．或5C．或3D．或
二、填空题
11．计算： ．
12．正十二边形的一个外角为 度.
13．点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为 ．
14．若，，则的值为 ．
15．一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ．
16．如图，是的角平分线，，垂足为，在上取一点，使得．若和的面积分别为24和14，则的面积为 ．
三、解答题
17．（1）因式分解：；
（2）计算：．
18．如图，中，点在上，点是的中点，过点作交射线于点，求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会在杭州市举行，这是一场盛大的国际赛事，也是一场文化和科技的盛宴．在这届亚运会中，龙岩市运动健儿收获了四金一银的好成绩，其中刘煜获得了男子龙舟500米、200米直道竞速赛两项冠军．为培养后备力量，这支冠军队经常和少年队一起训练．在一次500米直道训练中，冠军队与少年队同时出发，结果冠军队比少年队提前秒到达终点．已知冠军队与少年队的速度比是，求少年队的平均速度．
21．阅读以下材料：
例：已知多项式有一个因式是，求另一个因式．
解：设另一个因式为，则：
依题意：
比较等式两边对应项的系数，可得：，，即
另一个因式为．
根据上述材料，尝试解决问题：
若等式成立，求常数，的值．
22．如图，中，是角平分线，，垂足为．
(1)已知，，求的度数；
(2)若，求证：．
23．如图，等边中，点是边上的一点，连接．
(1)以为一边作，且交的延长线于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，求证：．
24．如下表：
25．在中，，，点是边上的动点（与端点，不重合），连接，过点作，使得，且点，分别在直线的两侧，连接交射线于点．
图1 图2
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)在点运动过程中，有如下三个结论：①；②；③．请选出一个你认为正确的结论，并说明理由；
(3)如图2，连接，若点是的中点，求的度数．
“算两次”
素材
“算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图，已知直角三
角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：．
图
素材
长为，宽为的长方形，按如图分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：．
图
问题解决
任务
边长为的正方形，按图分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于，，的等式．
图
任务
如图，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼接成一个梯形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简．
图
任务
图案设计：如图，请你用张边长为的正方形纸片、张边长为的正方形纸片和张长为、宽为的长方形纸片拼接出一个大长方形（每张纸片均要使用）．请画出你设计的大长方形的示意图．（画出一种即可）
图
参考答案：
1．C
【分析】设第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可．
【详解】解：设第三边的长为x cm，则
5-1＜x＜1+5，即4＜x＜6．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．
2．C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．A
【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到1后面，移动了有2位，从而用科学记数法表示为，
故选：A．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选；D．
5．B
【分析】本题考查了因式分解的定义，对各多项式进行因式分解即可求出答案．
【详解】解：A．不能因式分解，故本选项不符合题意；
B．，能因式分解，故本选项符合题意；
C．不能因式分解，故本选项不符合题意；
D．不能因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：在和中，
∵，，，
∴．
故选A．
7．C
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，由此计算即可得出答案，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故选C．
8．C
【分析】根据三角形内角和得出，再根据含角的直角三角形，得出，然后根据垂直平分线的性质即可证明平分，再根据角平分线的性质定理即可得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
9．C
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，此时最小，
∵是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，最短线路问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．A
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解．
【详解】解：
去分母得：
化简得：
当时，
方程有整数根，的值是整数，
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）；
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）．
故选：A．
11．1
【分析】根据零指数幂的运算法则进行计算．
【详解】解：．
故答案为：1．
【点睛】主要考查了零指数幂的意义，即任何非0数的0次幂等于1．
12．30
【分析】根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为360°解答;
【详解】正十二边形的每一个外角为.
故答案为:30
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角是解题的关键.
错因分析 容易题.失分原因：正多边形的内角公式和外角公式记混.
13．（2，－3）．
【详解】试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）．
考点：关于x轴对称的点的坐标特征．
14．
【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差把的左边分解因式，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．/36度
【分析】本题考查了垂直的定义、余角的定义、角的和差，先根据反射角等于入射角得出，，再根据垂直的定义得出，然后根据周角为，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
，
即
故答案为：．
16．5
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判断和性质．过点作交于点，证明，，进而得到，求解即可．解题关键是构造全等三角形．
【详解】解：过点作交于点，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵，，
∴，；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
17．（1）；（2）．
【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，熟练掌握提公因式法和整式的运算法则是解答本题的关键．
（1）用提取公因式法分解即可；
（2）先把括号内化简，再根据多项式与单项式的除法法则计算．
【详解】解：（1）
（2）原式
．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，先证明，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：点是的中点，
．
，
．
在和中，
，
，
．
19．．
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可．
本题考查了分式的计算和化简，解题的关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，分式乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
【详解】解：原式
当时，原式．
20．少年队的平均速度为米/秒．
【分析】本题考查了列分式方程解答应用题，找出等量关系，列方程，解方程，并检验是解题的关键；由冠军队与少年队的速度比是，设出未知数分别表示出冠军队用时间和少先队用的时间，根据少年队用的时间减去冠军队用的时间等于提前的时间的等量关系，列分式方程解答即可．
【详解】解：设少年队的平均速度为米/秒，则冠军队的平均速度为米/秒．
依题意，得
解得：
经检验：是所列方程的解，并符合题意，
答：少年队的平均速度为米/秒．
21．，．
【分析】本题考查了解分式分式方程，分式的加减，熟练掌握等式的性质和分式的加减法法则是解答本题的关键．
（1）根据异分母分式的加减法法则把右边化简，再比较分子得出m，n的方程组求解；
（2）先去分母，然后比较等号左右两边得出m，n的方程组求解．
【详解】解法一：
依题意：，
比较等式两边分子对应项的系数，得：，
解得：，．
解法二：去分母得：，
，
，
比较等式两边对应项的系数，得：，
解得：，
22．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案；
（2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
是角平分线，
，
；
（2）证明：设，则，
，
是角平分线，
，
又，
，
，
，
．
23．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查作一个角等于已知角，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）在上截取，连接，先证明是等边三角形，得再根据证明即可解决问题
．
【详解】（1）解：如图所示，和点即为所求作
（2）证明：在上截取，连接，
是等边三角形．
，，
是等边三角形，
，，
．
又．
．
又，
．
由（1）知：，
，
，
，
．
24．任务：；
任务：，；
任务：见解析．
【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式和长方形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：任务：；
任务：；
∴，
∴，
∴；
任务：
方法一：，
方法二： ，
方法三：，
方法四：，
方法五：．
25．(1)见解析；
(2)②或③是正确的，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，推出，即可得证；
（2），过点作交射线于，证明，得到，根据直角边小于斜边，即可得出结果；，证明，得到，进而得到，进而得到：即可．
（3）延长到点，使得，证明，过点作交于点，证明，得到，即可．
【详解】（1）证明：中，，，
，
平分，
，
，，
，
在中，
，
，
．
（2）解：②或③是正确的
②，理由：
过点作交射线于，
则，
，，
，
又，
，
，
在中，，
③，理由：
过点作交射线于，
则，
，，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）延长到点，使得，
是的中点，
，
，
，
，，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．