备考2024届高考物理一轮复习讲义第八章机械振动和机械波第1讲机械振动考点3单摆及其周期公式

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1.单摆
2.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回≈－mglx＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向[33] 相反 ，故单摆做简谐运动.
（2）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的
[34] 合力 充当向心力，F向＝mv2l＝FT－mgcsθ.
①当摆球在最高点时，v＝0，FT＝mgcsθ.
②当摆球在最低点时，FT最大，FT＝mg＋mvmax2l.
（3）单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆在电梯中处于超重、失重状态时，重力加速度为[35] 等效重力加速度 .
3.周期公式
（1）周期公式：T＝2πlg.周期与振幅、摆球质量无关.
（2）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.
（3）g为当地重力加速度.
如图所示的小球在竖直平面内往复运动，若细线的质量与小球相比可忽略，球的直径与线的长度相比也可忽略，这样的装置就叫单摆.判断下列关于单摆的说法的正误.
（1）单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.（ ✕ ）
（2）单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定.（ ✕ ）
（3）当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零.（ √ ）
（4）摆钟移到太空实验舱中可以继续使用.（ ✕ ）
研透高考 明确方向
命题点1 单摆周期公式的理解及应用
6.[2023河北石家庄质检]如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后由静止释放，小球在摆动过程中的偏角不超过5°.从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，忽略一切阻力.下列说法正确的是（ D ）
A.t＝0.1πs时小球位于B点
B.t＝0.4πs时小球位于C点
C.O、A之间的距离为1.5m
D.O、P之间的距离为1.2m
解析 由图像可知，0～0.2πs内应该对应着摆球在C、B之间的摆动；0.2πs～0.6πs内应该对应着摆球在B、A之间的摆动，因t＝0.1πs时摆线拉力最小，可知小球位于C点，t＝0.4πs时小球位于A点，选项AB错误；摆球在A、B之间摆动的周期为T1＝0.8πs，根据T＝2πlg，可得l1＝1.6m，即O、A之间的距离为1.6m，选项C错误；摆球在B、C之间摆动的周期为T2＝0.4πs，根据T＝2πlg，可得l2＝0.4m，即P、B之间的距离为0.4m，O、P之间的距离为1.2m，选项D正确.
命题点2 单摆问题
7.如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0.下列说法正确的是（ C ）
A.单摆摆动的过程中，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B.单摆摆动的过程中，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C.将该单摆置于月球表面，其摆动周期T＞T0
D.将该单摆置于高空中相对于地面静止的气球中，其摆动周期T＜T0
解析 摆球运动到最高点时，绳子的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力；摆球运动到最低点时，绳子的拉力和重力共同提供向心力，有F－mg＝ma，可知F大于mg，故A、B错误.月球表面的重力加速度比地球小，根据T＝2πlg可知，将该单摆置于月球表面，其摆动周期T＞T0，C正确.将该单摆置于高空中相对于地面静止的气球中，高度越高，重力加速度越小，根据T＝2πlg可知，其摆动周期T＞T0，故D错误.
8.[类单摆问题——某星球上单摆的运动]一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的14，在地球上走时准确的摆钟（设摆钟的周期公式与单摆做简谐运动的周期公式相同）搬到此行星上，现要使该摆钟在该行星上的周期与在地球上的周期相同，下列办法可行的是（ C ）
A.将摆球的质量m增加为4m
B.将摆球的质量m减少为m4
C.将摆长L缩短为L4
D.将摆长L增长为4L
解析 根据在星球表面万有引力近似等于重力可知，物体在该行星表面的重力是它在地球表面的重力的14，因为质量不变，所以该星球表面的重力加速度g'＝14g，根据单摆的周期公式T＝2πlg可知，要使摆钟在该星球上的周期与地球上周期相同，应将摆长L缩短为L4，C正确.
方法点拨
类单摆模型
1.有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即类单摆，则T＝2πlg中，l为等效摆长，g为等效重力加速度.
2.等效重力加速度：
（1）对于不同星球表面，有g＝GMr2，M与r分别为星球的质量与半径；
（2）单摆处于超重或失重状态时，有g＝g0±a.
3.类单摆问题的解题方法：
（1）确定符合单摆模型的条件，如小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道的支持力，此支持力类似单摆中的摆线拉力，故此装置可称为“类单摆”.
（2）寻找等效摆长l及等效加速度g，最后利用公式T＝2πlg或简谐运动规律分析求解问题.
方法点拨简谐运动图像问题的两种分析方法
方法一：图像—运动结合法
方法二：直观结论法
简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间的变化规律，即位移—时间的函数关系图像，不是振动质点的运动轨迹.
定义
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫单摆
示意图
简谐运动的条件
（1）摆线为不可伸长的轻质细线；（2）无空气阻力；（3）最大摆角θ[27] ＜5°
平衡位置
F回＝0，a切＝0，摆球摆动到[28] 最低点
能量转化关系
重力势能与动能相互转化，[29] 机械能 守恒
单摆的等时性（θ＜5°）
单摆的振动周期取决于[30] 摆长l 和[31] 重力加速度g ，与摆幅和摆球质量[32] 无关