2023-2024学年安徽省合肥四十六中教育集团八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥四十六中教育集团八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.点A(−3,4)所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列函数：(1)y=3x；(2)y=2x−1；(3)y=1x；(4)y=x2−1；(5)y=x8中，是一次函数的有个．( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.小明同学用长分别为5，7，9，13(单位：厘米)的四根木棒摆三角形，用其中的三根首尾顺次相接，每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )
A. 10cmB. 12cmC. 15cmD. 17cm
5.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB/​/ED，AC/​/FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE
B. AC=DF
C. ∠A=∠D
D. BF=EC
6.下列命题是真命题的是
( )
A. 直角三角形中两个锐角互补B. 相等的角是对顶角
C. 同旁内角互补，两直线平行D. 若|a|=|b|，则a=b
7.已知坐标平面内，点A坐标为(2,−3)，线段AB平行于x轴，且AB=4，则点B的坐标为( )
A. (−2,3)B. (6,3)
C. (−2,−3)或(6,−3)D. (2,7)或(2,−1)
8.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长为cm( )
A. 0.8B. 1C. 1.5D. 4.2
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF=DN；③AN=BF；④EN⊥NC．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数y=|x|−2的四条性质，其中错误的是( )
A. 当x=0时 y具有最小值为−2
B. 如果y=|x|−2的图象与直线y=k有两个交点，则k>0
C. 当−2D. y=|x|−2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4
二、填空题（本题共6小题，共18分）
11.函数y= xx−1的自变量x的取值范围是______．
12.已知y=(m−1)xm2−1是关于x的一次函数，则m为______．
13.函数y=(k−2)x+2k+1的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围为______．
14.如图，在RT△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D，S△BDC=4，BC=8，则AD=______．
15.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B= ．
16.如图，已知在四边形ABCD内，DB=DC，∠DCA=60°，∠DAC=78°，∠CAB=24°，则∠ACB=______．
三、解答题（本题共6小题，共55分）
17.已知y与x+1成正比例，且x=3时y=4．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当y=1时，求x的值．
18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(3,4)，C(4,2)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
(3)在△ABC中有一点P(m,n)，则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为______．
19.如图，已知在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠CAB=∠EAF.BE交FC于O点，
(1)求证：BE=CF；
(2)当∠BAC=70°时，求∠BOC的度数．
20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：(1)DF//BC；
(2)FG=FE．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：DE=AD+DC．
22.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，
设其中甲种商品购进x件
(1)若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．
①求y与x的函数关系式；
②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
(3)实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(50答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】
解：因为点A(−3,4)的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：(1)y=3x是正比例函数，也是一次函数；
(2)y=2x−1是一次函数；
(3)y=1x的分母含有自变量x，不是一次函数；
(4)y=x2−1是二次函数，不是一次函数；
(5)y=x8是正比例函数，也是一次函数．
是一次函数的有3个，
故选：B．
根据一次函数的定义：y=kx+b(k≠0)，逐一进行判断即可．
本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：①5，7，9时，能摆成三角形；
②5，7，13时，∵5+7=12<13，
∴不能摆成三角形；
③5，9，13时，能摆成三角形；
④7，9，13时，能摆成三角形；
所以，可以摆出不同的三角形的个数为3个．
故选：C．
确定出摆法，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断．
本题考查了三角形的三边关系，难点在于按照一定的顺序确定出摆放的方法，方能做到不重不漏．
4.【答案】C
【解析】分析：由△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．
解：∵△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，
∴BD=AD，AB=2AE=2ⅹ3=6(cm)，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9(cm)，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15(cm)，
故选：C．
此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：A、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误；
B、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，正确；
D、若|a|=|b|，则a=±b，故此选项错误；
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：∵点A坐标为(2,−3)，AB平行于x轴，
∴点B的纵坐标为−3，
∵AB=4，
∴点B的横坐标为：2+4=6或2−4=−2，
∴点B的坐标为：(−2,−3)或(6,−3)．
故选：C．
根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点解答即可．
本题主要考查的是坐标与图形的性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=CA,
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE=DC，CE=AD=2.5cm．
∵DC=CE−DE，DE=1.7cm，
∴BE=DC=2.5cm−1.7cm=0.8cm．
故选：A．
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出BE的值．
本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF为等腰三角形，所以①正确；
∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°−67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD(ASA)，
∴DF=DN，AN=BF，
∴②③正确；
连接EN，∵AE=AF，FM=EM，
∴AM⊥EF，
∴∠BMA=∠BMN=90°，
∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，
∴△MBA≌△MBN(ASA)，
∴AM=MN，
∴BE垂直平分线段AN，
∴AB=BN，EA=EN，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△NBE(SSS)，
∴∠ENB=∠EAB=90°，
∴EN⊥NC，故④正确，
故选：D．
①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE，可判断△AEF为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断②③；证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断②③；连接EN，只要证明△ABE≌△NBE，即可推出∠ENB=∠EAB=90°，由此可知④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
10.【答案】B
【解析】解：函数y═|x|−2的大致图象如下：
A.当x=0时 y具有最小值为−2，正确；
B.如果y=|x|−2的图象与直线y=k有两个交点，则k>−2，故B错误；
C.当−2D.y=|x|−2的图象与x轴围成的几何图形的面积=12×4×2=4，正确，
故选：B．
画出函数y═|x|−2的大致图象，即可求解．
本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数，正确画出函数图象是解题的关键．
11.【答案】x≥0且x≠1
【解析】解：由题意得，x≥0且x−1≠0，
解得x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】−1
【解析】解：由题意得：m2=1，且m−1≠0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
根据一次函数定义可得m2=1，且m−1≠0，再解出m的值即可．
此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，叫做一次函数．
13.【答案】−12【解析】解：∵函数y=(k−2)x+2k+1的图象经过一、二、四象限，
∴k−2<0，且2k+1>0，
∴解得−12故答案为−12由函数y=(k−2)x+2k+1的图象经过一、二、四象限，根据一次函数的性质得到k−2<0，且2k+1>0，解不等式组即可得到k的取值范围．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k>0，b>0时，y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k>0，b<0时，y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k<0，b>0时，y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k<0，b<0时，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
14.【答案】1
【解析】解：过D点作DE⊥BC，垂足为E，
由S△BDC=4得
12×BC×DE=4
解得DE=1
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴AD=DE=1．
故填1．
过D点作BC边上的高DE，由已知S△BDC=4，BC=8，可求DE，再利用角平分线性质证明AD=DE即可．
本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．
15.【答案】45°或30°
【解析】解：∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=12∠CFD=22.5°，∠DEB=2x，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．
此时∠B=2x=45°；
图1说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD=BE时，则∠EDB=∠DEB=2x，∠B=180°−4x，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°−4x，
解得x=37.5°，
此时∠B=180°−4x=30°．
图2说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE时，则∠B=12(180°−2x)，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+12(180°−2x)，
此方程无解．
∴DE=BE不成立．
综上所述，∠B=45°或30°．
故答案为：45°或30°．
先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
16.【答案】解：(1)∵y与x+1成正比例，
∴设y=k(x+1)，
∴y=kx+k，
∵当x=3时，y=4，
∴4=3k+k，解得k=1，
∴y与x之间的函数关系式为y=x+1；
(2)把y=1代入y=x+1得
1=x+1
解得x=0．
【解析】(1)根据正比例函数的定义可设设y=k(x+1)，即y=kx+k，然后把x=3时，y=4代入可计算出k，从而可确定y与x之间的函数关系式；
(2)把y=1代入(1)的解析式中解方程得出对应的x值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
17.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)(m−4,−n+2)．
【解析】【分析】
本题考查了利用平移变换和轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)依据C1向上平移2个单位，再向右平移4个单位到原点O的位置，再根据这个规律平移B1，C1，即可得到平移后的△A2B2C2．
(3)依据轴对称的性质以及平移的性质，即可得到两次变换后点P的对应点P2的坐标．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)见答案；
(3)点P(m,n)经过第一次变换后的点P1的坐标为(m,−n)，经过第二次变换后的对应点P2的坐标为(m−4,−n+2)．
故答案为：(m−4,−n+2)．
18.【答案】(1)证明：∵∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴BE=CF；
(2)∵△BAE≌△CAF，
∴∠EBA=∠FCA，
即∠DBA=∠OCD，
∵∠BDA=∠ODC，
∴∠BAD=∠COD，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAD=70°，
∴∠COD=70°，
即∠BOC=70°．
【解析】(1)要证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可，根据∠CAB=∠EAF，可以得到∠BAE=∠CAF，再根据题目中的条件，利用SAS可以证明△BAE≌△CAF，从而可以证明结论成立；
(2)根据(1)中的全等和三角形内角和可以得到∠BOC的度数．
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】(1)证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵AC=AD∠CAF=∠DAFAF=AF，
∴△ACF≌△ADF(SAS)．
∴∠ACF=∠ADF．
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ADF=∠B．
∴DF//BC．
②证明：∵DF/​/BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG=FE．
【解析】(1)根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF/​/BC；
(2)已知DF/​/BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−30°2=75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°．
(2)如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，
∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°，
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
∠ADB=∠AME∠ABD=∠EAB=AE，
∴△ABD≌△AEM(AAS)，
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME，
∵DE=DM+ME，
∴DE=AD+CD．
【解析】(1)易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
(2)在线段DE上截取DM=AD，连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD即可求得ME=CD，于是证得结论；
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题中求证△ABD≌△AEM是解题的关键．
21.【答案】解(1)由已知，乙商品(200−x)件，根据题意得：
80x+100(200−x)=17900
解得x=105.则200−x=95
答：购进甲商品105件，乙商品95件．
(2)①根据题意，y=(160−80)x+(240−100)(200−x)=−60x+28000
②∵最多投入18000元购买两种商品
∴80x+100(200−x)≤18000
解得x≥100
由①y=−60x+28000
∵k=−60<0
∴y随x的增大而减小
∴当x=100时，y最大=22000
∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元
(3)由已知y=(160+a−80)x+(240−100)(200−x)=(a−60)x+28000
∵50∴当50当a=60时，y=28000，进货方案当满足100≤x≤120时，y固定为28000元
当600，当x=120时，y有最大值，此时进货方案为甲120件，乙80件．
【解析】(1)由已知构造方程即可；
(2)根据题意可以列出函数关系式，确定自变量取值范围，再应用一次函数性质讨论最值；
(3)由于出厂价下降a元，使得甲商品进价变为(80−a)元，在根据题意列出函数关系式，对于比例系数(a−60)讨论即可．
本题以应用问题为背景，考察方程、一次函数性质等常规问题．在第3问引入了含有字母的一次函数比例系数，此时要注意通过分类讨论解答问题．
22.【答案】18°
【解析】解：延长CA到E使AE=AB，连接DE，
∵∠DAC=78°，
∴∠DAE=102°，
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=78°+24°=102°，
∴∠DAE=∠DAB，
∵DA=DA，
∴△DAB≌△DAE(SAS)，
∴DE=DB=DC，
∵∠DCA=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠EDC=60°，
∵∠ADC=180°−78°−60°=42°，
∴∠EDA=60°−42°=18°，
∴∠ADB=∠EDA=18°，
∴∠BDC=60°−18°=24°，
∴∠DBC=∠DCB=12(180°−24°)=78°，
∴∠ACB=78°−60°=18°．
延长CA到E连DE从而可证△DEA是等边三角形，就可解决问题．
此题较难，考查了全等三角形，等边三角形的知识，要构造全等三角形，得到等边三角形．商品名称
甲
乙
进价(元/件)
80
100
售价(元/件)
160
240