2023-2024学年安徽省合肥市庐江县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐江县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，5cm
C. 1.5cm，2.5cm，5cmD. 3cm，4cm，5cm
3.下列计算中正确的是( )
A. (x2)3=x5B. (−2xy3)2=4x2y9
C. −x2⋅x=−x3D. x8÷x2=x4
4.我国北斗公司的12mm北斗定位芯片问世，该芯片的制造工艺达到了0.000000012米.用科学记数法表示0.000000012米为米．( )
A. 12×10−9B. 1.2×10−8C. 0.12×10−10D. 1.2×10−9
5.如图，点C，F在AD上，AB=DE，AF=DC，要使△ABC≌△DEF，可以添加的一个条件是( )
A. AB/​/DEB. EF/​/BC
C. ∠B=∠ED. ∠ACB=∠DFE
6.若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. xy+1B. x+yy+1C. xyy−xD. 3xx+2y
7.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
9.某班同学到距离学校10千米的活动基地开展团建活动.部分同学骑自行车先行，其余同学在半小时后乘公交车，结果他们同时到达.已知公交车的速度是自行车速度的3倍，如设自行车的速度为x km/h，根据题意可列出方程为( )
A. 103x−0.5=10xB. 0.5+103x=10xC. 30+103x=10xD. 103x−30=10x
10.如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论中正确的是( )
①若∠ACB=90°，则AC+CE=AB；
②若AB+AC=2AM，则∠ACD+∠ABC=180°；
③若∠ACB=90°，则S△ABE：S△ACE=AB：AC；
④过点C作CH⊥AD于点H，若CH=DH，则DA−DB=2DH．
A. ①③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.要使分式1x−2有意义，则x的取值范围是 ．
12.分解因式：a3−4a=______．
13.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是______．
14.已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上(与点B，C不重合)，△ACD和△ACE关于直线AC对称．
(1)如图1，当点D在线段BC中点时，连接DE，若AD=4，则DE= ______；
(2)如图2，当点D在BC延长线上时，延长AB到点F，使BF=CD，连接CF，交BE于点P.若AD=4，则CP= ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：(2a−2b)3÷(ab)−2．
16.(本小题8分)
解分式方程：x−3x−2+1=32−x．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x−1x+1−x+1)÷x−2x2−1，在018.(本小题8分)
如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(−1,0)，B点坐标是(−3,1)，C点坐标是(−2,3)．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；
(2)动点P的坐标为(0,t)，当t为何值时，PA+PC的值最小，并画出点P．
19.(本小题10分)
观察下列算式：
12=11×2=11−12，16=12×3=12−13,112=13×4=13−14⋯⋯
(1)通过观察，你得到什么结论？用含n(n为正整数)的等式表示：______；
(2)利用你得出的结论，计算：1(a−1)(a−2)+1(a−2)(a−3)+1(a−3)(a−4)．
20.(本小题10分)
如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE．
(1)求证：BD=CE；
(2)如果∠BAC=2∠CAE.求证：AD垂直平分线段BC．
21.(本小题12分)
为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”.自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢？请以两种加油方式各加油两次予以说明．
【分析问题】
“更合算”指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升．
①两次加油，每次只加200元的平均油价为：______元/升．
②两次加油，每次只加40升的平均油价为：______元/升．
【解决问题】请比较两种平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．
22.(本小题12分)
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)求足球和篮球的单价；
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
23.(本小题14分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，直线l经过点C，如图1，直线l与线段AB相交，AE⊥l于E，BD⊥l于D，F是AB的中点，连接DF、EF．
(1)求证：DE=BD−AE；
(2)求证：DF=EF且DF⊥EF；
(3)当直线l与线段AB不相交，如图2，(2)中的结论还成立吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2<5，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1.5+2.5<5，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4>5，能够组成三角形，故此选项正确．
故选：D．
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可．
此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】C
【解析】解：A、(x2)3=x6，故A不符合题意；
B、(−2xy3)2=4x2y6，故B不符合题意；
C、−x2⋅x=−x3，故C符合题意；
D、x8÷x2=x6，故D不符合题意；
故选：C．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：0.000000012=1.2×10−8．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AF=DC，
∴AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
故添加A选项以后可用SAS判定两个三角形全等；
添加B，C，D选项中条件都是两边及一边的对角即SSA不能判定两个三角形全等．
故选：A．
要使△ABC≌△DEF，已知AF=DC，可得AC=DF，由AB=DE，∠A=∠D，符合SAS来判定．
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】D
【解析】解：A选项中，x×3y×3+1=3x3y+1，与原式不相等，故不符合题意；
B选项中，x×3+y×3y×3+1=3x+3y3y+1，与原式不相等，故不符合题意；
C选项中，3x×3y3y−3x=3xyy−x，与原式不相等，故不符合题意；
D选项中，3x×33x+2y×3=3x×33(x+2y)=3xx+2y，与原式相等，故符合题意，
故选：D．
根据题意，将运算后的分式与原来分式进行比较即可得到答案．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是运用分式的基本性质来判断．
7.【答案】C
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)·180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：根据多边形的外角和是360°，n边形的内角和是(n−2)·180°．
设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180°=2×360°，
解得n=6，
即这个多边形为六边形．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：图1的面积可表示为(a+b)(a−b)，
图2阴影部分面积可表示为a2−b2，
∴可以验证(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：D．
图1的面积可表示为(a+b)(a−b)，图2阴影部分面积可表示为a2−b2，即可求解．
本题考查了图形面积的求法，平方差公公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
9.【答案】B
【解析】解：∵公交车的速度是自行车速度的3倍，且自行车的速度为x km/h，
∴公交车的速度为3x km/h．
根据题意得：12+103x=10x．
故选：B．
根据公交车与自行车速度间的关系，可得出公交车的速度为3x km/h，利用时间=路程÷速度，结合骑自行车的同学比乘公交车的同学多用了半小时，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①如图，过点E作EF⊥AB于点F，
∵∠ACB=90°，
∴EC⊥AC，
∵EF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴EF=EC，AF=AC，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠BEF=90°−45°=45°，
∴∠BEF=∠B，
∴BF=EF=CE，
∵AF+BF=AB，
∴AC+CE=AB；故结论①正确；
②过点D作DN⊥AC于点N，如图，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DM=DN，AM=AN，
∵AB+AC=2AM，即AM+BM+AC=AM+AC+CN，
∴BM=CN，
在△BDM和△CDN中，
DM=DN∠DMB=∠DNC=90°BM=CN，
∴△BDM≌△CDN(SAS)，
∴∠ABD=∠DCN，
∵∠ACD+∠DCN=180°，
∴∠ACD+∠ABD=180°；故结论②错误；
③如图，过点E作EF⊥AB于点F，
∵EF⊥AB，EC⊥AC，AD平分∠BAC，
∴EF=EC，
∴S△ABES△ACE=12AB⋅EF12AC⋅EC=ABAC，
即S△ABE：S△ACE=AB：AC，故结论③正确；
④在HA上取一点G，使得HG=DH，欲证明DA−DB=2DH，只要证明AG=BD，只要证明△ACG≌△BCD即可．
由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故结论④错误；
综上所述，正确的结论是①③，
故选：A．
①过点E作EF⊥AB于点F，运用角平分线的性质即可得出：EF=EC，AF=AC，进而推出BF=EF=CE，即可判断结论①正确；
②过点D作DN⊥AC于点N，证得△BDM≌△CDN(SAS)，即可判断结论②错误；
③过点E作EF⊥AB于点F，利用角平分线性质可得：EF=EC，再利用三角形面积公式即可判断结论③正确；
④在HA上取一点N，使得HN=DH，欲证明DA−DB=2DH，只要证明AN=BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，即可判断结论④错误．
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.【答案】x≠2
【解析】解：当分母x−2≠0，即x≠2时，分式1x−2有意义．
故答案为：x≠2．
分式有意义，则分母x−2≠0，由此易求x的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】解：原式=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)
本题首先提取a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】65°或25°
【解析】解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−50°)=65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=12∠BAD=25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．
14.【答案】4 2
【解析】解：(1)∵D为线段BC中点，
∴BD=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=30°，
∵△ACD和△ACE关于直线AC对称，
∴AD=AE，∠DAC=∠EAC=30°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=4，
故答案为：4；
(2)∵△ACD和△ACE关于直线AC对称，
∴△ACD≌△ACE，
∴CE=CD，∠ACD=∠ACE，AE=AD=4，
∵BF=CD，
∴CE=BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=CB，
∴∠ACD=∠FBC=120°，
∴∠ACE=∠FBC=120°，
在△ACE和△CBF中，
AC=BC∠ACE=∠CBFCE=BF，
∴△ACE≌△CBF(SAS)，
∴AE=CF，
∵∠BCE=∠ACE−∠ACB=60°，
∴∠BCE+∠BFC=180°，
∴BF/​/CE，
∴∠F=∠FCE，
在△CEP和△FBP中，
∠CPE=∠FPB∠FCE=∠FCE=BF，
∴△CEP≌△FBP(AAS)，
∴CP=FP，
∴CP=12CF=12AE=2．
故答案为：2．
(1)由等边三角形的性质得出AD=AE，∠DAC=∠EAC=30°，证出∠DAE=60°，由等边三角形的判定与性质可得出结论；
(2)证明△ACE≌△CBF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，证明△CEP≌△FBP(AAS)，由全等三角形的性质得出CP=FP，则可得出答案．
本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式=(8a−6b3)÷(a−2b−2)
=8a−4b5
=8b5a4．
【解析】先根据积的乘方法则计算乘方，再按照单项式除以单项式法则进行计算即可．
本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方和单项式除以单项式法则．
16.【答案】解：x−3x−2+1=32−x，
x−3+x−2=−3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
∴x=1是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
17.【答案】解：原式=[2x−1x+1−(x+1)(x−1)x+1]×(x+1)(x−1)x−2
x(2−x)x+1×(x+1)(x−1)x−2
=−x(x−1)，
∵0∴x=3，
当x=3时，原式=−3(3−1)=−6．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的整数x代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△DEF即为所求作．

(2)∵动点P的坐标为(0,t)，
∴点P在y轴上，连接AF(或CD)，交y轴于点P，坐标为(0,1)．
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
(2)连接CD交y轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
本题考查作图−轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】1n(n+1)=1n−1n+1
【解析】解：(1)∵12=11×2=11−12；
16=12×3=12−13；
112=13×4=13−14，
∴1n(n+1)=1n−1n+1．
故答案为：1n(n+1)=1n−1n+1；
(21(a−1)(a−2)+1(a−2)(a−3)+1(a−3)(a−4)
=1a−2−1a−1+1a−3−1a−2+1a−4−1a−3
=1a−4−1a−1
=3(a−1)(a−4)．
(1)根据题中所给出的例子得出结论即可；
(2)根据(1)中的结论可直接进行计算．
本题考查的是分式的加减，掌握分式的加减法则是解答此题的关键．
20.【答案】证明：(1)∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)如图，连接CD，由(1)已证∠BAD=∠CAE，
又∵∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴BD=CD．
∴点D在BC的中垂线上．
∵AB=AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AD垂直平分线段BC．
【解析】(1)证明△ABD≌△ACE(SAS)，即可解决问题；
(2)连接CD，证明△ABD≌△ACD(SAS)，得BD=CD.然后根据线段垂直平分线的性质即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
21.【答案】2xyx+y x+y2
【解析】解：①两次加油，每次只加200元的平均油价为(200+200)÷(200x+200y)=400÷200(x+y)xy=2xyx+y(元/升)，
故答案为：2xyx+y；
②两次加油，每次只加40升的平均油价为(40x+40y)÷(40+40)=x+y2(元/升)，
故答案为：x+y2；
x+y2−2xyx+y
=(x+y)(x+y)−4xy2(x+y)
=(x−y)22(x+y)，
∵x、y为两次加油时的汽油单价，
∴x+y>0，(x−y)2≥0，
∴x+y2−2xyx+y≥0，
即x+y2≥2xyx+y，
结论：当x=y时，两种加油方式均价相等；当x≠y时，每次加200元更合算．
①根据题意得出两次加油，每次只加200元的平均油价=(200+200)÷(200x+200y)，再根据分式的运算法则求出答案即可；
②根据题意得出两次加油，每次只加40升的平均油价为(40x+40y)÷(40+40)，再根据分式的运算法则求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(2x−40)元，
根据题意得：1600x=12002x−40×2，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴2x−40=2×80−40=120．
答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，
根据题意得：80m+120(200−m)≤17500，
解得：m≥162.5，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为163．
答：最少购买163个足球．
【解析】(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(2x−40)元，利用数量=总价÷单价，结合用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入(2x−40)中，即可求出篮球的单价；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过17500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
∵AE⊥l，BD⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△ACE与△CBD中，
∠AEC=∠BDC=90°∠CAE=∠BCDCA=CB，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴CE=BD，AE=CD，
∴CE−CD=BD−AE，
即DE=BD−AE；
(2)证明：如图1，延长EF交BD于G点，

∵AE⊥l，BD⊥l，
∴AE//BD，
∴∠EAF=∠GBF，
∵F是AB中点，
∴AF=BF，
在△AEF与△BGF中，
∠EAF=∠GBFAF=BF∠AFE=∠BFG，
∴△AEF≌△BGF (ASA)，
∴EF=GF，AE=BG，
∴DG=BD−BG=BD−AE，
由(1)知，DE=BD−AE，
∴DE=DG，
又EF=GF，
∴DF⊥EF，
在Rt△DEG中，F是EG中点，
∴DF=EF，
∴DF=EF且DF⊥EF；
(3)解：(2)中的结论还成立，理由如下：
如图2，延长EF交DB的延长线于G点，

∵AE⊥l，BD⊥l，
∴AE//BD，
∴∠EAF=∠GBF，
∵F是AB中点，
∴AF=BF，
在△AEF与△BGF中，
∠EAF=∠GBFAF=BF∠AFE=∠BFG，
∴△AEF≌△BGF (ASA)，
∴EF=GF，AE=BG，
在Rt△DEG中，F是EG中点，
∴DF=EF，
由(1)知，△ACE≌Rt△CBD，
∴CE=BD，AE=CD，
∴DG=BD+BG=CE+AE=CE+CD=DE，
又EF=GF，
∴DF⊥EF，
∴(2)中的结论还成立．
【解析】(1)根据垂直的定义及直角三角形的性质求出∠CAE=∠BCD，利用AAS证明△ACE≌△CBD，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解；
(2)延长EF交BD于G点，利用ASA证明△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质及线段的和差求出DE=DG，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可得解；
(3)同理(2)即可得解．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，作出合理的辅助线构建全等三角形是解答本题的关键．