2022-2023学年安徽省合肥五十中教育集团望岳校区九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥五十中教育集团望岳校区九年级（下）开学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC= 3，那么sinA的值是( )
A. 12B. 13C. 32D. 3
3.已知ab=13，则a+bb的值为( )
A. 34B. 43C. 3D. 4
4.已知⊙O的直径长为6，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.若反比例函数y=kx的图象经过点(−1,3)，则这个反比例函数的图象一定经过点( )
A. (3,−1)B. (13,3)C. (−3,−1)D. (−13,3)
6.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB=20°，则∠OAB的度数为( )
A. 40°B. 55°C. 70°D. 80°
7.函数y=ax2−a与y=ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：DC=3：4，连接AE交BD点F，则△DEF的周长与△BAF的周长之比为( )
A. 9：16
B. 1：3
C. 1：9
D. 3：4
9.有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高AP为16cm，直角顶点A到轮胎与地面接触点Q的距离为32cm，请帮小亮计算此轮胎的直径为( )
A. 35cm
B. 40cm
C. 80cm
D. 90cm
10.若a≥0，b≥0，且2a+b=2，则2a2−4b的最小值为( )
A. −40B. −16C. −8D. 0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.二次函数y=x(x−2)的图象的对称轴为直线x= ______．
12.若等边三角形ABC的边长为 3，则它的内切圆半径为______．
13.如图，点A，B是双曲线y=9x上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S阴影=6，则S1+S2= ______．
14.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，且这些等边三角形的第三个顶点位于该直线的同一侧.设△B2P1C1的面积为S1，△B3P2C2的面积为S2，…，△Bn+1PnCn的面积为Sn，请探究并解决下列问题：

(1)等边三角形AB1C1的面积等于______．
(2)S9等于______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2cs60°+2sin30°−3tan45°．
16.(本小题8分)
已知二次函数y=−x2+2x+3．
(1)填写表中空格处的数值．
(2)根据上表，画出这个二次函数的图象．

(3)根据表格、图象，当y=0时，x的取值范围是______．
17.(本小题8分)
已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)请画出△ABC以点O为中心，顺时针旋转90°，得到的△A1B1C1，点C旋转到点C1所经过的路径长为______；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______．
18.(本小题8分)
超速行驶是引发交通事故的主要原因，寒假期间，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到习友路的距离为100米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AB的值(结果精确到米)；
(2)请判断此车是否超过了习友路每小时60千米的限制速度？(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中∠ABC的平分线为BD，DE/​/AB交BC于点E，若AB=9，BC=6．
(1)求DE的值；
(2)求S△DCES四边形ABED的值．
20.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，点O在斜边AB上，以O为圆心，OA为半径的圆切BC于点D，⊙O交AB、AC分别于点E、F，连结OD．
(1)求证：点D为EF的中点；
(2)若AC=5，BC=12，求⊙O的直径AE的长．
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A(0,3)、B(−4,0)．
(1)求经过点C的反比例函数的解析式；
(2)设P是(1)中所求函数图象上一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等，求点P的坐标．
22.(本小题12分)
当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c取得最小值为−3，且抛物线与y轴交于点C(0,1)．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若点M(m,y1)，N(m+2,y2)都在抛物线上，试比较y1与y2的大小．
23.(本小题14分)
如图，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，连接DE、CF，过点E作EG/​/CF交AD于点G．
(1)求∠AFE的度数；
(2)求证：△ADE∽△ACF；
(3)求BFDG的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原图是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：
∵∠C=90°，BC=1，AC= 3，
∴根据勾股定理可得：AB= AC2+BC2=2，
∴sinA=BCAB=12，
故选：A．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出AB，再根据sinA=BCAB即可解答．
本题主要考查了求正弦值，解题的关键是掌握正弦的定义，根据题意正确画出图形．
3.【答案】B
【解析】解：∵ab=13，
∴a+bb=ab+1=13+1=43．
故选：B．
先把a+bb化成ab+1，再代值计算即可．
此题考查了比例的性质，解题的关键是把a+bb化成ab+1，较简单．
4.【答案】D
【解析】解：∵圆的弦长小于等于直径长，
∴AB≤6，
故选：D．
根据圆的弦长小于等于直径长即可判断．
本题主要考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；①点P在圆内⇔d5.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−1,3)，
∴k=−3．
A、∵3×(−1)=−3，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
B、∵13×3=1≠−3，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵(−3)×(−1)=3≠−3，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵(−13)×3=−1≠−3，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选A．
先求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=20°，
∴∠AOB=2∠ACB=40°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12×(180°−40°)=70°．
故选：C．
由于∠ACB=20°，根据圆周角定理，可求得∠AOB的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识并采用数形结合的思想是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：当a>0时，函数y=ax2−a的图象开口向上，但当x=0时，y=−a<0，故B不可能；
当a<0时，函数y=ax2−a的图象开口向下，但当x=0时，y=−a>0，故C、D不可能．
可能的是A．
故选：A．
本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a>0和a<0分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．
讨论当a>0时和a<0时的两种情况，用了分类讨论的思想．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC/​/AB，DC=AB，
∴∠EDF=∠FBA，
∵∠DFE=∠BFA，
∴△DFE∽△BFA，
∴△DFE与△BFA的相似比为DE：AB，
∵DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
根据△DEF的周长与△BAF的周长之比等于△DFE与△BFA的相似比可得C△DEF：C△BAF=3：4，
故选：D．
根据平行四边形的性质可证明△DFE∽△BFA，再由相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，自行车轮胎为⊙O，连接OP，作PB⊥OQ，
∴PB=AQ=32cm，
∵OP=OQ，AP=BQ=16cm，
∴OP2=OB2+PB2，
∴OP2=(OP−16)2+322，
∴OP=40cm，
∴轮胎的直径为80cm．
故选：C．
连接OP，作PB⊥OQ，根据勾股定理得OP2=OB2+PB2进而即可求解．
本题主要考查圆的性质、勾股定理，正确计算是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵2a+b=2，
∴b=2−2a，
原式=2a2−4(2−2a)
=2a2+8a−8
=2(a+2)2−16
∴当a=−2时，2a2−4b有最小值为−16．
故选：B．
由题意得b=2−2a，所以原式为2a2−4(2−2a)变换得2(a+2)2−16即可求解．
本题主要考查完全平方公式，通过代换变形求最值是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：将二次函数y=x(x−2)变形得y=x2−2x，
∴对称轴为直线x=−b2a=−−22×1=1．
故答案为：1．
根据二次函数对称轴x=−b2a进行求解即可．
本题主要考查二次函数的对称轴，记住x=−b2a是解题的关键．
12.【答案】12
【解析】解：如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=30°,AE=CE=12AC，
∵AB=AC=BC= 3，
∴OE=AE⋅tan∠CAD= 32× 33=12，
故答案为：12．
根据正三角形内切圆的性质，应用特殊三角函数值进行求解即可．
本题主要考查三角形内切圆的性质、解直角三角形，正确理解题意是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：由题意可得：S1+S2=2|k|−2S阴影=2×9−2×6=6，
故答案为：6．
根据反比例函数k的几何意义，即可得到答案．
本题考查了反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的点作坐标轴垂线围成的图形的面积等于k的绝对值．
14.【答案】 3 S9=9 310
【解析】解：(1)∵等边三角形的边长为2，
∴等边三角形AB1C1的高= 22−12= 3，
等边三角形AB1C1的面积=12×2× 3= 3，
故答案为： 3；
(2)连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1，如图，
∵∠B1C1B2=60°，
∴A1B1//B2C1，
∴△B1C1B2是等边三角形，且边长为2，
∴△B1B2P1～△C1AP1，
∴B1P1：C1P1=1：1，
∴S1= 32，
同理：B2B3：AC2=1：2，
∴B2P2：P2C2=1：2，
∴S2=2 33，
同理：B3B4：AC3=1：3，
∴B3P3：P3C3=1：3，
∴S3=3 34，
∴S4=4 35，
∴S5=5 36，
…，
由以上规律可得出：S9=9 310．
(1)根据已知再结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形面积公式计算即可．
(2)根据已知得出△B1B2P1～△C1AP1，结合相似三角形的性质得出对应边的比例，求出面积，以此类推得出规律即可求出最终结果．
本题考查相似三角形的应用知识，熟练掌握相似三角形的性质，同时善于观察规律式解答此题的关键．
15.【答案】解：原式=2×12+2×12−3×1
=1+1−3
=−1．
【解析】根据特殊三角函数值进行计算即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16.【答案】0 4 3 x=−1或3
【解析】解：(1)当x=−1时，y=−x2+2x+3=−1−2+3=0，
当x=1时，y=−x2+2x+3=−1+2+3=4，
当x=2时，y=−x2+2x+3=−4+4+3=3；
(2)根据上表，二次函数的图象为：
(3)根据表格、图象，
当y=0时，x=−1或3，
故答案为：x=−1或3．
(1)把所给表格x的值代入到解析式中，计算求出y的值即可；
(2)根据表格描点，连线即可；
(3)根据表格、图象，即可看出x的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质，掌握数形结合的应用．
17.【答案】 2π (1,0)
【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1为所作，点C1的坐标是(2,−2)；
∵OC= 22+22=2 2，
∴点C旋转到点C1所经过的路径长为：90π×2 2180= 2π，
故答案为： 2π；
(2)如图2，△A2B2C2为所作，点C2的坐标是(1,0)；
故答案为：(1,0)．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；点C旋转到点C1所经过的路径长即为弧CC1的长度；
(2)延长BA到A2使BA2=2BA，延长BC到C2使BC2=2BC，点B2在B点，从而得到△A2B2C2．
本题考查了作图−位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
18.【答案】解：(1)根据题意可得：OP=100米，OP⊥AO，
∵∠BPO=45°，
∴OB=OP⋅tan∠BPO=100(米)，
∵∠APO=60°，
∴OA=OP⋅tan∠APO=100×tan60°=100 3(米)，
∴AB=OA−OB=100 3−100≈73(米)，
(2)73÷4=18.25(米/秒)，
18.25米/秒=65.7千米/小时，
∵65.7千米/小时>60千米/小时，
∴超过了习友路每小时60千米的限制速度．
【解析】(1)根据题意得出OP=100米，OP⊥AO，则OB=OP⋅tan∠BPO=100米，OA=OP⋅tan∠APO=100 3米，最后根据AB=OA−OB，即可求解；
(2)根据速度=路程÷时间，求出此车的速度，即可解答．
本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，以及熟记各个特殊角度的锐角三角函数值．
19.【答案】解：(1)∵DE/​/AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∵BD的平分线∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠BDE=∠DBE，
∴DE=BE，
∵DE//AB，
∴∠A=∠CDE，∠C=∠C，
∴△ABC～△DEC，
∴ABDE=BCEC，即9DE=66−BE，
∴DE=185．
(2)由(1)知ABDE=9185=52，
∴S△ABCS△DEC=(52)2=254，
∴S△DCES四边形ABED=425−4=421．
【解析】(1)通过DE/​/AB，BD的平分线∠ABC，可得DE=BE，证△ABC～△DEC进而即可求解；
(2)根据(1)得到相似比从而得到S△ABCS△DEC进而即可求解；
本题主要考查相似三角形的性质与证明，证△ABC～△DEC是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接AD，
∵OA=OD，
∴∠DAE=∠ODA，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴BC⊥OC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD/​/AC，
∴∠DAF=∠ODA，
∴∠DAE=∠DAF，
∴DE=DF，
∴点D为EF的中点．
(2)解：设OD=OA=OE=r，
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB= AC2+BC2= 52+122=13，
∵OD/​/AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴OBAB=ODAC，
∴13−r13=r5，
∴r=6518，
∴AE=2r=2×6518=659，
∴⊙O的直径AE的长为659．
【解析】(1)连接AD，可证明OD/​/AC，推导出∠DAE=∠DAF，由圆周角定理得DE=DF，即点D为EF的中点；
(2)设OD=OA=OE=r，先由勾股定理求得AB=13，再证明△OBD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例列方程13−r13=r5，解方程求出r的值，再求出2r的值即得到⊙O的直径AE的长．
此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意知，OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴C(−4,−5)．
设经过点C的反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
则k=−4×−5=20．
故所求的反比例函数的解析式为y=20x．
(2)设P(x,y)
∵AD=AB=5，OA=3，
∴OD=2，S△COD=12×4×2=4，
即12AO×|x|=4，
∴|x|=83，
∴x=±83，
当x=83时，y=152，当x=−83时，y=−152，
点P的坐标为：(83,152)或(−83,−152).
【解析】(1)根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式；
(2)设出点P的坐标，易得△COD的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，就求得了点P的坐标．
此题主要考查了反比例函数及菱形的性质；注意根据菱形的性质得到点C的坐标；点P的横坐标的有两种情况．
22.【答案】解：(1)由题意可设抛物线的关系式为：
y=a(x−2)2−3，
因为点C(0,1)在抛物线上，
所以1=a(0−2)2−3，即a=1，
所以，抛物线的关系式为y=(x−2)2−3=x2−4x+1；
(2)∵点M(m,y1)，N(m+2,y2)都在该抛物线上，
∴y1−y2=(m2−4m+1)−[(m+2)2−4(m+2)+1]=4−4m，
当4−4m>0，即m<1时，y1>y2，
当4−4m=0，即m=1时，y1=y2，
当4−4m<0，即m>1时，y1【解析】(1)已知，当x=2时，抛物线的最小值为−3，因此抛物线的顶点坐标为(2,−3)；可用顶点式来设抛物线的解析式，然后将C的坐标代入即可求出抛物线的解析式．
(2)可先将M，N的坐标代入(1)的抛物线解析式中，可得出y1、y2的表达式．然后让y1−y2，然后看得出的结果中在x的不同取值范围下，y1、y2的大小关系．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
23.【答案】(1)解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在△ABE和△CAD中，
AE=CD∠BAE=∠ACDAB=AC，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠AFE=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°；
(2)证明：∵∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴AEBE=AFAB，
∵△ABE≌△CAD，
∴BE=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴AEAD=AFAC，则AEAF=ADAC，
又∵∠DAE=∠CAF，
∴△ADE∽△ACF；
(3)解：∵△AEF∽△BEA，
∴EFAE=AFAB，
∵EG//CF，
∴△AEG∽△ACF，
∴AGAF=AEAC，则AGAE=AFAC，
∵AB=AC，
∴AFAB=AFAC，
∴EFAE=AGAE，
∴EF=AG，
∵BE=AD，
∴BE−EF=AD−AG，即DG=BF，
∴BFDG=1．
【解析】(1)通过证明△ABE≌△CAD(SAS)，出∠ABE=∠CAD，则∠AFE=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=BAC=60°；
(2)根据∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，得出△AEF∽△BEA，则AEBE=AFAB，易得BE=AD，AB=AC，推出AEAD=AFAC，则AEAF=ADAC，即可求证△ADE∽△ACF；
(3)根据△AEF∽△BEA，得出EFAE=AFAB，通过证明△AEG∽△ACF，得出AGAE=AFAC，根据AB=AC，推出EFAE=AGAE，则EF=AG，进而得出DG=BF，则BFDG=1．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．x
…
−1
0
1
2
3
…
y=−x2+2x+3
…
______
3
______
______
0
…