2023年广东省佛山市高考数学二模试卷及解析

这是一份2023年广东省佛山市高考数学二模试卷及解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，，则
A．，B．，
C．，，D．，，
2．（5分）已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为
A．B．C．D．
3．（5分）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有
A．120种B．180种C．240种D．300种
5．（5分）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则极目一号体积约为
（参考数据：，，
A．B．C．D．
6．（5分）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程；
乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程；
丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（5分）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为
A．B．0C．2D．0或2
8．（5分）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）设，，为复数，且，下列命题中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
10．（5分）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为
A．B．C．D．
11．（5分）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为、、、，过的直线与封闭曲线交于、两点，则
A．B．四边形的面积为100
C．D．的取值范围为
12．（5分）已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有
A．若，则（a）（b）B．若，则（a）
C．若（a）（b），则D．若（a）（b），则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题，第一空2分，第二空3分.
13．（5分）已知函数有2个极值点，，则 ．
14．（5分）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 ．
15．（5分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为 ．
16．（5分）有个编号分别为1，2，，的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
（1）2020年年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据，，2，3，，建立国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型；
（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年年能延续2013年年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，
参考数据：，．
18．（12分）已知△ABC为锐角三角形，且csA+sinB＝（sinA+csB）．
（1）若C＝，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
19．（12分）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列在区间，中最大的项，求数列的前项和．
20．（12分）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．
（1）若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点，，将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
21．（12分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
2023年广东省佛山市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，，则
A．，B．，
C．，，D．，，
【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：，或，
，，．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解放，集合的描述法和区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设出点的坐标，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
【解答】解：根据题意，设的坐标为，
在平行四边形中，，，
又，即，，，解可得，，
即坐标为．
故选：．
【点评】本题考查向量的坐标的求法；注意相等向量的坐标相同，属于基础题．
3．（5分）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答．
【解答】解：数列的前项和为，则，
数列的前项和为，取，，，，显然，
而，即数列不是等差数列，
所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了充要条件的判定方法、等差数列的性质，考查了推理能力，属于基础题．
4．（5分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有
A．120种B．180种C．240种D．300种
【分析】由题意先2人去同一学校，然后与其他3人看成4个整体，分到4个学校，结合排列公式可求．
【解答】解：5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择的不同方法数．
故选：．
【点评】本题主要考查了简单的排列组合在实际问题中的应用，属于基础题．
5．（5分）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则极目一号体积约为
（参考数据：，，
A．B．C．D．
【分析】由已知可得球、圆柱、圆台的底面半径与圆柱、圆台的高，代入体积公式得答案．
【解答】解：由图可知，半球的半径米，圆柱的底面半径米，高为14米，圆台的下底面半径为米，上底面半径为米，高为米．
则极目一号体积约为
．
故选：．
【点评】本题考查旋转体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程；
乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程；
丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用特例，即可判断甲、乙．丙、丁的正误即可．
【解答】解：当，，，时，方程化为，即，此时方程表示圆的方程，所以甲正确；
当，，，时，化为，即，此时方程表示抛物线方程，所以乙正确；
当，，，时，化为，即，此时方程表示椭圆方程，所以丙正确；
当，，时，，不可能化为双曲线方程，所以丁不正确；
真命题有3个．
故选：．
【点评】本题考查曲线方程的应用，圆锥曲线的判断，是基础题．
7．（5分）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为
A．B．0C．2D．0或2
【分析】设直线与曲线的切点为，，先根据导数的几何意义求出在切点，处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可．
【解答】解：设直线与曲线的切点为，，
由，则，
则，，即切点为，所以直线为，
又直线与圆都相切，则有，解得或．
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义和圆心到直线的距离计算，属于中档题．
8．（5分）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为
A．B．C．D．
【分析】可根据得出，，再根据，且，，即可得出，从而可得出的值．
【解答】解：，，，
又，且，，，
，，，
，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了，三角函数最小正周期的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）设，，为复数，且，下列命题中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
【分析】对于选项，利用共轭复数的性质直接判断即可；
对于选项，举反例，即可判断；
对于选项，利用复数的运算化简即可；
对于选项，根据复数的几何意义直接判断即可．
【解答】解：由共轭复数的性质知，
若，则正确，
故选项符合题意；
若，，则满足，
但，
故选项不符合题意；
若，
则，
，，
，
故选项符合题意；
根据复数的几何意义知，
若，
记、在复平面对应的点为、，
则在复平面对应的点在线段的垂直平分线上，
故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了复数的四则运算及几何意义的应用，属于基础题．
10．（5分）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为
A．B．C．D．
【分析】由已知可得与所成角为或，进而利用，可求的长．
【解答】解：由，，平面与平面的夹角为，
与所成角为或，
，
，
当与所成角为，
，，
当与所成角为，
，，
综上所述：或．
故选：．
【点评】本题考查利用向量法求线段的长，属中档题．
11．（5分）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为、、、，过的直线与封闭曲线交于、两点，则
A．B．四边形的面积为100
C．D．的取值范围为
【分析】利用已知条件，建立平面直角坐标系，求解两条抛物线方程，求解的距离判断；求解，的坐标，推出矩形的面积判断，利用向量的数量积判断；判断的距离的范围判断．
【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；可得，抛物线的标准方程为：．
抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．可得，所以，所以正确；
抛物线的方程为：．
和交于、两点，，可得、两点的横坐标为：3，两点的纵坐标：，
分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为、、、，
可得，，，，，，
四边形的面积为：．所以不正确；
，，可得，所以正确；
过的直线与封闭曲线交于、两点，当与重合时，的距离取得最大值，此时，
的，，直线的方程为：，代入，可得，
解得，，所以的最大值为：，所以取值范围：，．所以正确．
故选：．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线位置关系的应用，平面向量数量积的应用，是中档题．
12．（5分）已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有
A．若，则（a）（b）B．若，则（a）
C．若（a）（b），则D．若（a）（b），则
【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性一一判定即可．
【解答】解：，则，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以在上单调递增，且，
若，则，所以（a），则（a），故正确；
（b），
令（b），（b），令（b）（b），（b），（b）在上单调递增，而，
故（b）在上单调递增，在上单调递减，故（b），
所以（b）（a）（b）（a），故正确；
对于，若（a）（b）（a）（b），即，故正确；
设（c）（b），若，则（c）（b）（a），满足（a）（b），但，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题，第一空2分，第二空3分.
13．（5分）已知函数有2个极值点，，则 0 ．
【分析】可求出，令即可求出的极值点，从而得出，的值，从而求出答案．
【解答】解：，解得，，
的极值点为和，且，为的极值点，
不妨令，
，，
．
故答案为：0．
【点评】本题考查了幂函数的求导公式，函数极值点的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 1 ．
【分析】由题中条件以及正态曲线的性质，可得正态曲线的对称轴方程，从而可知，再由，解出，再由二项分布的特征可得，由公式求解的值．
【解答】解：由题意，，所以正态曲线关于直线对称，
所以，因为，
所以，
由题意，，所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查正态分布和二项分布的应用，属于基础题．
15．（5分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为 ．
【分析】由题意可得，可求的最大值．
【解答】解：由椭圆的方程可知右顶点为，
左右焦点、的坐标为，，
设为过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，（不妨设，
，
当且仅当，即时取等号，
，，
的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
16．（5分）有个编号分别为1，2，，的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
【分析】记事件表示从第个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式能求出结果．
【解答】解：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，
则，，
，
，
，
进而得，，
又，，，
是首项为，公比为的等比数列，
，
．
故答案为：；．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
（1）2020年年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据，，2，3，，建立国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型；
（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年年能延续2013年年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，
参考数据：，．
【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取求得值即可．
【解答】解：（1），，
，
，，
国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型为；
（2）在中，取，可得．
即预测2027年国内游客人数为7825百万人次．
【点评】本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）已知△ABC为锐角三角形，且csA+sinB＝（sinA+csB）．
（1）若C＝，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
【分析】（1）根据三角函数公式，解三角方程，即可求解；
（2）根据题意可得2sin（A﹣）＝2sin（B﹣），解三角方程可得A＝B﹣，从而可得A＝∠ABD，∠CBD＝，再根据正弦定理可得，从而可得|CD|＝＝，再通过函数思想，即可求解．
【解答】解：（1）∵C＝，又csA+sinB＝（sinA+csB），
∴csA+sin（﹣A）＝sinA+cs（﹣A），
∴csA+csA+sinA＝sinA+（csA+sinA），
∴，
∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A＝；
（2）∵csA+sinB＝（sinA+csB），
∴sinA﹣csA＝sinB﹣csB，
∴2sin（A﹣）＝2sin（B﹣），
∴A﹣＝B﹣或A﹣+B﹣＝π，
∴A＝B﹣或A+B＝（舍），
又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝，
在△BCD中，由正弦定理可得，
∴，∴|CD|＝，
又sinC＝sin（﹣2B），又△ABC为锐角三角形，
'∴，∴B∈（，），
∴∈（，），
∴sinC＝sin（﹣2B）∈（，1），
∴|CD|＝∈（1，2）．
【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，解三角方程，函数思想，属中档题．
19．（12分）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列在区间，中最大的项，求数列的前项和．
【分析】（1）在中，分别代入和，可求出数列的公比，进而知，再由等比数列的通项公式，得解；
（2）采用作差法，证明，，推出，从而得，再结合等比数列的前项和公式与分组求和法，得解．
【解答】解：（1）设数列的公比为，则，
当时，有，
当时，有，
两式相减得，，即，解得或（舍负），
又，所以，即，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
，即，
所以，即，
记为数列在区间，中最大的项，则，
所以，
所以．
【点评】本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等比数列的通项公式与前项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．
（1）若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点，，将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，设的中点为，根据线面平行的性质可得，，就是应画的线，然后根据线面垂直的判定定理结合条件可得截面周长；
（2）建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，设平面，根据线面垂直的性质可得的位置，进而即得．
【解答】解：（1）因为，平面，平面，
所以平面，又平面，
设平面平面，则，
设的中点为，连接，，则，又，
所以，即为，，，就是应画的线，
因为平面，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，平面，
所以，即截面为直角梯形，又，
所以，
所以，截面周长为；
（2）以点为坐标原点，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，，1，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设平面，设，又，0，，
，
由，可得，即，
即为的三等分点，连接，，即，就是应画的线．
【点评】本题考查了线面平行和线面垂直的性质，属于中档题．
21．（12分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
【分析】（1）根据题意及椭圆的几何性质，建立方程．即可求解；
（2）根据题意设直线的方程为，联立椭圆方程，根据根与系数及，建立方程，从而可求出的值，进而可得关于的函数模型，再根据题意建立不等式，从而求出的范围，最后通过函数思想即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得，半焦距，
由，可得，
，解得，
，
双曲线的方程的方程为；
（2）显然直线不可能与坐标轴平行，
设直线的方程为，
联立，可得，
设，，，，则根据题意可得：
，且，①，
由，可得，
即，
整理得②，
将①代入②中可得，
化简可消去所有的含的项，从而解得或（舍去），
直线的方程为，，
又都在双曲线的右支上，，，
，，，
点到直线的距离的取值范围为，．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，化归转化思想，函数思想，属中档题．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）先得到有两个根，再利用导数求出函数的最大值，求解即可；
（2）先得到，再证明当时，，然后利用导数判断单调性，证明即可．
【解答】解：（1）有两个零点，
有两个根，
设，则，
当时，则，单调递增，
当时，则，单调递减，
当时，，
当时，，当时，，
，，
的取值范围为，；
（2）设，
由，，则，
下面证明：当时，，
即证，
设，即证，
令（b），
则二次函数的开口向上，对称轴为，
由①得，，
（b）在，单调递增，（b）（1），
下面再证明：，
即证：，
设，
则，
设，
则，
单调递减，且，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，即，
则，
综上，的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/7 21:34:38；用户：陈超；邮箱：13488358862；学号：39511961年份
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