2022年广东省汕头市高考数学二模试卷

这是一份2022年广东省汕头市高考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合，，，，则
A．，B．C．，D．
2．（5分）已知复数满足是虚数单位），则的值为
A．B．1C．D．2022
3．（5分）设为等差数列的前项和，，，则
A．B．C．D．2
4．（5分）函数的图像有可能是
A．
B．
C．
D．
5．（5分）二项式展开式中，有理项共有 项．
A．3B．4C．5D．7
6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过与椭圆交于，两点，若△为正三角形，该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
7．（5分）若，则实数的值为
A．3B．C．2D．4
8．（5分）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）已知，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是
A．B．C．D．
10．（5分）如图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是
A．相关系数变大
B．残差平方和变大
C．相关指数变小
D．解释变量与预报变量的相关性变强
11．（5分）设，，都是正数，且，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
12．（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中，14题第一空2分，第二空3分．
13．（5分）中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为，，，我们把，，叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组勾股数的三个数依次是 ．
14．（5分）在边长为1的正三角形中，设，，则 ．
15．（5分）如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为 （用含，的表达式表示）
16．（5分）如果，，，那么的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为．已知，，．
（1）求公比；
（2）记第行的数所成的等差数列的公差为，把，，，所构成的数列记作数列，求数列的前项和．
18．（12分）袋中装着标有数字1，2，3，4不同的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（12分）已知钝角内接于单位圆，内角、、的对边分别为，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
20．（12分）如图所示，为半圆锥顶点，为圆锥底面圆心，为底面直径，为弧中点．是边长为2的等边三角形，弦上点使得二面角的大小为，且．
（1）求的值；
（2）对于平面内的动点总有平面，请指出的轨迹，并说明该轨迹上任意点都使得平面的理由．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆与抛物线交于点，（异于原点，恰为该圆的直径，过点作直线交抛物线于，两点，过，两点分别作抛物线的切线交于点．
（1）求证：点的纵坐标为定值；
（2）若是抛物线的焦点，证明：．
22．（12分）已知函数，其中，是自然对数
（1）求的极小值；
（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，且，求证：．
2022年广东省汕头市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合，，，，则
A．，B．C．，D．
【分析】求出集合，的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：，
，，，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合，是解决本题的关键．
2．（5分）已知复数满足是虚数单位），则的值为
A．B．1C．D．2022
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）设为等差数列的前项和，，，则
A．B．C．D．2
【分析】利用等差数列有前项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第9项．
【解答】解：为等差数列的前项和，
，，
，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
4．（5分）函数的图像有可能是
A．
B．
C．
D．
【分析】求出的定义域，判断的奇偶性，再求出极值点，由排除法可得结论．
【解答】解：函数的定义域为，，
可得为奇函数，其图像关于原点对称，可排除选项、；
的导数为，
当时，，递减；
当时，，递增，
则在处取得极小值，可排除选项．
故选：．
【点评】本题考查函数的图像的判断，需注意运用函数的奇偶性和极值，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
5．（5分）二项式展开式中，有理项共有 项．
A．3B．4C．5D．7
【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为整数，根据的取值范围即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为，
令，且，1，2，3，，
则，4，8，12，16，20，24，
所以展开式的有理项共有7项，
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过与椭圆交于，两点，若△为正三角形，该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【分析】设椭圆方程，根据椭圆的对称性可得垂直与轴，结合椭圆的定义，转化求解离心率即可．
【解答】解：不妨设椭圆的方程为，
则，，
因为△为正三角形，所以，即为线段的中点，
根据椭圆的对称性知垂直与轴，
设，则，，
所以，即，所以．
故选：．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题．
7．（5分）若，则实数的值为
A．3B．C．2D．4
【分析】由已知结合同角基本关系，二倍角公式，和差角及辅助角公式进行化简即可求解．
【解答】解：由，
得，
所以，
即，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式及二倍角公式，解题的关键是公式的灵活应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．
【解答】解：设过点的直线与曲线相切于点，
则，
化简得，，
令，
则令，
则，．
，（1），
又过点存在3条直线与曲线相切，
则，
解得，．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程等知识，考查转化思想的运用能力和运算能力，属中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）已知，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】利用不等式的基本性质求解．
【解答】解：因为，，满足，且，
所以，，，，，
所以，，，，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
10．（5分）如图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是
A．相关系数变大
B．残差平方和变大
C．相关指数变小
D．解释变量与预报变量的相关性变强
【分析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，由此判断即可．
【解答】解：由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数的值变大，相关指数的值变大，残差平方和变小．
故选：．
【点评】本题考查了线性相关问题的判断问题，也考查了识图与用图能力，是基础题．
11．（5分）设，，都是正数，且，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】由于，，都是正数，故可设，则，，，再结合对数的运算性质求解．
【解答】解：由于，，都是正数，故可设，
则，，，
，，，
，，
即，去分母整理得，
故，正确，错误，
又，，
，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于中档题．
12．（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可求出结果．
【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，如图，
，1，，，0，，，0，，，1，，
，0，，，1，，，1，，，1，，
设，，，设，，，0，，，，
解得，，1，，
对于，，，，，0，，，1，，
，，
，，，，
，直线平面，故正确；
对于，侧面的对角线交于点，，，
平面，平面，，
，平面，
为定值，故正确；
对于，，1，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则，
当时，，解得，
当时，，
，，，，
，，，
，，
，，
综上，，故错误；
对于，设平面的法向量为，，，，0，，
，，解得，，，
线与平面所成角的正弦值为：
，
，，时，有最小值为，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故错误．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中，14题第一空2分，第二空3分．
13．（5分）中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为，，，我们把，，叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组勾股数的三个数依次是 11，60，61 ．
【分析】先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，即可得出结论．
【解答】解：先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如，，，，由以上特点我们可第⑤组勾股数：，
故答案为11，60，61．
【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
14．（5分）在边长为1的正三角形中，设，，则 ．
【分析】根据，，确定点，在正三角形中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．
【解答】解：，为的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想．
15．（5分）如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为 （用含，的表达式表示）
【分析】设是双曲线的右焦点，连接．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：，于是，连接，则，在中，，，可得．即可得出结论．
【解答】解：如图所示，设是双曲线的右焦点，连接．
点，分别为线段，的中点，
由三角形中位线定理得到：
，
，连接，因为是圆的切线，
则，
在中，，，
．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的定义和性质的运用，结合三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质等知识，考查学生的计算能力和分析能力，是中档题．
16．（5分）如果，，，那么的取值范围是 ．
【分析】不等式等价于，又是上的增函数，所以，再由，，可得的取值范围．
【解答】解：不等式，
等价于．
又是上的增函数，所以，
故有．
再由，，所以的取值范围是，
故答案为．
【点评】本题主要考查三角不等式的解法，函数的单调性的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为．已知，，．
（1）求公比；
（2）记第行的数所成的等差数列的公差为，把，，，所构成的数列记作数列，求数列的前项和．
【分析】（1）由等差数列、等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再求和即可．
【解答】解：（1）由，，
则第4行的数所成的等差数列的公差为，
则，
则，
又，
则；
（2）由（1）得：，
则，，
则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则数列的前项和．
【点评】本题考查了等差数列、等比数列，重点考查了数列求和，属中档题．
18．（12分）袋中装着标有数字1，2，3，4不同的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）写出的所有取值并计算对应的概率，可得分布列，进一步计算可得期望．
【解答】解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则；
（2）由题意所有可能的取值为：1，2，3，4，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的均值为：
．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
19．（12分）已知钝角内接于单位圆，内角、、的对边分别为，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角商的关系进行化解即可求解；
（2）由已知结合和差角公式进行化解可求，，，然后结合正弦定理可求，，，再由三角形面积公式可求．
【解答】（1）证明：因为，
由正弦定理得，且为锐角，
因为，
所以，
又钝角中，为锐角或钝角，
所以或，
所以（舍或；
（2）若，则，
即，
因为为锐角，所以，，，
由正弦定理得，，
所以，，的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）如图所示，为半圆锥顶点，为圆锥底面圆心，为底面直径，为弧中点．是边长为2的等边三角形，弦上点使得二面角的大小为，且．
（1）求的值；
（2）对于平面内的动点总有平面，请指出的轨迹，并说明该轨迹上任意点都使得平面的理由．
【分析】（1）可证，，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可得，求解即可．
（2）取的中点，的中点，连接，，，易得点的轨迹是直线．
【解答】解：（1）由题意知，平面，且，
又平面，平面，
，，
所以以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，0，，，0，，，，，，1，，，0，，
设，，，所以，，，，1，，
由．得到，，，1，，，，
所以，，，，，，
所以，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，，，
所以，令，，，
所以平面的一个法向量为，，，
又平面的一个法向量为，0，，
，
解得（舍去）；
（2）取的中点，的中点，连接，，，
由三角形中位线定理得到，，，，
所以由面面平行的判定易知，平面平面，
且平面平面，所以点的轨迹是直线，
因为平面平面，平面，
所以对任意点直线，都有平面，如图所示
【点评】本题考查利用空间向量求参数的值，以及判断点的轨迹问题，属中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆与抛物线交于点，（异于原点，恰为该圆的直径，过点作直线交抛物线于，两点，过，两点分别作抛物线的切线交于点．
（1）求证：点的纵坐标为定值；
（2）若是抛物线的焦点，证明：．
【分析】（1）根据圆和抛物线的对称性，结合导数的几何意义进行求解证明即可．
（2）转化为证明向量分别与向量，的夹角相等，应用向量夹角余弦公式，即可证明结论．
【解答】解：（1）证明：由对称性可知交点坐标为，，
代入抛物线方程可得，
所以抛物线的方程为，
设，，，，
所以，
所以直线的方程为，
即，
因为直线过点，
所以，所以①．
因为，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为，
即，
同理直线的方程为，
联立两直线方程，可得，，
由①可知点的纵坐标为定值；
（2）证明：，，
注意到两角都在内，
可知要证：，即证，
，，，，
所以，
又，
所以，
同理，
所以，
即，
即：得证．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合运用、转化思想，根据导数的几何意义求出切线方程是解题的关键，属于中档题．
22．（12分）已知函数，其中，是自然对数
（1）求的极小值；
（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，且，求证：．
【分析】（1）通过函数，得，然后结合与0的关系对的正负进行讨论即可；
（2），利用导数证明（a），再证明，问题即可证明
【解答】解：（1）由函数，可知，
①当时，，函数在上单调递增，无极小值
②当时，令，得，
故当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
有极小值为，
证明（2），
，
，
函数有两个不同的零点，，且，
，，
，
，
考虑：，
设（a），
（a），
，
（a）在单调递减，在，单调递增
（a），
（a），
（a）
再考虑，
，
设，，则，
令，
则，
故在上单调递减，
所以，
则恒成立，进而
综上可得：．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性及极值，其中解答的关键是等量代换，属难题．
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