2023年广东省佛山市禅城区高考数学模拟试卷（二）（含解析）

这是一份2023年广东省佛山市禅城区高考数学模拟试卷（二）（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省佛山市禅城区高考数学模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知角的终边与单位圆的交点为，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式，可能为(    )
A.  B.
C.  D. 4.  已知，为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与相交”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5.  已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且，，为的中点，则点到直线的距离为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则(    )A. 事件与相互独立 B. 事件与为互斥事件
C.  D. 8.  已知函数有唯一零点，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  设，，是复数，则下列命题中正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则10.  已知函数的图象关于对称，则(    )A. 的最大值为
B. 是偶函数
C. 在上单调递增
D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称11.  已知正方形的边长为，是平面外一点，设直线与平面所成角为，三棱锥的体积为，则下列命题中正确的是(    )A. 若平面平面，则
B. 若平面平面，则
C. 若，则的最大值是
D. 若，则的最大值是12.  已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为设，，是直线上的动点，直线，分别与的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，下列说法中正确的是(    )A. 双曲线的方程为 B.
C. 以为直径的圆经过点 D. 当时，平行于轴三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  二项式的展开式的常数项是______ ．14.  数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式______ ．15.  已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为______ ．16.  设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于，两点点在，两点之间，则 ______ ；设交轴于点，交准线于点，则 ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和．18.  本小题分
在中，，，点为的中点，点在线段上且，．
求；
若点为与的交点，求的余弦值．19.  本小题分
某加盟连锁店总部对旗下个加盟店中每个店的日销售额单位：百元进行了调查，如图是随机抽取的个加盟店的日销售额的频率分布直方图若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
根据上述调查结果，估计这个加盟店日销售额的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到；
若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为中的样本平均数，根据的分布估计这个加盟店中“五星级”加盟店的个数结果精确到整数；
该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取个，设为抽取的“五星级“加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
参考数据：若，则，，．
20.  本小题分
如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥．
证明：；
若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
21.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于，的一动点，点满足．
求点的轨迹的方程；
点，是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值．22.  本小题分
已知函数，其中．
讨论函数极值点的个数；
对任意的，都有，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
故A．
故选：．
化简集合，再求交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为角的终边与单位圆的交点为，
所以，
则．
故选：．
利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而利用二倍角的余弦公式即可求解的值．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：根据图象可知，的定义域，
又、选项的函数的定义域为，则排除选项C，；
又，排除选项B；
又，即选项A满足题意，
故选：．
由函数的性质，结合函数的图象逐一判断即可得解．
本题考查了函数的性质，重点考查了函数的图象，属基础题．
 4.【答案】 【解析】解：若“与异面”，反证：直线与不相交，由于，，则，
，则，
这与与异面相矛盾，故直线与相交，
故“与异面”是“直线与相交”的充分条件；
若“直线与相交”，反证：若与不异面，则与平行或相交，
若与平行，，则，这与直线与相交相矛盾；
若与相交，设，即，，
，，则，，
即点为，的公共点，且，
，
即为直线、的公共点，这与相交相矛盾；
综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与相交”的必要条件；
所以“与异面”是“直线与相交”的充分必要条件．
故选：．
根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断．
本题主要考查了异面直线的定义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：设，被圆所截得的弦的中点分别为，．
由题意可得四边形为矩形．，
，，当且仅当时，取等号，
的最大值为．
故选：．
设，被圆所截得的弦的中点分别为，根据已知可得，可求的最大值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属中档题．
 6.【答案】 【解析】解：设，，，
，，
，
，
，，
，，
点到直线的距离为，
故选：．
设，，，可得，，利用向量法可求点到直线的距离．
本题考查点到线的距离的求法，考查向量法的应用，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，
则有种安排方法，
若甲参加跳高比赛，若只有甲一个人参加跳高比赛，有种安排方法，
若甲和另外一人参加跳高比赛，有种安排方法，
则有种安排方法，故，
同理：，
若甲乙都参加跳高比赛，有种安排方法，则，
由于，则事件、不相互独立，A错误；
对于，事件与可以同时发生，即甲参加跳高比赛同时乙参加跳远比赛，则事件、不是互斥事件，B错误；
对于，当甲参加跳高比赛同时乙参加跳远比赛时，
若其余两人都参加投铅球比赛，有种安排方法，
若其余两人只有一人参加投铅球比赛，有种安排方法，
则有种安排方法，故，
故，C正确；
对于，，，则，D错误．
故选：．
根据题意，由相互独立事件的定义分析可得A错误，由互斥事件的定义分析可得B错误，由条件概率计算公式分析可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的性质和判定，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：，
令，则为偶函数，图象关于对称，
若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知，
所以．
故选：．
由已知可令，则为偶函数，图象关于对称，结合已知函数有唯一零点及偶函数图象关于轴对称可求．
本题主要考查了利用偶函数的对称性求解参数的值，解题的关键是灵活利用偶函数对称性的性质．
 9.【答案】 【解析】解：对于，令，满足，但，故A错误；
对于，，则，故B正确；
对于，若，则，故C正确；
对于，若，，则满足，但，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：因为函数的图象关于对称，
所以，解得，
所以，其最大值为，故A正确；
令，
定义域为，，
所以即是偶函数，故B正确；
时，，在单调递增，
在单调递减，故C错误；
把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
因为，
所以的图象不关于点对称，故D错误．
故选：．
依题意可求出，从而可得，结合函数的图象性质逐一判断即可．
本题主要考查辅助角公式，三角函数的图象与性质，函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，若，则，，平面，
所以平面，由平面，则可得，
由于无法得知与是否垂直，故无法证明与平面是否垂直，故A正确，B错误；

对于：由题意知，点为动点，、为定点，，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦距，长轴为的椭圆，
将此椭圆绕旋转一周，得到一个椭球，即点的轨迹是一个椭球，
而椭球面为一个椭圆，由，
即，得，
当点运动到椭球的上、下顶点时，取到最大值，
此时；
设点在平面上的射影为，则，
又，且，
所以当且仅当时最大，即取到最大值，故C正确，D错误；

故选：．
根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可判断，由于无法得知与是否垂直，故无法证明与平面是否垂直，即可判断，根据椭圆的定义和旋转体的概念可知当时点的轨迹是一个椭球，即可判断、．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由题知，，解得，
所以双曲线方程为，A正确；
由知，，，
设，则，
所以，错；
由上述知，直线方程为，直线方程为，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
则，
所以，即，所以以为直径的圆经过点，C正确；
当时，即，所以代入，坐标得，，
所以平行于轴，D正确．
故选：．
根据题意，得出，即可求出双曲线标准方程判断；设，表示出，，即可判断；利用直线与双曲线相交得出，坐标，即可判断；利用，得出的值，即可判断．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：展开式的通项公式为：，
令，解得，
；
令，解得，
，
的展开式中常数项为：．
故答案为：．
写出展开式的通项公式，分别令，，结合题意求解即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 14.【答案】， 【解析】解：不妨设，则由可得：，，，
即此数列各项依次为：，，，，，，，，
显然，，满足题意．
故答案为：，．
本题只需找出一个符合题设条件的数列，故可从特殊值出发，找到符合条件的其中一个数列通式即可．
本题考查数列的递推式，属开放性命题，可从特殊值入手，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：令，则，
由于，所以，故在上单调递减，
又是定义在上的偶函数且，故，
所以，等价于，
因此，故的解集为．
故答案为：．
构造函数，求导得函数的单调性，即可由单调性求解．
本题考查利用函数单调性解不等式，考查导数的应用，属于基础题．
 16.【答案】  【解析】解：由到的距离为，可得，抛物线的方程为，准线方程为，焦点，
的坐标为，设直线的方程为，，，
由，消去整理可得，
，，
，
∽，
．
故答案为：；．
由题意可求得，进而可得，的坐标，设直线的方程为，，，利用根与系数的关系可得，进而利用相似可求．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 17.【答案】解：由，
得，
当时，有，
得：，即，
适合上式，
；
由知，数列为，，，，，，，
在相邻两项中间插入这两项的等差中项，
可得新数列为，，，，，，，，
则数列的奇数项是以为首项，以为公比的等比数列，偶数项是以为首项，以为公比的等比数列．
新数列的前项和． 【解析】由已知数列递推式求得首项，且得到，与原递推式联立可得的通项公式；
由题意可得，数列的奇数项是以为首项，以为公比的等比数列，偶数项是以为首项，以为公比的等比数列，再由数列的分组求和及等比数列的前项和公式求解．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是中档题．
 18.【答案】解：作图：

点在线段上且，
，设，则，
，，
，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，则，
，解得，
；
由得，，
，，
点为的中点，
，则，
又点在线段上且，
则，
则，
，
则，． 【解析】由题意作出图形，结合题意可设，则，利用余弦定理求出，，，求解即可得出答案；
由题意得，，根据向量数量积与模长，即可得出答案．
本题考查解三角形和平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，的频率分别为，，，，，，，
估计这个加盟店日销售额的平均数为：
百元，
，，
中位数在内，设中位数为百元，
则，解得．
估计中位数为百元．
由知，
，，
，
估计这个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．
由得样本中“四星级”加盟店有个，
“五星级”加盟店有个，
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
的概率分布列为： ． 【解析】由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；
由知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这个加盟店中“五星级”加盟店的个数；
求出的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出的数学期望．
本题考查了平均数、中位数的计算，考查正态分布，考查离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题．
 20.【答案】解：证明：在矩形中，，，
折起后，，
沿对角线把折起，使点移到点，
且点在面内的射影恰好落在上，
平面，又平面，，
又，平面，
又平面，，
，平面，
又平面，平面平面．
，，
，
，
，
，
，
在平面中，作，交于点，
则以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

假设在线段上是存在点，
设，使得平面与平面所成角的余弦值为，
，，，
又，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，
得，，
平面的一个法向量为，
轴平面，
平面的一个法向量为，
，，
解得，
当或时，平面与平面所成角的余弦值为． 【解析】通过证明线线垂直可证线面垂直即证平面，进而可证面平面．
在平面中，作，交于点，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，假设在线段上是存在点，设，利用向量法可求，进而可求．
本题考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
 21.【答案】解：设，，由题意，得，
化简得，，可见的轨迹是一个以，两点为焦点，以为长轴的椭圆，
即，，所以，所以椭圆方程为；
根据题意可知，当四边形为平行四边形时，，两点关于原点对称，由对称性，不妨设在第一象限且，则四边形的面积为，当在椭圆的上顶点时，取得最大值为，此时面积最大值为；
当四边形为梯形时，不妨，，设：，椭圆离心率为，准线为，根据椭圆性质，，，，
由，，得，根据对称性，，
所以，梯形的高为，
所以梯形的面积为，
综上，四边形面积最大值为． 【解析】设，点坐标根据题意列出方程，消掉点坐标即可；结合曲线的对称性分析四边形面积的最大值．
本题主要考查椭圆的相关性质，属中档题．
 22.【答案】解：，其中，，
则，
令，得，
令，
则和的交点个数即为的极值点个数，
由，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
故，
当时，，当时，，
故时，，
故单调递减，无极值点，
时，和没有交点，无极值点，
时，和有个交点，有个极值点，
时，和有个交点，有个极值点；
综上：时，无极值点，
时，有个极值点，
时，有个极值点．
对任意的，都有，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
令，显然在递增，
而，，
则，使得，即，
即，即，
即，
由在单调递增得，，
由时，递减，时，递增，
故，
故，即的取值范围是． 【解析】求出函数的导数，问题转化为和的交点个数即为的极值点个数，通过讨论的范围，判断函数的极值点个数即可；
问题转化为对任意的恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查函数的隐含零点以及函数恒成立问题，考查导数的应用，分类讨论思想，转化思想，是难题．