资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩17页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
考点09 双曲线的15种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)
展开
这是一份考点09 双曲线的15种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)，文件包含考点09双曲线的15种常见考法归类原卷版docx、考点09双曲线的15种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。
1、双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2、求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
3、双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.
4、双曲线渐近线的求法和设法
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
5、求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq \f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6、直线和双曲线的一些重要结论
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(3)双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
7、双曲线的实际应用
(1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
(2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
①建立适当的坐标系．
②求出双曲线的标准方程．
③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
考点一 求双曲线的标准方程
1．（2022·广西·统考一模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·云南丽江·高二统考期末）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
考点二 双曲线的焦点三角形
6．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．10C．14D．2或10
7．（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2B．4C．D．
9．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
10．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
13．（2022秋·重庆云阳·高二重庆市云阳凤鸣中学校校考期末）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 双曲线定义的应用
14．（2022·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2022秋·江西吉安·高二统考期末）“，”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
17．（2022秋·吉林·高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
19．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
20．（2022秋·河南鹤壁·高二河南省浚县第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
考点四 双曲线的对称性
21．（2022秋·天津河北·高三天津市扶轮中学校考期末）已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022秋·河南·高三校联考期末）已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点五 与双曲线有关的轨迹方程
24．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022秋·湖南怀化·高二统考期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
考点六 双曲线的离心率
求双曲线的离心率
28．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
30．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，高为的梯形的两顶点分别在双曲线的左､右支上，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
31．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
33．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
求双曲线离心率的取值范围
34．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，＋∞）D．[ ，＋∞）
35．（2022秋·四川眉山·高二眉山中学校考期中）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·高二课时练习）已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
由双曲线的离心率求参数的取值范围
39．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
40．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
考点七 与双曲线的渐近线有关的问题
42．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
43．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
44．（2022秋·河北邯郸·高二校考期末）双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
45．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知点，分别是双曲线的左右焦点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
46．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A．B．C．D．
47．（2022秋·福建三明·高二永安市第九中学校考期中）设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
考点八 直线与双曲线的位置关系
48．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
49．（2022秋·安徽合肥·高二校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
50．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
51．（2022秋·北京朝阳·高二统考期中）已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
52．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与双曲线交于，两点，若，则这样的直线有（ ）
A．0条B．2条C．3条D．4条
考点九 直线与双曲线的弦长问题
53．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
54．（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2B．C．D．3
55．（2022秋·天津和平·高二天津一中校考期中）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
56．（2022秋·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
57．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点A，B在上，若（为坐标原点），，则的面积为（ ）
A．16B．24C．32D．36
考点十 直线与双曲线的中点弦问题
58．（2022秋·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
59．（2022秋·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为( )
A．0B．1C．2D．3
60．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
61．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
考点十一 双曲线中的向量问题
62．（2022·湖南·模拟预测）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．
63．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，的顶点在轴上，顶点在的左支上，直线分别与的右支交于两点，若，且，则的渐近线方程为___________.
64．（2022秋·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）双曲线的左､右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限），则双曲线C的离心率为______．
65．（2022秋·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
66．（2022秋·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
67．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，且，过原点O的直线l与双曲线E相交于不同的两点C，D，且.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设点P是双曲线E的右支上一点，过点P的直线m与双曲线E的两条渐近线分别交于点，，其中，若，且，求面积的取值范围.
考点十二 双曲线中参数范围及最值问题
68．（2022秋·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
69．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
70．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．
71．（2022秋·江苏南京·高三校联考期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
72．（2022·四川乐山·统考二模）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点十三 双曲线的定点、定值问题
73．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
74．（2022秋·山东潍坊·高二潍坊一中校考期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
75．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
76．（2022秋·浙江金华·高三期末）已知双曲线上一点，直线交于，点.
(1)证明：直线与直线的斜率之和为定值；
(2)若的外接圆经过原点，求的面积.
77．（2022秋·四川·高二四川省科学城第一中学校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
78．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．
79．（2022秋·辽宁锦州·高二校考期中）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
考点十四 双曲线的实际应用
80．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知两地相距800米，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟2秒，设声速为340米/秒.
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程.
81．（2022秋·吉林长春·高二校考期中）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
82．（2022·全国·高二期中）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
考点十五 双曲线中的存在性（探索性）问题
83．（2022·河南·统考一模）已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
84．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）已知点是双曲线的右焦点，经过点斜率为的动直线交双曲线于两点，点是线段的中点，且直线的斜率满足.
(1)求的值；
(2)设点，在直线上的射影分别为，问是否存在，使直线和的交点总在轴上？若存在，求出所有的值；否则，说明理由.
85．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
1、双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2、求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
3、双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.
4、双曲线渐近线的求法和设法
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
5、求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq \f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6、直线和双曲线的一些重要结论
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(3)双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
7、双曲线的实际应用
(1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
(2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
①建立适当的坐标系．
②求出双曲线的标准方程．
③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
考点一 求双曲线的标准方程
1．（2022·广西·统考一模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·云南丽江·高二统考期末）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
考点二 双曲线的焦点三角形
6．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．10C．14D．2或10
7．（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2B．4C．D．
9．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
10．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
13．（2022秋·重庆云阳·高二重庆市云阳凤鸣中学校校考期末）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 双曲线定义的应用
14．（2022·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2022秋·江西吉安·高二统考期末）“，”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
17．（2022秋·吉林·高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
19．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
20．（2022秋·河南鹤壁·高二河南省浚县第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
考点四 双曲线的对称性
21．（2022秋·天津河北·高三天津市扶轮中学校考期末）已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022秋·河南·高三校联考期末）已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点五 与双曲线有关的轨迹方程
24．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022秋·湖南怀化·高二统考期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
考点六 双曲线的离心率
求双曲线的离心率
28．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
30．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，高为的梯形的两顶点分别在双曲线的左､右支上，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
31．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
33．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
求双曲线离心率的取值范围
34．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，＋∞）D．[ ，＋∞）
35．（2022秋·四川眉山·高二眉山中学校考期中）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·高二课时练习）已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
由双曲线的离心率求参数的取值范围
39．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
40．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
考点七 与双曲线的渐近线有关的问题
42．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
43．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
44．（2022秋·河北邯郸·高二校考期末）双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
45．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知点，分别是双曲线的左右焦点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
46．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A．B．C．D．
47．（2022秋·福建三明·高二永安市第九中学校考期中）设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
考点八 直线与双曲线的位置关系
48．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
49．（2022秋·安徽合肥·高二校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
50．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
51．（2022秋·北京朝阳·高二统考期中）已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
52．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与双曲线交于，两点，若，则这样的直线有（ ）
A．0条B．2条C．3条D．4条
考点九 直线与双曲线的弦长问题
53．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
54．（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2B．C．D．3
55．（2022秋·天津和平·高二天津一中校考期中）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
56．（2022秋·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
57．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点A，B在上，若（为坐标原点），，则的面积为（ ）
A．16B．24C．32D．36
考点十 直线与双曲线的中点弦问题
58．（2022秋·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
59．（2022秋·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为( )
A．0B．1C．2D．3
60．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
61．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
考点十一 双曲线中的向量问题
62．（2022·湖南·模拟预测）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．
63．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，的顶点在轴上，顶点在的左支上，直线分别与的右支交于两点，若，且，则的渐近线方程为___________.
64．（2022秋·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）双曲线的左､右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限），则双曲线C的离心率为______．
65．（2022秋·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
66．（2022秋·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
67．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，且，过原点O的直线l与双曲线E相交于不同的两点C，D，且.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设点P是双曲线E的右支上一点，过点P的直线m与双曲线E的两条渐近线分别交于点，，其中，若，且，求面积的取值范围.
考点十二 双曲线中参数范围及最值问题
68．（2022秋·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
69．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
70．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．
71．（2022秋·江苏南京·高三校联考期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
72．（2022·四川乐山·统考二模）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点十三 双曲线的定点、定值问题
73．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
74．（2022秋·山东潍坊·高二潍坊一中校考期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
75．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
76．（2022秋·浙江金华·高三期末）已知双曲线上一点，直线交于，点.
(1)证明：直线与直线的斜率之和为定值；
(2)若的外接圆经过原点，求的面积.
77．（2022秋·四川·高二四川省科学城第一中学校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
78．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．
79．（2022秋·辽宁锦州·高二校考期中）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
考点十四 双曲线的实际应用
80．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知两地相距800米，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟2秒，设声速为340米/秒.
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程.
81．（2022秋·吉林长春·高二校考期中）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
82．（2022·全国·高二期中）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
考点十五 双曲线中的存在性（探索性）问题
83．（2022·河南·统考一模）已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
84．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）已知点是双曲线的右焦点，经过点斜率为的动直线交双曲线于两点，点是线段的中点，且直线的斜率满足.
(1)求的值；
(2)设点，在直线上的射影分别为，问是否存在，使直线和的交点总在轴上？若存在，求出所有的值；否则，说明理由.
85．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
相关试卷
考点20 数列13种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)： 这是一份考点20 数列13种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)，文件包含考点20数列13种常见考法归类-高二数学题型归纳与解题策略人教A版选择性必修第二册原卷版docx、考点20数列13种常见考法归类-高二数学题型归纳与解题策略人教A版选择性必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
考点14 抛物线大题13种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)： 这是一份考点14 抛物线大题13种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)，文件包含考点14抛物线大题13种常见考法归类原卷版docx、考点14抛物线大题13种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。
考点12 抛物线8种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)： 这是一份考点12 抛物线8种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)，文件包含考点12抛物线8种常见考法归类原卷版docx、考点12抛物线8种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
