专题强化训练三 双曲线的标准方程及其几何性质基础提升必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题强化训练三 双曲线的标准方程及其几何性质基础提升必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·哈密市第十五中学（理））已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·重庆高二月考）双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
5．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为渐近线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
6．（2021·四川省资中县第二中学（理））已知双曲线：，，过点的直线交于，两点，为的中点，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
7．（2021·永昌县第一高级中学高二期中（文））是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（2021·浙江温州·高二期末）设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A．B．C．30D．15
9．（2021·山西潞州·太行中学高二期末（文））如图，，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（ ）
A．4B．C．6D．9
10．（2021·浙江高二单元测试）已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·广西河池·（理））已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
12．（2021·黑龙江让胡路·大庆一中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设、分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于、两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
13．（2021·湖北东西湖·华中师大一附中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上均不对
14．（2021·江苏高二专题练习）如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．（2021·全国高二）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
16．（2021·济宁市育才中学高二开学考试）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线的离心率
B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
C．为定值
D．的最小值为
17．（2021·武汉市光谷第二高级中学）已知双曲线的实轴长为，焦距为，左、右焦点分别为，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为
C．到一条渐近线的距离是D．过的最短弦长为
18．（2021·湖北武昌·高二期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．四边形的面积为（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为
D．直线与直线的斜率之积为定值
19．（2021·福建省南安市侨光中学高二月考）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）．
A．若曲线为圆，则的值为2；
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为；
C．“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件；
D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为.
20．（2021·福建福州三中高二期中）已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．
B．E的离心率等于
C．的内切圆半径
D．若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
三、填空题
21．（2021·全国高二课时练习）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________．
22．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线上，且，则此双曲线的标准方程为________．
23．（2021·江苏南京·高二月考）设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为___________.
24．（2021·全国高二课时练习）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
25．（2021·全国高二课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是______．
26．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
27．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（理））如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______．
四、解答题
28．（2021·江苏高二专题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上；
（2）与双曲线＝1共焦点，且过点P．
29．（2021·鸡东县第二中学）已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
30．（2021·全国高二专题）已知定点，，动点到两定点、距离之差的绝对值为．
（1）求动点对应曲线的轨迹方程；
（2）过点作直线与曲线交于、两点，若点恰为的中点，求直线的方程．
31．（2021·定远县育才学校高二开学考试（理））已知，分别是双曲线的左､右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.
（1）若，求的面积
（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程.
32．（2021·江苏如皋·高二开学考试）已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
33．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.
34．（2021·江西景德镇一中高二期末（理））（1）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，点是双曲线上不同的两个动点，求直线与直线的交点的轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于两点，且直线与直线交于点，若，试证明为的中点．
35．（2021·安徽定远·（文））已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．
参考答案
1．B
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
2．C
【详解】
依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．C
【详解】
因为椭圆的半焦距为：，
所以双曲线的右顶点坐标为，即，
因此该双曲线的渐近线方程为，
故选：C
4．A
【详解】
根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
则
故选：A
5．D
如图，双曲线的右焦点为，右顶点，为渐近线上一点，则的最小值就是关于的对称点到的距离，所以，
则的最小值为，
故选：D．
6．B
【详解】
设，代入双曲线方程中得：，
两式相减得：，
因为为的中点，所以，所以，
由题意可知：，
所以，
故选：B.
7．D
【详解】

则
故双曲线的两个焦点为,
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,


则的最大值为


故选：D
8．D
解：由，得，则，所以，
设，，则
，所以，
由余弦定理得，
因为，所以，所以，得，
所以，得，
所以，
所以，
所以的面积为，
故选：D
9．A
【详解】
因为点为的中点，所以，
又，所以，，
所以，
所以，所以．
所以．
故选：A
10．C
【详解】
解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
11．D
【详解】
设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图，
因为
所以，
因为，所以，，
由题易知|，
因为，
所以
则
化简整理得
又，，即．
所以双曲线的离心率为
故选：D
12．A
【详解】
如图所示：
由题意可知，，，所以，
由双曲线的定义可得，，所以．
故选：A．
13．B
解：如图所示：
，是双曲线的左右焦点，延长交于点，
由直角与全等，则,所以是的中点，
是的角平分线，，
又点在双曲线上，则，则，
又是的中点， 是的中位线，
，即，
在中，，，，
由三角形两边之和大于第三边得：，
两边平方得：，即，
两边同除以并化简得：，解得：，
又，，
在中，由余弦定理可知，，
在中，，
即，
又，
解得：，
又，,
即， ，
综上所述：.
故选：B.
14．B
如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
15．BC
【详解】
因为，，
所以，，焦距为，所以A错误；
因为，所以B正确；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；
令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．
故选:BC．
16．ACD
【详解】
由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，
则，（舍去），
又，所以，离心率为，A正确；
设的内切圆与三边切点分别为，如图，
由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，B错；
设，则，，
渐近线方程是，则，，
为常数，C正确；
由已知的方程是，倾斜角为，所以，，
，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：ACD．
17．AC
【详解】
依题意可知，，所以.
离心率，故A正确；
渐近线方程为，故B错误；
，不妨设渐近线为，则到渐近线的距离，故C正确；
过的最短弦长为，故D错误.
故选：AC.
18．ABD
【详解】
依题意，设，则有，即，
而双曲线C的渐近线分别为和，于是得，，
令双曲线C的半焦距为c，从而得，
即，，亦即，解得，，
于是得双曲线离心率，A正确；
于是得双曲线渐近线为，即两条渐近线垂直，四边形为矩形，其面积为，B正确；
因双曲线渐近线为，C不正确；
因直线，且直线与直线都不垂直于坐标轴，则直线与直线的斜率之积为-1，D正确.
故选：ABD
19．AC
【详解】
A选项，当方程表示圆时，，圆的方程为，A正确.
B选项，时，方程为，表示双曲线，渐近线方程为，B错误.
C选项，当方程表示椭圆时，，所以“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件，C正确.
D选项，当双曲线离心率为时，双曲线为等轴双曲线，则，此方程无解，D错误.
故选：AC
20．ABD
【详解】
如上图所示，因为分别是的中点，所以中，，所以轴
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确
B选项中，中，，
所以，得：，故B正确
C选项中，的周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误
D选项中，关于原点对称，可设，，根据得： ，所以当斜率存在时，
，，，因为在双曲线上，所以，即，得： ，
所以，故D正确
故选：ABD
21．
【分析】
根据虚轴长是实轴长的2倍列方程，由此求得的值.
【详解】
双曲线可化为，.
虚轴长是实轴长的倍，所以.
故答案为：
22．或
【详解】
直线与坐标轴的交点坐标为：，
当双曲线的焦点在横轴时，，因为，所以，
因此，即双曲线方程为：；
当双曲线的焦点在纵轴时，，因为，所以，
因此，即双曲线方程为：，
故答案为：或
23．
【详解】
∵渐近线的斜率为，
∴，又
在 中，由角平分线定理可得,
所以,,
所以,.
故答案为：.
24．
【详解】
如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
25．
【详解】
设，则，
由双曲线的定义知，，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，
此时，解得，又，
∴，
故答案为：
26．x2－＝1
【详解】
由题意得
解得
则该双曲线的方程为x2－＝1.
故答案为：x2－＝1
27．
解：连接，因为是圆的直径，
所以，即，
因为是等边三角形，所以
所以
所以在中，
由双曲线的定义得即
所以双曲线的离心率为
故答案为：
28．（1）－y2＝1；（2）x2－＝1．
解：（1）因为焦点在x轴上，c＝，所以设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
因为双曲线经过点(－5，2)，
所以－＝1，所以λ＝5或λ＝30(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1．
（2）由＝1，得c2＝16＋9＝25，所以c＝5．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－a2，故所求双曲线方程可写为－＝1．
因为点P在双曲线上，所以－＝1，
化简，得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝．
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去；故a2＝1，b2＝24．
故双曲线的标准方程为x2－＝1．
29．（1）；（2）．
解：（1）因为，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，所以，
所以的方程为：；
（2）不妨设焦点，则直线：
由消去得：．
设，，则，，
所以．
30．（1）；（2）．
解：（1）由题意知：，
故动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，，
∴，故曲线的方程为：；
（2）设，，满足，
两式相减得，即，
因为点为的中点，故，
∴，即直线的斜率为，又过点，
故直线的方程为：，即．
31．（1）面积为；（2）.
解：（1）设，，由双曲线的定义可得，
由余弦定理得，
，
所以，
的面积为.
（2）如图所示，，，
设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，
，与内切圆的切点分别为A，B，
由双曲线的定义可得，
即，
又，，，
所以，
即.
设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以，即.
因为双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，
所以，，
所以，，
故内切圆的圆心轨迹方程为.
32．（1）；（2）存在，.
解：（1）设双曲线的焦距为，
因为离心率为2，所以，，
联立，得：，
所以点的坐标为，
因为，所以的面积为，所以，
双曲线的方程为.
（2）设，，直线的方程为，
直线的方程为，直线的方程为，
联立， 所以点的横坐标为，，
联立，得：，
，，
所以
，
直线与直线的交点在直线上.
33．（1）；（2）.
（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
34．
（1）由已知得，，；
则①，②
①②得，又，所以，
因此，所以所求轨迹方程为：；
（2）设，，
由消去可得，整理得，
则，
设的中点，则，，
由得，则
因为，所以，则，，
即与重合，所以为的中点.
35．（1）；（2）24.
【详解】
因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
设，
则，
所以，即当且仅当时取等号．
所以当时，取得最小值24．
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