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考点12 抛物线8种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)
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1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
3、抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
4、求抛物线实际应用的五个步骤
5、焦点弦问题相关结论
已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
注：当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
6、求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
考点一 求抛物线的标准方程
1．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得，求出，从而可求出抛物线的方程.
【详解】因为抛物线：的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线方程为，
故选：D
2．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆可得，
所以左焦点坐标为，
所以以为焦点的抛物线的标准方程为，
故选：C.
3．（2022秋·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的性质，求出，然后求得抛物线方程即可.
【详解】解：焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，
又准线与焦点轴间的距离为3，可得，所以抛物线的标准方程为.
故选：A.
4．（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】直线与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出，可得答案.
【详解】直线与坐标轴的交点为，
当抛物线的焦点为时，其标准方程为；
当抛物线的焦点为时，其标准方程为.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的方程可求得其焦点坐标，从而可设抛物线的方程，利用焦点和双曲线焦点相同，求得参数值，即得答案.
【详解】由已知可知双曲线的焦点为,
故设抛物线方程为 ，则 ，
故 ，所以抛物线方程为,
故选:D.
考点二 抛物线定义的应用
（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标
6．（2022秋·江苏南通·高三江苏省包场高级中学校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（ ）
A．7B．5C．3D．1
【答案】B
【分析】根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），
设准线与纵轴的交点为，
由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.
故选：B.
7．（2022·高二单元测试）在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据条件列出方程组即可求解
【详解】抛物线的顶点为，焦点为，
设符合题意，则有
，
即，解得，
所以符合条件的点为，
故选：D
8．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】设，分别表示出，，再分类讨论即可求解.
【详解】由抛物线的解析式，可知，准线，设，
由抛物线的定义可知，
又，.
当时，即，解得，此时点与点重合，不符合题意；
当时，即，解得或（舍），此时点A的横坐标为；
当时，即，解得，此时点A的横坐标为.
只有选项C符合题意.
故选：C
（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
9．（2022秋·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆:,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点向作垂线垂足为,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,
.
故选:B
11．（2022秋·北京延庆·高二统考期末）已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可.
【详解】
如图，为点在准线上的投影，
根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为.
故选：B.
12．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值．
【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.
过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为
抛物线的焦点
过作于，和抛物线的交点就是，
∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）
点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，
最小值．
故选：C．
13．（2022秋·内蒙古包头·高二包头一中校考期中）已知P是抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为H，设圆上任意一点Q，则的最小值是（ ）
A．B．5C．6D．4
【答案】B
【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
根据抛物线的定义可知，
圆的圆心为，半径，
，
所以,
所以当三点共线时，取得最小值.
故选：B
14．（2022秋·山东临沂·高二校考期末）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.
【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，
由消去y并整理得：，设，，则，
弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，
令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，
即有，，
当且仅当点与P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
15．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.
【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
16．（2022秋·广东江门·高二校考期中）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，的值为4
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
【答案】B
【分析】由焦半径求出的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD.
【详解】当时，，故，故A正确；
当时，，由可得，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，
则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，
此点即为取最大值的点，此时，
其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，
故的最大值为，故D正确.
故选：B.
考点三 抛物线的轨迹问题
17．（2022·高二课时练习）若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
18．（2022·高二课时练习）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
【答案】A
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.
【详解】解：
设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
19．（2022·全国·高二期末）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
20．（2022·高二课时练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
【答案】C
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
21．（2022春·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
22．（2022·全国·高三专题练习）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可转化等于A,B到准线距离的和，再由圆与准线相切及O是AB的中点，可得，再结合椭圆的定义即可得解.
【详解】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故选：A
考点四 直线与抛物线的位置关系
23．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.
【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，
符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，
故选：D
24．（2022秋·江西抚州·高二校联考期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由题意求得抛物线方程，再联立直线与抛物线方程判断交点个数，
【详解】设，由对称性，可知，故，代入中，解得，
故抛物线：，
易知直线：，直线：与抛物线仅有1个交点；
联立得，则，故直线与抛物线仅有1个交点，
故选：D
25．（2022·高二课时练习）直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
26．（2022秋·安徽宿州·高二校联考期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
27．（2022春·北京·高二北京二中校考期末）双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将双曲线渐近线方程代入抛物线方程，由可求得，根据可求得结果.
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，
将代入抛物线方程得：，，解得：，
双曲线的离心率.
故选：A.
考点五 直线与抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题
弦长问题
28．（2022秋·福建三明·高二校联考期中）过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解.
【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.
直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: .
将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.
设，则有，.
所以弦长.
故选：A
29．（2022·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（ ）
A．5B．C．10D．15
【答案】C
【分析】过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，结合抛物线的定义得，由可得答案．
【详解】如图，过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，
因为，所以，
根据已知条件，结合抛物线的定义，得，又，∴，∴．
故选：C．
30．（2022·全国·校联考模拟预测）入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可
【详解】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故
故选：B
31．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）斜率为直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则三角形（为坐标原点）的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出两点坐标，进而求出的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积．
【详解】抛物线的焦点坐标为，则斜率为的直线方程为：.
与抛物线方程联立，消去得： .
设，不妨设，
则，
点到直线的距离为，
所以的面积为
故选：D
32．（2022秋·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义可求坐标，进而由三角形面积公式即可求解.
【详解】抛物线焦点为，准线方程为，
，，，
代入抛物线方程可得，不妨设点在x轴上方，即，
又，
所以，即，同理可得
所以点的纵坐标为
故选：C．
33．（2022·高二课时练习）已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【详解】由得焦点坐标为，
设直线方程为，
与抛物线方程联立，消去y得，
设，则，
因为，
所以，即，
即，解得，
所以直线方程为：，
故选：A
34．（2022春·河南许昌·高二统考期末）已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入可得交点坐标，结合弦长为可得，进而得到抛物线的焦点坐标即可
【详解】当时，，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为
故选：A
焦点弦问题
35．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由得到，当直线的斜率为0时不合要求，当直线的斜率不为0时，设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而列出方程，得到，求出直线的斜率.
【详解】由题意得：，
因为，则，
设，则，
当直线的斜率为0时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不合要求，
当直线的斜率不为0时，设，
则联立与抛物线方程，得，
则，
因为，故，
所以，解得：，
故直线l的斜率为.
故选：C．
36．（2022秋·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，满足，，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由抛物线方程可知，焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题，，抛物线焦点为，准线为，
设准线与轴交点为，如图所示，
由题知，由定义可知，
因为，所以是正三角形，
则对，因为，所以，
所以，
故选：C
37．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.
【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图，
.
又因为，所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以点为的中点，
所以，故，
由抛物线的定义可得，，所以，即.
故选：B.
38．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.
【详解】
根据题意作出函数图像，过点N作准线l的垂线，
由抛物线的定义知，
又，所以，所以，
又与轴平行，所以
由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形，
所以，
故选: A.
39．（2022秋·四川广安·高二广安二中校考期中）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．
【详解】抛物线，可知，
设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，
过焦点的弦，，
∴，
故选：D．
40．（2022秋·河南南阳·高二统考期中）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与拋物线交于，两点，又直线与圆交于两点.若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．
【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，
由得，设，则，
又，，∴，
∴，
圆，圆心为，半径为，
∴，
∵，∴，解得，∵，∴．
故选：C．
41．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故选：C
中点弦问题
42．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
【答案】B
【分析】根据点差法求解即可.
【详解】设，，则.
所以，
所以.
故选：B
43．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.
【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，即直线的斜率，
所以直线方程为，即
故选：B
44．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
45．（2022·山西吕梁·统考二模）已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求．
【详解】焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，
∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，
故，∴，
∴．
故选：D．
考点六 抛物线中的参数范围及最值问题
46．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．15
【答案】C
【分析】利用韦达定理和抛物线的定义表示出，利用基本不等式求解.
【详解】设直线，，，
联立，整理得，
则，故.
因为，，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故选:C.
47．（2022·高二课时练习）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值.
48．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】圆心是抛物线的焦点，设，因此，这样有，变形后利用基本不等式得最小值．
【详解】易知即为抛物线的焦点，即，设，∴
∴
当时，上式，取等条件：，
即时，取得最小值
故选：A．
49．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考期中）已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
点为抛物线上的动点，所以设，先求出，
所以的最小值为
【详解】圆可化为，
所以点.又因为点为线段的中点，且，
所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
因为点为抛物线上的动点，所以设，
则，
所以当时，，
所以的最小值为.
故选：C.
50．（2022·河南·统考一模）已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.
【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，
则在直角中，，
所以，
由抛物线的定义得：，
则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，
所以.
故选：D.
51．（2022·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理，再根据为锐角得到恒成立，转化为坐标运算，即可得到的范围.
【详解】由题意知，设直线的方程为，由，
得．设，，
则，，所以，．
因为为锐角，所以恒成立，即，
整理得，所以，
而，所以对于任意恒成立，所以．
由，解得，所以的取值范围为．
故选:A．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可
【详解】，
设点，则
即 有非负实根
解得
故选：A
考点七 抛物线的定值、定点、定直线问题
定值问题
53．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设抛物线方程为（），根据焦半径公式列式求出即可得解；
（2）直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，得到和，再根据可得结果.
【详解】（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为（），
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，∴，
∴抛物线方程为.
（2）显然直线的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线的方程为：，
由，化简并整理得，恒成立，
设，，则，则，
∴.
所以为定值.
54．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解；
（2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论.
【详解】（1）解：点在抛物线上，且，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）证明依题意，设直线，
联立，得，
则，
故为定值．
55．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义可求得，即可得抛物线方程；
（2）根据直线与抛物线的位置，分别求解线段，即可验证.
【详解】（1）解：点在抛物线上，由抛物线的定义得故，所以．
（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为，设．
由，得，
∴．
∴，
∴．
∴的方程为．
令，解得，
∴，∴，为定值．
56．（2022秋·江苏扬州·高二仪征中学校考期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在时，为定值
【分析】（1）求出，结合短轴长求出，从而求出，写出椭圆方程；
（2）先考虑直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，直线斜率不为0时，设出，与抛物线联立，根据焦点弦公式求出，再把直线与椭圆联立，由弦长公式得到，从而得到，列出方程，求出的值及定值.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，故，
且，解得：，
从而，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，
设，故，
则，
故，
联立与，可得：，
设，
则，
则，
所以，
令，解得：，
此时为定值.
定点问题
57．（2022秋·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线：上一点到焦点的距离为，
(1)求抛物线的方程；
(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义和已知条件可求出的值，即可求得抛物线的方程；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得，，再由整理，由此得到，直线的方程为，从而求得定点．
【详解】（1）由抛物线方程可得，准线方程为，
因为抛物线：上一点到焦点的距离为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为：；
（2）抛物线的方程为，在抛物线上，所以，
因为在第一象限，故，所以，
依题意，直线的斜率存在若不存在，则与抛物线只有一个交点，
设直线的方程为，，，
联立，消去，得，
则，，，
因为直线，的斜率之积为1，即，
故，
整理得，
所以，得，
故直线的方程为，
所以直线过定点．
58．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足.
(1)求动点M的轨迹C；
(2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）利用相关点代入法，设，由已知向量关系可得，代入原方程即可得解；
（2）设方程为：，代入抛物线方程可得，在的情况下，可得，由，代入求得和的关系即可得解.
【详解】（1）设，则，
由，得，代入得，
所以动点的轨迹.
（2）易得的斜率存在，设，
，
由联立可得：，
①，
②
将①代入②得：，
所以，
所以直线恒过定点.
59．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点．
(1)当时，求直线的方程；
(2)过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)或
(2)直线经过定点
【分析】（1）根据抛物线焦半径公式和抛物线方程可求得点坐标，由此可求得直线方程；
（2）设，可得和直线方程，将直线方程与抛物线方程联立可得；当时，可求得直线方程为：，由此可确定定点；当时，直线，恒过；综合两种情况可得结论.
【详解】（1）由抛物线方程知：，准线；
设，则，解得：，
，解得：，则或，
或，
直线的方程为：或，即或.
（2）设，即，则，直线，
由得：，解得：或，；
当时，，
直线方程为：，整理可得：，
直线恒过点；
当时，直线方程为，恒过点；
综上所述：直线经过定点.
60．（2022春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知圆过点，且与直线相切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)为轨迹上的动点，为直线上的动点，求的最小值；
(3)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为．问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)过定点.
【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可；
（3）根据直线斜率公式，结合直线方程进行求解即可.
【详解】（1）由题意得点到直线的距离等于到点的距离，
所以点是以为焦点，以为准线的抛物线，
焦点到准线的距离，所以点的轨迹方程为；
（2）设，到直线的距离
，所以的最小值为；
（3）设，，
则直线的方程为，
因为过点，所以，所以．
因为与关于轴对称，故，
同理，直线的方程为，
因为，所以的方程为，
所以直线过定点．
61．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线上两个动点，且满足．
(1)当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积；
(2)探究x轴上是否存在点P使得？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)16；
(2)存在，.
【分析】（1）根据给定条件，求出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，再结合对称性求解作答.
（2）设出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，再求出点B的坐标，设出点P的坐标，借助斜率求解作答.
【详解】（1）因AB垂直x轴，由抛物线对称性知，点A，B关于x轴对称，不妨令点A在第一象限，
而，则直线方程为：，由得点，从而得，，
所以的面积为.
（2）设直线方程为：，由得，直线方程为：，
由得点，同理可得点，
假定在x轴上存在点P使得，设点，
则直线斜率，直线斜率，
由得，则有，即，
整理得，显然当时，对任意不为0的实数k，恒成立，
即当时，恒成立，恒成立，
所以在x轴上存在点P使得成立，点.
62．（2022·江西·校联考模拟预测）已知抛物线，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10．
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；P（－2，1）
【分析】（1）根据当l垂直于y轴时， OAB的面积为10，由y=5与抛物线方程联立求解；
（2）设l的方程为，与抛物线方程联立，根据P在以AB为直径的圆上，由求解.
(1)
解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10，
联立，得．
所以 OAB的面积为，
解得，
所以C的方程为．
(2)
由题知l的斜率存在，设l的方程为，，，
假设存在点P（，），使得，
联立，得，
则，
．
又，
所以，
，
又且，所以，
所以，
则，即，
所以当时，无论k取何值等式都成立，
将代入得，
所以存在定点P（－2，1）符合题意．
63．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解.
（1）
在曲线上，则，则，
而，故抛物线C的方程为.
（2）
易知直线的斜率不为0，故设
联立：，
故.
，因为，
则
则或（舍），故.
因为都在轴上，要使得，
则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，而相异，故，同理
故与的斜率互为相反数，即
为定值.
故当时，有恒成立.
定直线问题
64．（2022·高二课时练习）已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可；
（2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明.
（1）
联立得，
因为在C上，则，
所以，因此直线与C相切．
（2）
由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，
联立得，
因为，，所以．
又因为，所以，
解得，所以．
故点P在定直线上．
65．（2022·高二课时练习）已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；
（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.
【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
66．（2022·四川宜宾·统考三模）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设到的距离为，由题意可得：，可解得，即可求出抛物线的方程.
（2）设，，由，表示出点的坐标，代入抛物线的方程结合题意可得，同理可得：，又因为，是关于的方程的两根，则， 即可证明.
（1）
：的准线：
设到的距离为，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程为
（2）
设，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴，，∴
同理
∴，是关于的方程的两根，
∴，∴
∴的中点在直线上．
67．（2022·江西赣州·赣州市第三中学校考模拟预测）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
【答案】(1)4；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.
（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.
（1）
抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得，，设点，，则，，
矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，
所以．
（2）
由（1）得，，，，
于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，
由消去y并整理得：，而，
因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.
所以线MN与直线CD交点在定直线上.
68．（2022·高二课时练习）已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；
（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.
【详解】（1）圆经过点与直线相切，
则圆心满足到点与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，
其中，所以圆心的轨迹方程为.
（2）设，，
由三点共线，则，整理得，
过点与直线垂直的直线为，
同理过点与直线垂直的直线为，
两条垂线联立方程组 ，解得，
所以垂心在直线.
考点八 抛物线的实际应用
69．（2022秋·天津宝坻·高二校考期末）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.
【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，
故选：B.
70．（2022秋·四川·高二四川省科学城第一中学校考期中）抛物线型拱桥的顶点距离水面9米时，测量水面宽为6米.
(1)当水面上升1米后，水面的宽度是多少米?
(2)一小船宽4米，高3米，载货后船露出水面的部分高0.5米.问水面上涨到与抛物线拱顶距多少米时，小船开始不能通行?
【答案】(1)米；
(2)4.5米.
【分析】（1）建立直角坐标系设抛物线的方程是，根据在抛物线上，可得方程结合条件进而即得；
（2）根据方程结合条件即得.
【详解】（1）以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系，
设抛物线的方程是，
由题意知在抛物线上，
故，
所以，
则抛物线的方程是，
当水面上升1米后，令，则 ，
所以此时水面宽度米；
（2）设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于时，木船开始不能通航，
设，所以，即，
即水面与拱顶相距为 (米)，
故当水面上涨到与抛物线的拱顶相距4.5米时，木船开始不能通行.
71．（2022·高二课时练习）某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图所示（单位：m），某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
【答案】不能安全通过隧道，理由见解析
【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，当车走中间时，代入抛物线求纵坐标，与车货总高比较即可.
【详解】以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则点A的坐标为．
设抛物线的标准方程为（）．
将点A的坐标代入上式，得，即．
所以抛物线的标准方程为．
将代入抛物线的标准方程，得，则．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
72．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校联考期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
【答案】(1)
(2)cm
【分析】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程，
（2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案
(1)
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，
因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点，
所以，得，所以抛物线方程为；
(2)
若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为，
则可得，得，所以此时该磨具的口径长．
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
3、抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
4、求抛物线实际应用的五个步骤
5、焦点弦问题相关结论
已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
注：当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
6、求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
考点一 求抛物线的标准方程
1．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得，求出，从而可求出抛物线的方程.
【详解】因为抛物线：的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线方程为，
故选：D
2．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆可得，
所以左焦点坐标为，
所以以为焦点的抛物线的标准方程为，
故选：C.
3．（2022秋·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的性质，求出，然后求得抛物线方程即可.
【详解】解：焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，
又准线与焦点轴间的距离为3，可得，所以抛物线的标准方程为.
故选：A.
4．（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】直线与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出，可得答案.
【详解】直线与坐标轴的交点为，
当抛物线的焦点为时，其标准方程为；
当抛物线的焦点为时，其标准方程为.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的方程可求得其焦点坐标，从而可设抛物线的方程，利用焦点和双曲线焦点相同，求得参数值，即得答案.
【详解】由已知可知双曲线的焦点为,
故设抛物线方程为 ，则 ，
故 ，所以抛物线方程为,
故选:D.
考点二 抛物线定义的应用
（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标
6．（2022秋·江苏南通·高三江苏省包场高级中学校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（ ）
A．7B．5C．3D．1
【答案】B
【分析】根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），
设准线与纵轴的交点为，
由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.
故选：B.
7．（2022·高二单元测试）在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据条件列出方程组即可求解
【详解】抛物线的顶点为，焦点为，
设符合题意，则有
，
即，解得，
所以符合条件的点为，
故选：D
8．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】设，分别表示出，，再分类讨论即可求解.
【详解】由抛物线的解析式，可知，准线，设，
由抛物线的定义可知，
又，.
当时，即，解得，此时点与点重合，不符合题意；
当时，即，解得或（舍），此时点A的横坐标为；
当时，即，解得，此时点A的横坐标为.
只有选项C符合题意.
故选：C
（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
9．（2022秋·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆:,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点向作垂线垂足为,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,
.
故选:B
11．（2022秋·北京延庆·高二统考期末）已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可.
【详解】
如图，为点在准线上的投影，
根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为.
故选：B.
12．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值．
【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.
过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为
抛物线的焦点
过作于，和抛物线的交点就是，
∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）
点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，
最小值．
故选：C．
13．（2022秋·内蒙古包头·高二包头一中校考期中）已知P是抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为H，设圆上任意一点Q，则的最小值是（ ）
A．B．5C．6D．4
【答案】B
【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
根据抛物线的定义可知，
圆的圆心为，半径，
，
所以,
所以当三点共线时，取得最小值.
故选：B
14．（2022秋·山东临沂·高二校考期末）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.
【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，
由消去y并整理得：，设，，则，
弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，
令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，
即有，，
当且仅当点与P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
15．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.
【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
16．（2022秋·广东江门·高二校考期中）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，的值为4
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
【答案】B
【分析】由焦半径求出的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD.
【详解】当时，，故，故A正确；
当时，，由可得，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，
则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，
此点即为取最大值的点，此时，
其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，
故的最大值为，故D正确.
故选：B.
考点三 抛物线的轨迹问题
17．（2022·高二课时练习）若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
18．（2022·高二课时练习）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
【答案】A
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.
【详解】解：
设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
19．（2022·全国·高二期末）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
20．（2022·高二课时练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
【答案】C
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
21．（2022春·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
22．（2022·全国·高三专题练习）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可转化等于A,B到准线距离的和，再由圆与准线相切及O是AB的中点，可得，再结合椭圆的定义即可得解.
【详解】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故选：A
考点四 直线与抛物线的位置关系
23．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.
【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，
符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，
故选：D
24．（2022秋·江西抚州·高二校联考期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由题意求得抛物线方程，再联立直线与抛物线方程判断交点个数，
【详解】设，由对称性，可知，故，代入中，解得，
故抛物线：，
易知直线：，直线：与抛物线仅有1个交点；
联立得，则，故直线与抛物线仅有1个交点，
故选：D
25．（2022·高二课时练习）直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
26．（2022秋·安徽宿州·高二校联考期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
27．（2022春·北京·高二北京二中校考期末）双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将双曲线渐近线方程代入抛物线方程，由可求得，根据可求得结果.
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，
将代入抛物线方程得：，，解得：，
双曲线的离心率.
故选：A.
考点五 直线与抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题
弦长问题
28．（2022秋·福建三明·高二校联考期中）过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解.
【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.
直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: .
将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.
设，则有，.
所以弦长.
故选：A
29．（2022·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（ ）
A．5B．C．10D．15
【答案】C
【分析】过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，结合抛物线的定义得，由可得答案．
【详解】如图，过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，
因为，所以，
根据已知条件，结合抛物线的定义，得，又，∴，∴．
故选：C．
30．（2022·全国·校联考模拟预测）入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可
【详解】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故
故选：B
31．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）斜率为直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则三角形（为坐标原点）的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出两点坐标，进而求出的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积．
【详解】抛物线的焦点坐标为，则斜率为的直线方程为：.
与抛物线方程联立，消去得： .
设，不妨设，
则，
点到直线的距离为，
所以的面积为
故选：D
32．（2022秋·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义可求坐标，进而由三角形面积公式即可求解.
【详解】抛物线焦点为，准线方程为，
，，，
代入抛物线方程可得，不妨设点在x轴上方，即，
又，
所以，即，同理可得
所以点的纵坐标为
故选：C．
33．（2022·高二课时练习）已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【详解】由得焦点坐标为，
设直线方程为，
与抛物线方程联立，消去y得，
设，则，
因为，
所以，即，
即，解得，
所以直线方程为：，
故选：A
34．（2022春·河南许昌·高二统考期末）已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入可得交点坐标，结合弦长为可得，进而得到抛物线的焦点坐标即可
【详解】当时，，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为
故选：A
焦点弦问题
35．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由得到，当直线的斜率为0时不合要求，当直线的斜率不为0时，设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而列出方程，得到，求出直线的斜率.
【详解】由题意得：，
因为，则，
设，则，
当直线的斜率为0时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不合要求，
当直线的斜率不为0时，设，
则联立与抛物线方程，得，
则，
因为，故，
所以，解得：，
故直线l的斜率为.
故选：C．
36．（2022秋·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，满足，，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由抛物线方程可知，焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题，，抛物线焦点为，准线为，
设准线与轴交点为，如图所示，
由题知，由定义可知，
因为，所以是正三角形，
则对，因为，所以，
所以，
故选：C
37．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.
【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图，
.
又因为，所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以点为的中点，
所以，故，
由抛物线的定义可得，，所以，即.
故选：B.
38．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.
【详解】
根据题意作出函数图像，过点N作准线l的垂线，
由抛物线的定义知，
又，所以，所以，
又与轴平行，所以
由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形，
所以，
故选: A.
39．（2022秋·四川广安·高二广安二中校考期中）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．
【详解】抛物线，可知，
设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，
过焦点的弦，，
∴，
故选：D．
40．（2022秋·河南南阳·高二统考期中）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与拋物线交于，两点，又直线与圆交于两点.若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．
【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，
由得，设，则，
又，，∴，
∴，
圆，圆心为，半径为，
∴，
∵，∴，解得，∵，∴．
故选：C．
41．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故选：C
中点弦问题
42．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
【答案】B
【分析】根据点差法求解即可.
【详解】设，，则.
所以，
所以.
故选：B
43．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.
【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，即直线的斜率，
所以直线方程为，即
故选：B
44．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
45．（2022·山西吕梁·统考二模）已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求．
【详解】焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，
∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，
故，∴，
∴．
故选：D．
考点六 抛物线中的参数范围及最值问题
46．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．15
【答案】C
【分析】利用韦达定理和抛物线的定义表示出，利用基本不等式求解.
【详解】设直线，，，
联立，整理得，
则，故.
因为，，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故选:C.
47．（2022·高二课时练习）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值.
48．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】圆心是抛物线的焦点，设，因此，这样有，变形后利用基本不等式得最小值．
【详解】易知即为抛物线的焦点，即，设，∴
∴
当时，上式，取等条件：，
即时，取得最小值
故选：A．
49．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考期中）已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
点为抛物线上的动点，所以设，先求出，
所以的最小值为
【详解】圆可化为，
所以点.又因为点为线段的中点，且，
所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
因为点为抛物线上的动点，所以设，
则，
所以当时，，
所以的最小值为.
故选：C.
50．（2022·河南·统考一模）已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.
【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，
则在直角中，，
所以，
由抛物线的定义得：，
则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，
所以.
故选：D.
51．（2022·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理，再根据为锐角得到恒成立，转化为坐标运算，即可得到的范围.
【详解】由题意知，设直线的方程为，由，
得．设，，
则，，所以，．
因为为锐角，所以恒成立，即，
整理得，所以，
而，所以对于任意恒成立，所以．
由，解得，所以的取值范围为．
故选:A．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可
【详解】，
设点，则
即 有非负实根
解得
故选：A
考点七 抛物线的定值、定点、定直线问题
定值问题
53．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设抛物线方程为（），根据焦半径公式列式求出即可得解；
（2）直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，得到和，再根据可得结果.
【详解】（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为（），
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，∴，
∴抛物线方程为.
（2）显然直线的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线的方程为：，
由，化简并整理得，恒成立，
设，，则，则，
∴.
所以为定值.
54．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解；
（2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论.
【详解】（1）解：点在抛物线上，且，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）证明依题意，设直线，
联立，得，
则，
故为定值．
55．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义可求得，即可得抛物线方程；
（2）根据直线与抛物线的位置，分别求解线段，即可验证.
【详解】（1）解：点在抛物线上，由抛物线的定义得故，所以．
（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为，设．
由，得，
∴．
∴，
∴．
∴的方程为．
令，解得，
∴，∴，为定值．
56．（2022秋·江苏扬州·高二仪征中学校考期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在时，为定值
【分析】（1）求出，结合短轴长求出，从而求出，写出椭圆方程；
（2）先考虑直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，直线斜率不为0时，设出，与抛物线联立，根据焦点弦公式求出，再把直线与椭圆联立，由弦长公式得到，从而得到，列出方程，求出的值及定值.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，故，
且，解得：，
从而，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，
设，故，
则，
故，
联立与，可得：，
设，
则，
则，
所以，
令，解得：，
此时为定值.
定点问题
57．（2022秋·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线：上一点到焦点的距离为，
(1)求抛物线的方程；
(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义和已知条件可求出的值，即可求得抛物线的方程；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得，，再由整理，由此得到，直线的方程为，从而求得定点．
【详解】（1）由抛物线方程可得，准线方程为，
因为抛物线：上一点到焦点的距离为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为：；
（2）抛物线的方程为，在抛物线上，所以，
因为在第一象限，故，所以，
依题意，直线的斜率存在若不存在，则与抛物线只有一个交点，
设直线的方程为，，，
联立，消去，得，
则，，，
因为直线，的斜率之积为1，即，
故，
整理得，
所以，得，
故直线的方程为，
所以直线过定点．
58．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足.
(1)求动点M的轨迹C；
(2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）利用相关点代入法，设，由已知向量关系可得，代入原方程即可得解；
（2）设方程为：，代入抛物线方程可得，在的情况下，可得，由，代入求得和的关系即可得解.
【详解】（1）设，则，
由，得，代入得，
所以动点的轨迹.
（2）易得的斜率存在，设，
，
由联立可得：，
①，
②
将①代入②得：，
所以，
所以直线恒过定点.
59．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点．
(1)当时，求直线的方程；
(2)过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)或
(2)直线经过定点
【分析】（1）根据抛物线焦半径公式和抛物线方程可求得点坐标，由此可求得直线方程；
（2）设，可得和直线方程，将直线方程与抛物线方程联立可得；当时，可求得直线方程为：，由此可确定定点；当时，直线，恒过；综合两种情况可得结论.
【详解】（1）由抛物线方程知：，准线；
设，则，解得：，
，解得：，则或，
或，
直线的方程为：或，即或.
（2）设，即，则，直线，
由得：，解得：或，；
当时，，
直线方程为：，整理可得：，
直线恒过点；
当时，直线方程为，恒过点；
综上所述：直线经过定点.
60．（2022春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知圆过点，且与直线相切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)为轨迹上的动点，为直线上的动点，求的最小值；
(3)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为．问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)过定点.
【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可；
（3）根据直线斜率公式，结合直线方程进行求解即可.
【详解】（1）由题意得点到直线的距离等于到点的距离，
所以点是以为焦点，以为准线的抛物线，
焦点到准线的距离，所以点的轨迹方程为；
（2）设，到直线的距离
，所以的最小值为；
（3）设，，
则直线的方程为，
因为过点，所以，所以．
因为与关于轴对称，故，
同理，直线的方程为，
因为，所以的方程为，
所以直线过定点．
61．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线上两个动点，且满足．
(1)当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积；
(2)探究x轴上是否存在点P使得？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)16；
(2)存在，.
【分析】（1）根据给定条件，求出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，再结合对称性求解作答.
（2）设出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，再求出点B的坐标，设出点P的坐标，借助斜率求解作答.
【详解】（1）因AB垂直x轴，由抛物线对称性知，点A，B关于x轴对称，不妨令点A在第一象限，
而，则直线方程为：，由得点，从而得，，
所以的面积为.
（2）设直线方程为：，由得，直线方程为：，
由得点，同理可得点，
假定在x轴上存在点P使得，设点，
则直线斜率，直线斜率，
由得，则有，即，
整理得，显然当时，对任意不为0的实数k，恒成立，
即当时，恒成立，恒成立，
所以在x轴上存在点P使得成立，点.
62．（2022·江西·校联考模拟预测）已知抛物线，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10．
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；P（－2，1）
【分析】（1）根据当l垂直于y轴时， OAB的面积为10，由y=5与抛物线方程联立求解；
（2）设l的方程为，与抛物线方程联立，根据P在以AB为直径的圆上，由求解.
(1)
解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10，
联立，得．
所以 OAB的面积为，
解得，
所以C的方程为．
(2)
由题知l的斜率存在，设l的方程为，，，
假设存在点P（，），使得，
联立，得，
则，
．
又，
所以，
，
又且，所以，
所以，
则，即，
所以当时，无论k取何值等式都成立，
将代入得，
所以存在定点P（－2，1）符合题意．
63．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解.
（1）
在曲线上，则，则，
而，故抛物线C的方程为.
（2）
易知直线的斜率不为0，故设
联立：，
故.
，因为，
则
则或（舍），故.
因为都在轴上，要使得，
则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，而相异，故，同理
故与的斜率互为相反数，即
为定值.
故当时，有恒成立.
定直线问题
64．（2022·高二课时练习）已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可；
（2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明.
（1）
联立得，
因为在C上，则，
所以，因此直线与C相切．
（2）
由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，
联立得，
因为，，所以．
又因为，所以，
解得，所以．
故点P在定直线上．
65．（2022·高二课时练习）已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；
（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.
【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
66．（2022·四川宜宾·统考三模）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设到的距离为，由题意可得：，可解得，即可求出抛物线的方程.
（2）设，，由，表示出点的坐标，代入抛物线的方程结合题意可得，同理可得：，又因为，是关于的方程的两根，则， 即可证明.
（1）
：的准线：
设到的距离为，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程为
（2）
设，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴，，∴
同理
∴，是关于的方程的两根，
∴，∴
∴的中点在直线上．
67．（2022·江西赣州·赣州市第三中学校考模拟预测）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
【答案】(1)4；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.
（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.
（1）
抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得，，设点，，则，，
矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，
所以．
（2）
由（1）得，，，，
于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，
由消去y并整理得：，而，
因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.
所以线MN与直线CD交点在定直线上.
68．（2022·高二课时练习）已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；
（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.
【详解】（1）圆经过点与直线相切，
则圆心满足到点与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，
其中，所以圆心的轨迹方程为.
（2）设，，
由三点共线，则，整理得，
过点与直线垂直的直线为，
同理过点与直线垂直的直线为，
两条垂线联立方程组 ，解得，
所以垂心在直线.
考点八 抛物线的实际应用
69．（2022秋·天津宝坻·高二校考期末）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.
【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，
故选：B.
70．（2022秋·四川·高二四川省科学城第一中学校考期中）抛物线型拱桥的顶点距离水面9米时，测量水面宽为6米.
(1)当水面上升1米后，水面的宽度是多少米?
(2)一小船宽4米，高3米，载货后船露出水面的部分高0.5米.问水面上涨到与抛物线拱顶距多少米时，小船开始不能通行?
【答案】(1)米；
(2)4.5米.
【分析】（1）建立直角坐标系设抛物线的方程是，根据在抛物线上，可得方程结合条件进而即得；
（2）根据方程结合条件即得.
【详解】（1）以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系，
设抛物线的方程是，
由题意知在抛物线上，
故，
所以，
则抛物线的方程是，
当水面上升1米后，令，则 ，
所以此时水面宽度米；
（2）设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于时，木船开始不能通航，
设，所以，即，
即水面与拱顶相距为 (米)，
故当水面上涨到与抛物线的拱顶相距4.5米时，木船开始不能通行.
71．（2022·高二课时练习）某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图所示（单位：m），某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
【答案】不能安全通过隧道，理由见解析
【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，当车走中间时，代入抛物线求纵坐标，与车货总高比较即可.
【详解】以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则点A的坐标为．
设抛物线的标准方程为（）．
将点A的坐标代入上式，得，即．
所以抛物线的标准方程为．
将代入抛物线的标准方程，得，则．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
72．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校联考期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
【答案】(1)
(2)cm
【分析】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程，
（2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案
(1)
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，
因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点，
所以，得，所以抛物线方程为；
(2)
若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为，
则可得，得，所以此时该磨具的口径长．
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
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