【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题02+圆的方程11种常见考法归类-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、求圆的方程
考点二、点和圆的位置关系
考点三、直线和圆的位置关系
考点四、圆的弦长问题
考点五、圆的切线问题
考点六、判断圆与圆的位置关系
考点七、由圆的位置关系确定参数范围
考点八、圆的公共弦
考点九、圆的公切线
考点十、圆的轨迹问题
考点十一、与圆有关的最值问题
知识点1 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点2 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点3 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知识点4 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点5 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点6 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点7 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
知识点8 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点9圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
知识点10 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点11 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线与圆交点的圆系方程为

4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
1、求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
2、待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
3、判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d4、圆的一般方程辨析
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
5、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
6、利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
7、求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
用代入法求轨迹方程的一般方法

8、判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
9、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
10、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
11、求切线长(最值)的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
12、求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＝r2求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
13、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
14、判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
15、公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
注：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程
考点剖析
考点一、求圆的方程
1.设，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知圆心为，半径为，再求方程即可.
【详解】解：由题知线段中点为，，
所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为
故选：B
2.若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】是直角三角形,故线段的中点即为外接圆的圆心，利用中点坐标公式求解.
【详解】由题得是直角三角形，且 .
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：A
3.已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法设圆C的方程为，将点的坐标代入方程列出方程组，解出即可得结果.
【详解】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为，
由点和点在圆C上，
可得①，②，
由①②可得，
故圆C的标准方程为.
故选：A.
4.若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】或.
故选：C.
5.已知圆经过点，两点，且圆心在直线：上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，求四边形的面积.
【解析】
(1)
设圆心坐标为，由
则
解得，故， 半径，
∴圆的标准方程为.
(2)
由过点且倾斜角为，可得的斜率
则的方程为：
经过点，两点的直线斜率为，
则直线AB的方程为，则
又圆心在直线上，所以为圆的直径
则，又
则四边形为梯形，
梯形的高即为与之间的距离
故
考点二、点和圆的位置关系
6.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由题意可得，解得.
故选：A.
7.已知四点共圆，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由三点求出圆的方程，再把代入方程即可求解
【详解】设过四点的圆的方程为，
将代入可得：
，解得，
所以圆的方程为，
将代入圆的方程得，
解得，
故选：D
8.过点总可以向圆作两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】过圆外的点总可以作两条切线，代入点得，求解即可.
【详解】过圆外的点总可以作两条切线，故或.
故选：C
9.已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________．
【解析】当点和都在圆的内部时，，解得或
直线的方程为，即
圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：
考点三、直线和圆的位置关系
10.圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法 与 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
11.直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，
因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，
于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.
故选：C
12.已知圆与直线相切，则（ ）
A．B．-1
C．或D．-1或3
【答案】D
【分析】圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径
【详解】由已知得，，由与直线相切得，解得或3.
故选：D
13.若“直线与圆相交”，“”，则是的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】直线与圆相交，可得1，解得，
且，
∴“直线与圆相交”是“”的充分而不必要条件.
故选：B.
14.已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
15.设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆上三个点到直线的距离等于1,可得圆心到直线的距离为2-1=1,利用点到直线的距离公式解出即可.
【详解】解:由题知圆的方程为,
所以圆心为,半径为,
因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1,
所以只需要圆心到直线的距离为即可,
直线方程为:,
所以圆心到直线的距离为:,
解得,
故当时,
圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
故选:D
考点四、圆的弦长问题
16.已知直线与圆相交于两点，则=__________．
【解析】根据圆的方程：，圆心坐标，半径，
∴圆心到直线距离，
所以，
故答案为：.
17.圆被直线所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆化为标准方程，得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，利用几何法求出圆的弦长即可.
【详解】圆标准方程是，圆心坐标为，圆半径为2，
圆心到直线的距离是，
所以弦长为．
故选：C.
18.已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到答案.
【详解】圆的标准方程为：，
由题意圆心到直线l的距离
（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，
综上，直线 l的方程为或．
故选：B．
19.已知直线关于直线对称的直线被圆截得的弦长为，则实数的值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【分析】根据对称关系求出直线的方程，再根据弦长公式即可求解.
【详解】因为直线与直线的交点为,所以直线经过点,
取直线上一点关于对称的点为在直线上,
所以,所以的直线方程为,
圆心到直线的距离为,
圆的半径,所以,
解得,
故选:B.
20.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
考点五、圆的切线问题
21.过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】设切线为，即，由与圆相切，得，即可解决.
【详解】由题知，圆，圆心为，半径为1，
因为在圆外，
所以设切线为，即，
因为与圆相切，
所以，解得或，
所以切线的方程为，或，
故选：C
22.一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】A
【分析】求出点关于x轴的对称点为，则反射光线经过，当反射光线所在直线与轴垂直时，不与圆相切，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，反射光线所在直线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案.
【详解】点关于x轴的对称点为，所以反射光线经过，
当反射光线所在直线与轴垂直时，即，
圆到直线的距离为，
因为，所以直线与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，
则反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与圆相切，所以，解得或，
所以反射光线所在直线的方程为，或，
整理得或.
故选：A.
23.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_______________．
【答案】
【分析】先求出为圆心，为半径的圆的方程，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.
【详解】圆，所以圆心为，半径，
,
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为: .
24.过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
【解析】(1)圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直线的方程为；
(2)
圆心 到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ，
而 ,
故面积的最大值为 .
25.若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．(1，＋∞)D．(1，3]
【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故选：A.
考点六、判断圆与圆的位置关系
26.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
【答案】B
【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解.
【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
，圆与圆的位置关系为外切，
故选：B
27.已知圆（a，b为常数）与．若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（ ）
A．内含B．相交C．相切D．外离
【答案】B
【分析】根据条件求出 的圆心 ，再根据 圆心的距离即可判断.
【详解】依题意，所以，又，，，，
，所以两个圆相交；
故选：B.
28.已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【解析】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
考点七、由圆的位置关系确定参数范围
29.已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（ ）．
A．7B．3C．3或7D．5
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可得得实数得值.
【详解】解：圆的圆心为，半径为
圆的圆心，半径为
所以，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切，
所以或，所以或或（舍）.
故选：C．
30.圆与圆外切，则实数_________．
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则
根据题意可得：，即，∴
故答案为：9．
31.圆与圆内切，则实数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】由圆内切得即可解决.
【详解】由题知，
所以，
因为圆与圆内切，
所以，即，
因为，
所以，
故选：C.
考点八、圆的公共弦
32.圆与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式求出答案即可.
【详解】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选：A.
33.圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式.
【详解】变形为，圆心为，
变形为，圆心为，
公共弦AB的垂直平分线即为直线，
即，整理得.
故选：D
34.已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆和的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点，进而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值.
【详解】由圆 ， 圆​:，
得圆 ​与圆​的公共弦所在直线方程为:，
由， 解得， 即，
又​在直线上，
， 即，
所以，当且仅当时等号成立，
的最大值为​.
故选: D.
考点九、圆的公切线
35.已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1或3B．4C．0D．2
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，求出圆心距，由半径之和小于圆心距知两圆相离，即可判断公切线的条数.
【详解】因为圆C1：，圆C2：，
所以圆心距，
而两圆半径之和，故两个圆相离，
则这两个圆的公切线有4条.
故选：B
36.若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数（ ）
A．-1B．1C．±1D．0
【答案】D
【分析】利用配方法，结合两圆公切线的性质进行求解即可.
【详解】将化为标准方程得，即圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1.因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以，即，解得.
故选：D
37.若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
【解析】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
考点十、圆的轨迹问题
38.已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由切线长定理可知，点到圆的圆心距离为定值，计算即可.
【详解】因为圆，所以圆心，半径，由勾股定理得，所以，所以的轨迹为以为圆心为半径的圆，所以的轨迹方程是.
故选：A
39.圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______．
【解析】依题意得，，因为M为AB中点，所以，
所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，，
所以点M的轨迹方程为，圆心，
设关于直线的对称点为，
则有，解得，所以，
所以由对称性可知的最小值为．
故答案为：，
40.已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合条件即得；
（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.
【详解】（1）设，因为点，，动点满足，
所以，
整理得，即，
所以曲线方程为；
（2）由，可知曲线为圆心为，半径为4的圆，
所以直线 与圆相切，
当直线的斜率不存在时，直线，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
41.已知圆.
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．
【答案】(1)或；
(2)存在，点P的个数为2,理由见解析
【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，
（2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，
【详解】（1）由题意圆C：，圆心，半径，
1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；
2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即，
则圆心C到直线l的距离，解得，
所以直线l的方程为即
综上，直线l的方程为或；
（2）假设圆C上存在点P，设，则C：，
又，
即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.
因为，
所以圆C：与圆相交，
所以点P的个数为2
考点十一、与圆有关的最值问题
42.已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值.
【详解】将代入，得，
所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径，
所以，
则的最大值为：，
故选：D.
43.实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，则与圆由交点,再根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．
【详解】设，则与圆有交点，
圆心到直线的距离，
解得．
故选:C．
44.已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1B．C．+1D．6
【解析】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.
故选：A
45.已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，
所以圆心到直线的距离，
则，
又点P到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值．
故选：A.
.
46.若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图上易知，当不动时，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求.
【详解】
如图，为两切线，为直线上一个点，
所以当为两切线是取等号；
又，故只需求，
,又，
故选：B
47.设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___．
【解析】由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号．
故答案为：．
考点十二、圆的定点、定值问题
48.已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点N为
【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可；
（2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解.
【详解】（1）设，因为P是圆C上动点，所以，
因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，
设，因为E是中点，所以，即，
所以，即，
所以点E的轨迹方程为.
（2）当直线轴时，x轴平分.
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，．
若x轴平分，则，
∴，∴，
∴，
∴，
所以当点N为时，能使得x轴平分总成立
49.已知直线与圆交于两点．
(1)当最大时，求直线的方程；
(2)若，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当最大时，直线过圆心，代入圆心坐标可求直线的方程；
（2）直线与圆联立方程组，利用韦达定理证明为定值．
【详解】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心，
把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为.
（2）证明：设，，由题意知k存在，
由，得
所以 ， ，且，
因为 ，
，，
所以 ，即为定值.
50.已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
(1)求曲线的方程；
(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.
【详解】（1）设，，
由中点坐标公式得．
因为点M的轨迹方程是，
所以，
整理得曲线C的方程为．
（2）设直线l的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以
，
所以，且即，
即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
过关检测
、一、单选题
1．、过点，半径最小的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】半径最小的圆即以为直径的圆.
【详解】过点，半径最小的圆,即以为直径，
则圆心为中点，半径为，
则圆方程为：.
故选：A
2．已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设的中点，则，代入圆的方程化简可得答案.
【详解】设的中点，则，
因为点为圆上的动点，所以，
即.
故选：D.
3．已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】将问题转化为直线与圆有交点，从而列式即可得解.
【详解】依题意，设，整理得，
因为点在圆上运动，
所以直线与圆有交点，
又圆心为，半径为，所以，解得，
经检验，满足题意，
所以的最大值为.
故选：C.
4．若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设圆心，根据其与轴相切得到，再根据点到直线的距离等于半径得到关于的方程，解出即可.
【详解】设圆心，圆：，
依题意有，圆心到直线的距离为
解得或（舍去）.
所以圆的标准方程：.
故选：A.
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】B
【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
所以，则，故两圆相交.
故选：B.
6．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解.
【详解】的圆心为，半径为，
由题意得，故在圆外，
所以的最大值为．
故选：D
7．已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】D
【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解.
【详解】因为可化为
则，半径，
因为可化为，
则，半径，
则，因为，
所以两圆相交.
故选：D.
8．已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆的圆心，设出关于直线的对称点为，由两点构成直线的斜率与直线垂直以及两点的中点在直线上，列方程组即可求解，由此可得解.
【详解】设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称圆的圆心为，
所以对称圆的方程为即.
故选：A.
9．已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由两圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，然后即可求解.
【详解】由题意知圆：，圆：，
将两圆方程式相减得两圆公共弦所在直线方程为，
变形得，由得，
即公共弦所在直线过定点，故D项正确.
故选：D.
10．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值.
【详解】圆，圆心，半径为，
则圆心关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当三点共线时取得最小值，
结合图像可知.
故选：C
11．M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
如图，由弦长公式知，，解得，
所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知，的最小值为.
故选：B
12．已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值.
【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离，
所以，
要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为，
所以面积的最大值是.
故选：A
13．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【分析】求出与点关于轴的对称点，分析可知，反射光线经过点，且与圆相切，分析可知，反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在直线的方程为：，根据直线与圆的位置关系可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为，
则反射光线经过点，且与圆相切，
若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，反射光线所在直线的斜率存在，
设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为：，
即，
圆的圆心为，半径，
则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即，
解得：或，
故选：A.
二、多选题
14．圆与圆的公切线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径，
由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0，
因为，所以圆与圆的位置关系为相交．
由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2．
设公切线的方程为，即，由，得，
所以公切线的方程为或．
故选：CD
15．点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
【答案】BC
【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A错误.设 ，则转化为直线与圆有交点，可算得既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.对于选项C和D，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.
【详解】圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC.
16．已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆的公共弦所在的直线方程为
B．圆上有2个点到直线的距离为
C．两圆有两条公切线
D．点在圆上，点在圆上，的最大值为
【答案】BCD
【分析】先判断两圆的位置关系，得出公切线条数，由此判断C；两圆作差得公共线直线方程，由此判断A；求出圆心到直线的距离，从而得到，进而判断B；的最大值为加上两圆半径，由此判断D.
【详解】对于C，因为圆，所以圆心，半径为，
因为圆，可化为，
所以圆心，半径为，
则，所以两圆相交，
则两圆有两条公切线，故C正确；
对于A，两圆作差得，即，
所以公共弦所在的直线方程为，故A错误；
对于B，圆心到直线的距离为，
则，
所以圆上有2个点到直线的距离为，故B正确；
对于D，，故D正确．
故选：BCD．
17．已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是6
C．直线l与圆C一定相交
D．点P到直线l的距离的最大值是
【答案】BC
【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可．
【详解】直线l：，即
由，解得，则直线l过定点，故A错误；
圆C：，即，
则圆C的圆心坐标为，半径为6，故B正确；
因为点与的距离为，
则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确；
点P到直线l的距离的最大值是，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
18．已知圆与圆内切，则 .
【答案】
【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得.
【详解】由圆知圆心为半径为由圆知圆心为,半径为
因两圆内切，故，即，解得：
故答案为：
19．已知圆与圆有3条公切线，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据两圆外切求解可得.
【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2；
圆，圆心为，半径为1．
因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，
故圆心距，解得．
故答案为：
20．当直线被圆截得的弦长最短时，实数 ．
【答案】
【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆截得的弦长最短时有，则，解出方程即可.
【详解】将直线，化为，
令，解得，所以直线过定点，
又圆的标准方程为，则圆心为，
由，则点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，
则，解得．
故答案为：．
21．若两圆和有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出两圆的圆心及半径，利用两圆不相离列出不等式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
依题意，两圆不相离，则，即，解得或
所以的取值范围是.
故答案为：
22．已知实数，满足方程，则的最大值为 ；的最大值为 ．
【答案】
【分析】空一中可看成圆上的任意一点到原点距离的平方，从而求解；
空二中可转换为，只需圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，从而求解的最大值.
【详解】由题意得：将方程转化为标准方程：，故的轨迹是以为圆心、1为半径的圆；
的几何意义为到距离的平方；如上图可知：当点与重合时，到距离最大，此时，故；
因为：，故可设：，
所以圆与直线需有交点，
即圆心到直线的距离：，解得：，
所以：最大值为．
故答案为：，.
23．已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系表示出，然后根据三角形的面积公式列方程可求出m的值.
【详解】由得圆的圆心，半径，
因为直线恒过点，而点在圆内，
所以直线与圆相交，
圆心到直线的距离，
所以，
所以，解得，
故答案为：
四、解答题
24．已知圆：上，圆：．
(1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径；
(2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，
【分析】（1）先利用两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，进而利用弦长求得半径.
（2）设直线方程为，，，与圆联立方程可得，，，得，由已知可得，进而可得，求解即可.
【详解】（1）因为圆：，
圆：，
所以两圆方程相减得直线方程为，
又，
所以圆心到直线距离为，
两圆心距离为，
所以圆心到距离为，解得，.
（2）设直线方程为，，，
联立直线与圆消去得，
所以，，
，得，
，
，
因为被圆截得的弦为直径的圆过，
所以，，
所以，
即，解得，
所以存在斜率为的直线，
使以被圆截得的弦为直径的圆过点，
且直线方程为.
25．已知圆：，直线：.
(1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）分离参数，即可列方程组求解，
（2）根据圆的弦长公式，结合垂直关系满足的斜率关系即可求解.
【详解】（1）证明：直线：化为，
则，解得，
所以直线恒过定点，
圆心，又因，
所以点在圆内，
所以不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）当直线所过的定点为弦的中点，即时，
最短弦长为，
，所以，故直线方程为，
所以直线的方程为.
26．已知圆：，圆：．
(1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔
(2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解；
（2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性．
【详解】（1）圆：即，
当时，圆：，
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，
圆：的圆心，半径，
圆心到公共弦所在直线的距离，
则两圆的公共弦长为.
（2）不存在，理由如下：
圆：可化为，
则圆心，半径，
又圆：的圆心，半径，
假设存在实数a，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解，
故不存在实数a，使得圆和圆内含.
27．已知定点，点为圆上的动点.
(1)求的中点的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到点的轨迹方程；
（2）当直线的斜率不存在时，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用弦心距，半径，半弦长的关系，即可求解.
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，即，
的中点的轨迹方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入，可得，此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆的半径且，圆心到直线的距离，
，解得，
直线的方程为，即；
综上，直线的方程为或.
28．已知圆：
(1)若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程；
(2)从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值
【答案】(1)或或
(2)
【分析】（1）分切线过原点或切线的斜率为两种情况说明，利用点到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）先利用切线长公式及得到的关系，再代入消去求最值即可.
【详解】（1）圆的方程为：，圆心为，半径为，
当圆的切线在轴和轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为，
当切线过原点时，设切线方程为，
则，解得，
当切线斜率为时，设切线方程为，
则，解得或
故所求切线的方程为或或；
（2）由圆的切线长公式可得，
又，得，
整理得，即，
此时，
当且仅当，即时，的最小值.
29．已知圆.
(1)直线截圆的弦长为，求的值.
(2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.
【答案】(1)
(2)有，公共弦长为
【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案.
（2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案.
【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得；
（2），设，由得，
化简得：，即，
所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
圆心距，，两圆相交，
所以两圆有两个公共点，
由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为.标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆