2023-2024学年陕西省咸阳市秦都区九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市秦都区九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了领到试卷和答题卡后，请用0，2，则a的值可能是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、试场、监测号．
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4.答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．B．C．3D．6
2．下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．在一暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，其中只有6个红球，每次搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回搅匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，则a的值可能是（ ）
A．10B．20C．30D．40
4．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，若 ，，则 的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
5．已知，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．4B．C．D．
7．如图，在中，点E是的中点，与交于点 F，过点F 作．若，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
8．已知点和都在反比例函数的图象上，如果：，且那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．灯下的树影属于 投影 （填“中心”或“平行”）
10．四边形四边形，，若四边形的周长为3，则四边形的周长为 ．
11．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，要使菱形成为正方形，还需添加的一个条件是 ．

12．如图，的直角边在x轴上，，反比例函数的图象经过的中点D，若，则k的值为 ．
13．如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解方程：．
15．画出如图所示几何体的三视图．
16．已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围．
17．如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且．求证：四边形是矩形．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以原点O为位似中心，在第三象限画出，使得它与的相似比为（点 分别与点A、B、C对应）；
(2)在（1）的条件下，写出点、的坐标．
20．为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践”四组（依次记为A，B，C，D）．小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再从四组题目中随机抽取一组．
(1)小安抽到C组题目的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法求小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率．
21．临近春节，安全先行，为保障人们的人身财产安全，有效遏制燃放烟花爆竹所产生的噪声和空气污染以及消防安全隐患，小华要为小区的一个长6分米，宽4分米的长方形“安全、环保度佳节倡议书”四周外围添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与倡议书内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度．
22．如图，为了测量某河段的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使点A、B、C共线且直线AB与河岸b垂直，接着在过点C且与AB垂直的直线a上选择适当的点D，点A、D与河岸b上的点E在一条直线上．测得，，，请根据这些数据，计算河宽AB．
23．某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．
(1)根据函数图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为 ；下降阶段的函数表达式为 ；（并写出x的取值范围）
(2)求血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？
24．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点和点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)连接，求的面积．
26．【问题背景】
如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证：；
（2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．
【详解】解：将代入，
得：，
解得，
故选D．
2．D
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从上面看到的图形．
【详解】解：A．俯视图是圆，故A不符合题意；
B．俯视图是长方形，故B不符合题意；
C．俯视图是长方形，故C不符合题意；
D．俯视图是三角形，故D符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
经检验，是原方程的根，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
.
故选：B.
5．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象判定a、b的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：A、反比例函数中，一次函数中，与已知相矛盾，选项错误；
B、反比例函数中，一次函数中，与已知相矛盾，选项错误；
C、反比例函数中，一次函数中，与已知相矛盾，选项错误；；
D、反比例函数中，一次函数中且与y轴交于负半轴，选项正确．
故选：D．
6．D
【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，
而关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据四边形是平行四边形，可得进而求得，再根据可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，根据异号求解即可．
【详解】解：∵，
∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵，且
∴，
∴
故选：C．
9．中心
【分析】本题主要考查了中心投影的概念，根据中心投影的概念填写即可．中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影．
【详解】解：路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，故路灯下树影是中心投影．
故答案为：中心．
10．12
【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比即可解答.
【详解】解：∵四边形四边形，，
∴
∵四边形的周长为3，
∴四边形的周长为.
故答案为：.
11．（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定，添加一个条件使其成为矩形即可．
【详解】解：根据既是菱形又是矩形的四边形是正方形，可以添加一个条件使它成为矩形即可，
所以可以添加（答案不唯一）；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正方形的判定，解题关键是掌握正方形的判定方法，即一个四边形如果既是菱形又是矩形，那么这个四边形是正方形．
12．
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：∵，点是的中点，
∴，
∵，反比例函数的图象经过点D，
∴
∵函数图象在第二象限，
∴.
故答案为：.
13．4
【分析】本题考查了菱形的性质，线段的垂直平分线性质，含角的直角三角形，垂线段最短，依次计算即可．
【详解】∵P为菱形的对角线上的一定点，，的最小值为2，
∴，，
连接，过点P作，
则，，
∴，
∴
∴，
故答案为：4．
14．．
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴，
∴，
两边开平方，得
，
∴．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
15．见解析
【分析】本题主要考查画简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握圆柱的三视图，特别注意实线与虚线的区别．
【详解】解：如图所示：
16．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据时，反比例函数的图象在第二、四象限内求解即可．
【详解】解：∵反比例函数 （m是常数）的图象在第二、四象限，
∴，
解得
∴m的取值范围是．
17．见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线交于点，连接，则．
【详解】如图，即为所作，
理由：∵
∴；
∵是的垂直平分线，
∴
∴
∴
又
∴．
18．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，由，，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由得到，从而得证．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
19．(1)见解析
(2)、
【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可，即可求出最后结果．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：、的坐标分别为、．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率．
（1）抽取项目有四组，小安抽取一组，根据概率计算公式即可求解；
（2）用树状图把所有可能的结果表示出来，再找出小西和小安不同题目的结果，根据概率计算公式即可求解．
【详解】（1）解：小安抽到C组题目的概率是：
（2）解：画树状图如下：
由图知，共有16 种等可能的结果，小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的有12 种，
∴小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率是
21．1分米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式，列出方程，准确计算．
【详解】解：设小华添加的边框的宽度是 x分米，
依题意，得：，
整理，得：
解得：（不合题意，舍去）
答：小华添加的边框的宽度是1分米．
22．20m
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，证明，然后根据相似三角形的对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，即．
∵，，，
∴ ，
解得 ．
答：河宽AB大约是20m．
23．(1)，
(2)6小时
【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识.
（1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分别求出时的两个x值，再求时间差即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，
由图象可知，y是x的正比例函数，令，
∴
当时，y与x成反比例，令，
∴
（2）解：当，时，则，
解得
当，时，则
解得
∵（小时），
∴血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是6小时.
24．(1)见解析
(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明；
（2）根据“菱形的对角线互相垂直”知，然后利用勾股定理可求得的长，最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案．
【详解】（1）∵ 四边形 是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）∵ 四边形是菱形，
，，
，，
，
四边形的周长．
25．(1)，点B的坐标为；
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式；
（2）先求得一次函数的表达式，求得点C的坐标，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
则点B的坐标为；
（2）解：由和在一次函数的图象上，
∴，解得，
一次函数的表达式为．
在中，令，
解得，
∴点C的坐标为，则，
．
26．（1）见解析；（2）；（3）存在，4或10
【分析】（1）在和中，易得，，故可得；
（2）易得正方形的面积，根据，可得，再求出，，即可求解.
（3）分两种情况讨论：和，根据两种情况列出关系式进而求解．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
∴．
∵，
∴
（2）解：∵正方形的边长为8，
∴正方形的面积
，
∴
∵，点E 是 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的相似比为．
（3）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与相似．
理由如下：如图2，连接，
若，则，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴四边形为矩形，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，即．
如图3，连接．
若，则，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点F为的中点
∴，
∴．
∵，即 ，
∴，
∴，即．
综上所述，满足条件的x的值为4或10．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．