2023-2024学年陕西省宝鸡市凤翔区九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市凤翔区九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试题（卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．由下列光源产生的投影，是平行投影的是（ ）
A．太阳B．台灯C．手电筒D．路灯
2．已知，则的值是（ ）
A．B．2C．D．
3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，， ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（ ）

A．3B．C．4D．
7．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．一元二次方程的解是 .
10．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有 个．
11．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问直田周长几何?”翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为平方步,它的宽比长少步,它的周长是 步．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABO边AB平行于y轴，反比例函数 的图像经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为9，则k=
13．如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 ．

三、解答题（共13小题，计81分）
14．计算：
15．解方程：．
16．如图，在中，，且，求的长．
17．如图，为平行四边形的对角线，点E为边上一点，请用尺规作图法在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在中，， 于，作于．求证：；
19．如图．在平面直角坐标系中，已知点．以点O为位似中心，在第一象限内画出，使得它与的相似比为2．
20．如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）

21．某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；
(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？
22．秦腔可以称为“百戏之祖”，是华夏民族文化的瑰宝，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，成为了中华民族精神财富的组成部分，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式。甲、乙两位秦腔爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从A.《三娘教子》、B.《临潼山》、C.《白蛇传》、D.《和氏壁》、E.《三上殿》五部曲目中，分别随机选择一部，主办方做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别是这5个曲目的剧照，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行表演.
(1)甲所抽取的卡片正面是C.《白蛇传》的概率为__________
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个人抽中A.《三娘教子》这个曲目的概率.
23．如图是由棱长都为的小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；
(2)求出该几何体的体积和表面积．
24．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
25．某药店购进一批消毒液，计划每瓶标价100元，由于疫情得到有效控制，药店决定对这批消毒液全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后，每瓶售价为81元.
（1）求每次降价的百分率.
（2）若按标价出售，每瓶能盈利100%，问第一次降价后销售消毒液100瓶，第二次降价后至少需要销售多少瓶，总利润才能超过5000元？
26．【问题提出】
（1）如图①，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，则正方形的边长为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有、、、、五个出口，其中出口在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．试求该运输通道的长度．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据平行投影和中心投影的定义进行判断．
【详解】解：用光线照射物体所产生的投影为平行投影，而用路灯、手电筒、台灯等照射物体所产生的投影为中心投影，
故选A．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
2．C
【分析】将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解决此题的关键．
3．C
【分析】由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数，计算白球的个数即可．
【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.40，
∴口袋中白色球的个数可能是40×0.40=16个．
故选C．
【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．解决本题的关键是根据频率之和为1计算出摸到白球的频率．
4．C
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
5．D
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，由根的判别式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，且，，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义，求出，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：D
7．D
【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断．
【详解】A、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象经过二、三、四象限，则k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
B、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、三象限，则k＞0， k的取值不同，故此选项错误；
D、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、四象限，则k＜0，与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值相同，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．
8．B
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，
，
故选：B．
9．，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法，因式分解法，配方法，公式法等，利用因式分解法求解即可。
【详解】解：
或
解得，
故答案为：，
10．20
【分析】设白球个数为x个，由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可．
【详解】结：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，解得：，
经检验是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故答案为20．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
11．
【分析】本题考查矩形面积与周长问题,解一元二次方程.根据题意设矩形长为,则宽为,由题意面积列出等式求出的值,继而得出本题答案．
【详解】解:设矩形长为,则宽为,
∵一块矩形田地的面积为平方步,
∴,解得:（舍去）,
∴矩形的长为步,宽为步,
∴矩形的周长为（步）,
故答案为:．
12．6
【分析】延长AB交x轴于D，根据反比例函数（x＞0）的图象经过点B，设B，则OD＝m，根据△OAB的面积为9，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论．
【详解】解：延长AB交x轴于D，如图所示：
∵轴，
∴AD⊥x轴，
∵反比例函数（x＞0）的图像经过OA中点C和点B，
∴设B，则OD＝m，
∵△OAB的面积为9，
∴，即AB•m＝9，
∴AB＝，
∴A（m，），
∵C是OA的中点，
∴C，
∴，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．
13．3
【分析】先确定组成点P的所有点为过的中点E，F的线段，作点M关于的对称点，连接，证明的长为的最小值，因此求出的长即可．
【详解】解：过点P作，分别交于点E，F，
∵四边形是正方形，
∴四边形和四边形都是矩形，
∵，正方形的边长为4，
∴，
解得，
∴，

作点M关于的对称点，连接，
则，
∴，
∴的最小值为的长，
∵，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，能用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键．
14．
【分析】首先根据绝对值的性质、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数进行运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角形函数以及实数混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
15．，
【分析】先移项，再用因式分解法求解．
【详解】解：，
，
，
或，
解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
16．．
【分析】利用比例线段得到，然后根据比例性质求．
【详解】解：，即，
，
．
【点睛】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
17．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质以及尺规作图，解题的关键是利用相似三角形的性质得到，进而求解．
【详解】解：∵，
∴，
作图如下，点即为所求．
18．见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过求得和得到，进而求解．
【详解】证明：∵于D，于E，
∴，
∵，于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．见解析
【分析】根据题意，将三点的横纵坐标同时乘以，得到，顺次连接得到，即可求解．
【详解】解：将三点的横纵坐标同时乘以，得到，如图所示，即为所求
【点睛】本题考查了画位似图形，掌握位似的性质是解题的关键．
20．楼的高度为
【分析】延长交于点，依题意可得，在，根据，求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，

∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：楼的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
21．(1)；
(2)元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案；
（2）设每台冰箱的售价应定为m元，根据利润列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
答：每次降价的百分率是；
（2）解：设每台冰箱的售价应定为m元，由题意可得，
，
解得：，
答：每台冰箱的售价应定为元．
【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，简单的概率计算，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙二人中，有一个人抽中A.《三娘教子》这个曲目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解；∵一共有五张卡片，其中正面是C.《白蛇传》的卡片有一张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴甲所抽取的卡片正面是C.《白蛇传》的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有20种等可能性的结果数，其中有一个人抽中A.《三娘教子》这个曲目的结果数有8种，
∴有一个人抽中A.《三娘教子》这个曲目的概率为。
23．(1)见解析
(2)体积为48立方厘米，表面积为104平方厘米
【分析】本题考查从不同方向看几何体、几何体的表面积、体积，解题的关键是掌握从不同方向画几何体的方法、几何体的表面积、体积的定义，难度不大；
（1）根据从不同方向看到的图形画图即可；
（2）根据体积和表面积的定义计算即可；
【详解】（1）如图所示．
（2）解：体积为．
表面积为
答：该几何体的体积为，表面积为．
24．(1)80，16，
(2)40
(3)恰好抽到2名女生的概率为．
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）解：根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
（3）解：由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（1）10%；（2）33瓶
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据“两次降价后的售价＝原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第二次降价后需要销售m瓶，根据“总利润＝第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：（舍）
答：每次降价的百分率为10%．
（2）进价为：100÷（1+100%）=50元
第一次降价后售价为：100×（1-10%）=90元
设第二次降价后需要销售m瓶，则
解得：，
∵m为整数，
∴第二次降价后至少需要销售33瓶，总利润才能超过5000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据不等关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系或不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键．
26．（1）6 ；（2）是等腰直角三角形；（3） 为米
【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可解决问题；
（2）根据正方形的性质证明，得，进而得出是等腰直角三角形；
（3）取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得，，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，
是的中位线，
，
正方形的边长为6，
故答案为：6；
（2）是等腰直角三角形，
理由：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）取的中点，连接，如图③，
米，米，
（米），
（米），（米），
为的中点，
，（米），
，
（米），
即该运输通道的长度为米．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．