陕西省咸阳市秦都区咸阳方圆学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

B（北师大版）

2023~2024学年度第一学期第一次阶段性作业

九年级数学

（建议完成时间：120分钟    满分：120分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）

1．一元二次方程化为一般形式的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（    ）

A．，1 B．6， C．，1 D．6x，

2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，点E在BD的延长线上，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可以为（    ）

A．  B．

C．  D．

4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知关于x的一元二次方程，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ）

A．有两个相等的实数根  B．有两个不相等的实数根

C．无实数根  D．只有一个实数根

6．关于正方形性质的描述：

①既是轴对称图形，也是中心对称图形；

②对边平行且相等，四条边相等；

③四个角相等，且都等于；

④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角．

其中说法正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E，过点D作交BC于点F，连接AF．，，则AF的长是（    ）

A． B． C．3 D．

8．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：

甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；

丙说：当时，该方程有实数根； 丁说：只有当且时，该方程有实数根．

正确的是（    ）

A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．写出以为其中一根的一个一元二次方程________．（写出一个即可）

10．如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为，则点A的坐标为________．

11．若代数式与的值相等，则x的值为________．

12．随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2020年的300万元增长到2022年的507万元，设平均每年销售额增长的百分率为x，则关于x的方程是________．

13．如图，在菱形ABCD中，，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，连接MN，BN，且满足，则菱形ABCD面积的最大值为________．

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）

14．（5分）解方程：．

15．（5分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE，BF，于点O，点M为AB的中点，连接OM，若．求证：四边形ABCD是正方形．

16．（5分）已知关于x的方程．求证：方程总有实数根．

17．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在线段BD上，．判断AE与AF是否相等？并说明理由．

18．（5分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，于点E，延长BE至点F，使，连接DF．若，，求DF的长．

19．（5分）已知关于x的方程．如果方程有两个实数根，，且，求k的值．

20．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作于点E，分别交边AD、AB于点F、H，连接CF、CH．求证：．

21．（6分）对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，例如：，若，求x的值．

22．（7分）如图，在中，两条对角线AC，BD相交于点O，，以AC为边向下方作菱形ACNM．

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

（2）若菱形ACNM的周长为16，，点D是菱形ACNM的对称中心，求点D、M之间的距离．

23．（7分）中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，茶叶产业作为绿色经济的重要组成部分，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，那么平均每天可多售出2盒．在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？

24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点F为BC边的中点，是等腰三角形，，连接EF．

图1                图2

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当时，连接AF、DF，EF与AD交于点O．

①求证：四边形AEDF是菱形；

②在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出两个三角形，使写出的每个三角形的面积均是矩形ABCD面积的一半（不用写出过程）．

25．（8分）某公园要在一个足够大的草地上规划出一个矩形草坪ABCD，矩形草坪ABCD的长AD为a米，宽AB为b米，并计划在草坪ABCD上种植两条宽均为x米的两条互相垂直的花带（阴影部分），且两条花带与矩形的边分别平行，余下的四块矩形草坪改为种植景观树．

（1）已知，，且种植景观树的总面积为312平方米，每条花带的宽为多少米？

（2）若，每条花带的宽均为2米，且种植景观树的总面积为312平方米，求a，b的值．

26．（10分）在中，，．

图1                      图2                  图3

（1）如图1，将沿直线BE折叠，使点A的对应点F落在BC边上，求证：四边形ABFE是菱形；

（2）如图2，若是矩形：

①按（1）中操作进行，求证：四边形ABFE是正方形；

②在矩形ABCD中折叠出一个菱形DEBF，并使菱形DEBF以BD为对角线且各个顶点都在矩形的边上，如图3，求菱形DEBF的面积．

B（北师大版）

2023~2024学年度第一学期第一次阶段性作业

九年级数学参考答案及评分标准

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）

1．B  2．D  3．A  4．D  5．B  6．D  7．B  8．A

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（答案不唯一）    10．    11．0或

12．（其他形式正确也可）    13．

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）

14．解：∵，

∴．，，，

∴，          2分

∴，

解得，．          5分

（注：其他解法正确也可）

15．证明：∵，∴，

∵点M为AB的中点，

∴，          2分

∵，

∴，

∴四边形ABCD是正方形．          5分

16．证明：∵          2分

．

∵，          4分

∴方程总有实数根．          5分

17．解：．理由如下：          1分

∵四边形ABCD是菱形，

∴，，          3分

∵，

∴，即，

∴．          5分

18．解：在矩形ABCD中，，          2分

∵，

∴OE是的中位线，

∴，          4分

∵，

∴，即．

∴．          5分

19．解：∵方程有两个实数根，，

∴，          2分

∵，

∴，

∴，解得，          3分

∵，∴，          4分

∵，

∴，

解得：．          5分

20．证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴，          1分

∵，

∴，

∴，

∴．

在和中，

，，，，

∴，          4分

∴．          5分

21．解：根据题意可得：，          2分

整理得，          3分

解得，，

∴x的值为2或3．          6分

22．（1）证明：四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，，

∴四边形ABCD是矩形．          3分

（2）解：∵菱形ACNM的周长为16，

∴，          4分

在矩形ABCD中，，，

∵，

∴，

∴，          6分

∵点D是菱形ACNM的对称中心，

∴点D、M之间的距离等于点D到点C的距离，

即点D、M之间的距离等于2．          7分

23．解：设每盒茶叶降价x元，则每盒的销售利润为元，平均每天的销售量为盒，

依题意得：，          3分

整理得：，

解得：，．          6分

又∵需要让利于顾客，

∴．

∴每盒茶叶降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．          7分

24．（1）证明：连接AF、DF，如图1：

∵四边形ABCD是矩形，F是BC的中点，

∴，，，，

∴，          2分

∴，

∵，

∴EF垂直平分AD，

∵，          4分

∴．

图1

（2）①证明：∵，

∴．

由（1）可得，

∴四边形AEDF是平行四边形，          5分

∵EF垂直平分AD，

∴四边形AEDF是菱形．          6分）

②面积是矩形ABCD面积的一半的三角形有、、、．（写对一个得1分，写对两个得2分）          8分

25．解：（1）依题意得：，          3分

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

∴每条花带的宽均为2米．          4分

（2）∵，∴，

又∵花带的宽度2米，

∴四块矩形场地可合成长为米，宽为米的矩形．

依题意得：，          6分

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

∴．

∴，．          8分

26．（1）证明：由折叠可知，，，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

∴，          2分

∴，

∴，

∴四边形ABFE是平行四边形．

又∵，

∴四边形ABFE是菱形．          4分

（2）①证明：由（1）知：四边形ABFE是菱形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，

∴四边形ABFE是矩形，

∴四边形ABFE是正方形．          6分

②解：设，

在中，，，，

∴，即，          8分

解得，

∴，

∴．          10分