陕西省咸阳市三原县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份陕西省咸阳市三原县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算的值为（ ）
A．0B．C．D．
2．下列几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若线段a，b，c，d成比例线段，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A．B．2C．4D．6
5．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．若点、、在抛物线上，且，则 m 的取值范围是（ ）
A．B．或C．或D．或
二、填空题
9．烛光照射下人的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”）
10．如图， 和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为 ．
11．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ．
12．如图，在中，轴于点B，，，反比例函数的图象经过点A，则k的值为 ．
13．已知，点P为矩形的边上的一个动点，连结，过点P作的垂线，交于点Q，，在点P运动的过程中，的最大值为 ．

三、解答题
14．解方程：．
15．如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
16．装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间与装载速度x之间的函数关系如图：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果以的速度装货，需要多长时间才能装完货物？
17．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
18．如图，在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长．
19．某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价．
20．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
21．已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线．
(1)求证：抛物线顶点在函数的图象上；
(2)若点，在抛物线上，且，求m的取值范围．
22．如图，某商场大厅阶梯式扶梯的倾斜角为，的长为，商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）

23．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
24．【基础巩固】
（1）如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，若，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在边上，连接，若，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在边上，连接，若，求的长．（提示：延长交于点G）
参考答案：
1．B
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
【详解】解：，
故选B
2．C
【分析】本题主要考查的是三视图中主视图的定义，即从几何体的正面观察到的图形叫做主视图．
【详解】解∶A.正方体的主视图是正方形，故本选项不符合题意;
B.圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意；
C.球体的主视图是圆形,故本选项符合题意；
D.圆柱的主视图是矩形,故本选项不符合题意.
故选:C.
3．A
【分析】本题考查了比例线段的定义．根据成比例线段的定义，可得，即可求解．
【详解】解：：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且，
∴，即，
解得：．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解即可求出的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
解得．
故选：D．
5．B
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质，先根据每个选项图象分别得出值，再进行比较，即可作答．
【详解】解：A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意；
B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意；
D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
故选：C
7．D
【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
8．C
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线，根据抛物线对称性可知：点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称，由，，，可得当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小，即抛物线的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵、、在抛物线上，
∴根据抛物线对称性可知：
点与点关于对称轴直线对称，
点与点关于对称轴直线对称，
∵，，，
∴当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小；
∴抛物线的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足，则m的取值范围为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找出点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称．解题时，要注意数形结合的思想．
9．中心
【分析】本题主要考查了中心投影的概念，做题的关键是熟练掌握中心投影的概念，区别中心投影和平行投影概念．根据中心投影的概念填写即可．中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影．
【详解】解：烛光发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，烛光照射下人的影子属于中心投影．
故答案为：中心．
10．20
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据位似图形的性质，得到,再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求出的周长．熟记相似三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】∵和是以点O为位似中心的位似图形，
,
∵，
，
，
解得．
故答案为：20
11．4
【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形求出是解题的关键．解直角三角形求得，再利用三线合一即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
，，
∴．
故答案为：4．
12．
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．先求出点的坐标，再代入计算即可得．
【详解】解：∵轴于点，，，
，，
，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
13．/
【分析】通过证明，可得，由二次函数的性质可得的最大值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数性质，证明三角形相似是解题的关键．
14．，
【分析】先将方程化成一般式，再运用公式法求解即可．
【详解】解：，
整理得：，
这里，，，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．
15．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
作平分线，交于D即可．
【详解】解：如图所示，点D即为所作求．
由作图可知：是平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
16．(1)
(2)需要才能装完货物
【分析】本题考查了反比例函数的应用，确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式是解题的关键；
（1）求出货物质量，根据装完货物所需时间的关系列出函数关系式即可；
（2）利用函数关系式，把代入，可求卸完货物时间．
【详解】（1）设该运货车上装载货物的质量，
把代入得货物的质量，
y与x之间的函数关系式．
（2）当时，有，
需要才能装完货物．
17．(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】（1）解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质；
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长；
解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
（2）∵，点F是的中点，
∴，
，
∴．
19．这批童装降价后每件的售价为100元或110元
【分析】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可．
【详解】解：设这批童装每件降了x元，
由题意得
解得：．
所以（元）或（元）．
答：这批童装降价后每件的售价为100元或110元．
20．21.2m
【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．
【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M,
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，
∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴，
即： ，
∴BN=20，
∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2
答：楼高为21.2米．

【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，将顶点横坐标代入函数求出y的值，与顶点纵坐标比较即可得到答案；
（2）由点B、点C的横坐标求出a、b，进而列不等式求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，
∴抛物线顶点在函数的图象上；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，；
当时，，
∵，
∴
解得．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
22．改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度约为
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用；根据余弦和正切的定义求出，结合图形计算可得出答案．求出是解本题的关键．
【详解】解：作交的延长线于点C，则与均为直角三角形．

在中，，，
∴，
．
在中，，
∴，
∴．
∴改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度约为．
23．(1)抛物线的表达式为y＝
(2)石块不能飞越城墙
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用．
（1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答；
（2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设石块运行的函数关系式为，
∵
∴点C的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，代入，得，
解得：
∴抛物线的表达式为，
即；
（2）∵，
∴点D的横坐标为75，
将代入函数，得，
即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，
∵，，
∴，
∴石块不能飞越城墙．
24．（1）详见解析
（2）
（3）
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，证明，，结合（1）的结论代入数据即可求解；
（3）延长交于点G，同（2）即可．
【详解】解：（1）证明．
∴，
∴．
（2）解：，
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
，
，，
∴．
∵．
∴．
由（1）得．
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
∴．
（3）解：延长交于点G
∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
，．
∴
∵，
∴
由（1）得．
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
∴