2022-2023学年四川省泸州市泸县泸县第四中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市泸县泸县第四中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的运算方法直接选出答案.

【详解】由题意，．

故选：B

2．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于A、B：定义域不同，即可判断；

对于C：定义域相同，但解析式不同，即可判断；

对于D：定义域相同，解析式也相同，即可判断是同一函数.

【详解】函数的定义域为R.

对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；

对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；

对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；

对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.

故选：D.

3．若，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．，若，则

C．若，则 D．，，若，则

【答案】C

【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，当时，，故D错误，

故选：C.

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和值域即可判断.

【详解】 所以为偶函数，所以图象关于 轴对称，故排除B，

当 时， 故排除 A，当 时， 故排除 D

故选：C .

5．已知函数的定义域是，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抽象函数的定义域求解.

【详解】因为定义域为，

所以，

所以，

故函数满足，

解得，

所以的定义域是.

故选：C.

6．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，

要使得函数的最小值为，

则满足解得．

故选：A．

7．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（       ）

A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a

【答案】B

【分析】由于f(x) 关于直线x＝1对称，可以得到f(-1)＝f(3)，因为当x2＞x1＞1时，，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，这样就能对比f(3)、、f(2)的大小，进而得到答案

【详解】解：由题意得，f(x)在(1，+∞)上单调递减，

因为函数图象关于x＝1对称，

所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，

因为f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，

所以f(3)＜f(e)＜f(2)，

所以a＜c＜b．

故选：B．

8．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解

【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为

（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，

得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；

综上，的取值范围为

故选：B

二、多选题

9．下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据元素与集合间的关系逐项判断即可.

【详解】因为是整数集，故，所以A正确；

因为是实数集，故，所以B错误；

因为是有理数集，故，所以C错误；

因为是自然数集，故，所以D正确，

故选：AD.

10．已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（    ）

A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减

C．奇函数 D．定义域为

【答案】BC

【分析】设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可.

【详解】设幂函数，

幂函数图象过点，

，

，

定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.

故选：BC

11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，其中选项ABC可直接判断单调性和奇偶性，选项D通过画图判断单调性和奇偶性.

【详解】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，

对于A.，函数不为奇函数，故不为“理想函数”；

对于B.为定义域上的单调递减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；

对于C.为定义域上的单调递增函数，故不为“理想函数”；

对于D.的图像如下：

由图像可得该函数为定义域上的单调减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；

故选：BD.

12．记，已知，，，则（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据已知条件，结合基本不等式有，解不等式可得的最值，进而由可知的最值情况，又，可得，可得最小值，而可确定最小值，进而判断各选项.

【详解】由题意，结合基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，设，则，解得，即有，故A选项正确；

而，故B选项错误；

又，所以，当且仅当时，等号成立，故C选项正确；

又，所以当时，有最小值为，故D选项正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知正数满足，则的最小值为________．

【答案】##

【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，

当，即，时，等号成立.

故答案为：.

14．函数的单调递增区间为________．

【答案】

【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.

【详解】令，解得或，

函数的定义域为.

内层函数的减区间为，增区间为.

外层函数在上为增函数，

由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.

故答案为.

【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15．某学校100名学生在一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有________人.

【答案】7

【分析】集合元素个数的求解可利用容斥原理直接列方程解决

【详解】设三项都参加的有人，因为有一人三项均未参加

则由已知，解得

故答案为：7

16．已知为上的偶函数，当，函数，那么当时=_______．

【答案】

【解析】设设，则，进而得，再结合偶函数性质得当时，.

【详解】解：设，则，

由于当，函数，

所以，

因为函数为上的偶函数，

所以，

所以.

故当时，.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合或.

（1）分别求和；

（2）若集合，若是充分不必要条件的，求实数的取值范围．

【答案】（1），或；（2）．

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，应用集合交、补运算求、、，最后由集合并运算求.

（2）根据题设充分不必要条件有，结合已知列不等式求的取值范围．

【详解】（1）由题设，，而或，

∴，

又或，，

∴或.

（2）由题设知：，显然，即不为空集，

∴，解得.

18．已知函数

（1）求奇偶性

（2）画出函数的图像：

（3）求，的值域

【答案】（1）奇函数；（2）作图见解析；（3）.

【解析】（1）先求函数的定义域得，再求的值即可得答案；

（2）结合二次函数的图象和奇函数的性质即可得函数图象；

（3）根据（2）中的函数图象即可得值域.

【详解】解：（1）∵

∴为奇函数

（2）当时，

当时，

当时，

∴

∴的函数图象为

（3）由（2）可知，当和时函数单调递增，时函数单调递减，

所以，，的值域为

19．已知，，若命题p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】

【分析】首先，求解命题中涉及到的不等式，然后求解命题中涉及到的一元二次不等式的解集，最后，结合是的充分不必要条件，限定的取值情形，从而得到实数的取值范围．

【详解】由命题，即，

，，，

，

，

，，

是的充分不必要条件，

或，

即或，，

所以实数m的取值范围.

20．某公司对两种产品A，B的分析如下表所示：

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．

（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；

（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？

【答案】（1），其中；，其中；（2）答案见解析．

【分析】（1）利润等于单件产品的盈利与件数的乘积；（2）分别根据函数的类型确定单调性求出最大值，作差比较二者大小即得．

【详解】（1），其中

，其中

（2）∵，∴，∴在定义域上是增函数

∴当时，

又，∴当时，

当时，即时，投资A产品可获得最大年利润．

当时，即时，投资A或B产品可获得最大年利润．

当时，即时，投资B产品可获得最大年利润．

21．已知二次函数，.

（1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；

（2）在（1）的条件下，在区间[－3，－1]上恒成立，试求的取值范围．

【答案】（1）；单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]；（2）(－∞，1)．

【解析】（1）由时二次函数最小值为0，求出得函数解析式，写单调区间即可；

（2）可转化为在区间[－3，－1]上恒成立，求出最小值即可.

【详解】(1)由题意知，解得，∴.

由知函数的单调递增区间为[－1，＋∞)，

单调递减区间为(－∞，－1]．

（2）由题意知，在区间[－3，－1]上恒成立，

即在区间[－3，－1]上恒成立，

令，x∈[－3，－1]，由知

g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，

所以k<1，故k的取值范围是(－∞，1)．

【点睛】关键点点睛：二次函数的解析式求法，大多用到待定系数法，本题需根据当时二次函数最小值为0，建立方程组求解，即可求出函数解析式.

22．已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有.

（1）求的值；

（2）求证：在上为增函数；

（3）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用赋值法，m＝n＝0求f（0）；

（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，令m＝x2﹣x1，n＝x1，通过函数的单调性的定义直接证明f（x）在R上为增函数；

（3）由原不等式可化为f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化为f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后构造函数g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数a的取值范围．

【详解】（1）由，故此令，则，则；

（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，则令m＝x2﹣x1，n＝x1，

则f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，

由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），

故此，函数为上增函数；

（3）由已知条件得：，

故此，∵，∴，

∴，由（2）可知f（x）在R上为增函数，

∴，即，令，即成立即可.

①当时，即，在单调递增，∴，∴∴

②当时，即，在先递减后递增，∴，

∴，解得，∴.

综上，∴.

【点睛】关键点点睛：在（3）转化为在恒成立，构造函数，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解最小值.