2024泸县四中高三上学期开学考试文科数学试题含解析
展开泸县四中高2021级高三上学期开学考试
文科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（ ）
A 64 B. 65 C. 64.5 D. 66
3. 成立的充要条件是（ ）
A. B. C. D. 或
4. 曲线在处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 直线与圆相交，则点与圆位置关系是（ ）
A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不确定
7. 很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设为正数，若，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
9. 经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）米．
A. B. 2 C. D. 4
10. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D. 3
12. 若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，且满足，则_______.
14. 若实数、满足，则目标函数的取值范围为______.
15. 将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是_________.
16. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为___________________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
17. 为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数；
（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.
18. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.
（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19. 高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩 | 140 | 130 | 120 | 110 | 100 |
物理成绩 | 110 | 90 | 100 | 80 | 70 |
数据表明与之间有较强的线性关系.
（Ⅰ）求关于线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；
（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
| 物理优秀 | 物理不优秀 | 合计 |
数学优秀 |
|
|
|
数学不优秀 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
参考公式及数据：回归直线的系数，，，，.， .
20. 已知
（1）若的单调递减区间是，求实数a的值
（2）若，且对任意，都有，求实数a的取值范围
21. 已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
（1）求椭圆C方程；
（2）已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
（选修4-4 极坐标与参数方程）
22. 在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值．
（选修4-5 不等式选讲）
23. 已知，．
（1）解不等式；
（2）若方程有一个解，求实数的取值范围．
四川省泸州市泸县四中2023-2024学年高三下学期开学考试文科数学试题（Word版附解析）： 这是一份四川省泸州市泸县四中2023-2024学年高三下学期开学考试文科数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题： 这是一份四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题，共22页。
