第07讲 拓展一：异面直线所成角-高二数学同步热点题型导与练（人教A版选择性必修第一册）

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第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）一、知识点归纳1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则①②.二、题型精讲题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．【典例2】（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ）A．0 B． C． D．【典例3】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为______．  【变式1】（2023春·吉林四平·高一校考阶段练习）在三棱柱中，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023春·河南郑州·高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图，是半圆柱底面的直径，是半圆柱的高，是上一点，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．  题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，，且平面，四边形是正方形，则______；异面直线与所成角的余弦值为______．【变式1】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，，分别是和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________．题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，=λ，若异面直线和所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，将的菱形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在四面体中，为正三角形，平面，且，若，，则异面直线和所成角的余弦值等于（    ）A． B． C． D．题型04求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，2，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线与所成角的正切值的最小值为_________.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是______；直线与直线所成角的取值范围为______.【变式1】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面 的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（ ）A． B． C． D．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．题型05已知线线角求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【典例3】（2022·天津·校联考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角为，求的长.【变式1】（2022秋·辽宁大连·高二育明高中校考期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线和所成的角的大小为30°，则线段长的取值范围是______.【变式2】（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)在上是否存在一点，使得与所成角为60°？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．