数学七年级上册1.2.1 有理数课时训练

这是一份数学七年级上册1.2.1 有理数课时训练，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·福建三明·七年级统考期末）有甲、乙两个完全相同的杯子，各装了不同容量的水．若把甲杯中的水倒进乙杯，则两杯的水位等高，设甲杯中原来的水量为a，乙杯中原来的水量为b，则a，b满足（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·福建三明·七年级统考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何?译文：一位善于织布的妇女，每天织的布都是前一天的2倍，她5天共织了5尺布，问在这5天里她每天各织布多少尺?设她第一天织布尺，以下列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·福建三明·七年级统考期末）如果是关于的方程的解，则的值是（ ）
A．B．1C．6D．
4．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）下图是2023年1月份的月历，月历中有正方形和阶梯形两个阴影图形分别覆盖其中四个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，可以重叠覆盖），设正方形覆盖的四个数字之和为，阶梯形覆盖的四个数字之和为．若，则的值可能是（ ）
A．B．66C．82D．91
5．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）下列推理过程能够用于验证“等式的两边乘同一个负数，结果仍相等”的是（ ）
A．已知，因为，，所以
B．已知，因为，，所以
C．已知，因为，，所以
D．已知，因为，，所以
6．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）某篮球联赛积分规则如表所示，某支球队一共打了20场比赛，共积分25分，设该支球队胜场为场，根据题意，可列方程（ ）
A．B．C．D．
7．（2019上·福建福州·七年级统考期末）若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·福建三明·七年级统考期末）用火柴棒按下列方式搭图形，有下列说法：

①第4个图形需要22根火柴棒；
②第5个图形共有10个小正方形；
③用112根火柴棒，按所给方式可以依次搭出6个图形；
④如果某一图形共用了2022根火柴棒，那么它是第404个图形．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（2022上·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）某车间名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓个或螺母个．现有名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，为求列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，在数轴上，点A，B分别表示数a，b．若，且，则点A表示的数是（ ）

A．B．C．2D．4
11．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图，长方形中，，，动点从点出发，以秒的速度沿长方形的边按的顺序运动，动点从点出发，以秒的速度沿长方形的边按的顺序运动.若动点、同时从发，运动的时间设为秒，则动点、第十次相遇时，的值是（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒
12．（2022上·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题
13．（2023上·福建三明·七年级统考期末）已知关于x的方程有无数多解，则 ．
14．（2020下·福建泉州·七年级校考期末）一元一次方程的解是 ．
15．（2021上·福建厦门·七年级统考期末）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，为了使卖这两件衣服不盈不亏，则第二件衣服的亏损率为 ．
16．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）若是方程的解，则 ．
17．（2023上·福建福州·七年级统考期末）当 时，式子与的值相等．
18．（2023上·福建宁德·七年级统考期末）已知是方程的解，则k的值是 ．
19．（2023上·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据
如果温度的变化是均匀的，时的温度是 ，当时间为 时温度是．
20．（2022上·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．设把张白铁皮制盒身，则可列方程为 ．
三、解答题
21．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）问题情境：
张师傅的餐饮店与某服装厂签定了一份职工供餐协议，约定套餐中的饮料和小菜不零卖，套餐总费按天结算，已知该餐饮店部分套餐价格和优惠协议如下表：
有一天，该厂共点了11份盖饭、杯饮料和5份小菜．
数学思考：
(1)直接写出这天该厂共点了套餐的份数，不必说明理由；（用含的代数式表示）
问题解决：
(2)若该厂所点的套餐中共有6杯饮料，则该厂应付的套餐总费用是多少元?
(3)请用含的代数式表示该厂所点的套餐优惠前的总费用；若该厂所点的套餐优惠后的总费用为256元，则他们点的套餐种类是如何搭配的?请说明理由．
22．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别是a，b，c，d，且，，．
(1)若用含a的代数式表示d，则______；
(2)若a为整数，试说明一定能被4整除；
(3)若，且a，b，c，d中有两个数的和与相等，求a的值．
23．（2023上·福建三明·七年级统考期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了10支钢笔，15支毛笔作为奖品，共花了585元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
(1)钢笔和毛笔的单价各为多少元？
(2)学校仍需要购买上述的两种笔共35支（每种笔的单价不变）．
①陈老师做完预算后，对财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领817元”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了；
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，求出签字笔的可能单价．
24．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）数轴上A、B两点对应的数分别是、12，线段在数轴上运动，点C在点E的左边，且，点F是的中点．
(1)如图1，当线段运动到点C、E均在A、B之间时，若，则 ， ；
(2)当线段运动到点A在C、E之间时．
①设长为x，用含x的代数式表示 （结果需化简）；
②求与的数量关系；
(3)当点C运动到数轴上表示数的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以每秒2个单位长度的速度返回；同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；；当点Q到达点B时，P、Q两点都停止，求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
25．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、……”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择：
计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和；
计费方式二：“分档十分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和．
表1
表2
(1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费；
(2)设小阳同学家某月的用电量为度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含的式子表示两种计费方式应缴电费；
(3)小阳同学家在2022年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段和谷时段的用电量．
比赛结果
胜
负
积分
2
1
时间
温度
种类
配餐
价格（元/份）
优惠协议
套餐
1份盖饭
20
消费满150元，减24元；
消费满300元，减48元；
消费满450元，减72元；
……
套餐
1份盖饭+1杯饮料
28
套餐
1份盖饭+1杯饮料+1份小菜
32
居民用电分档
用电量（单位：度）
电价 （单位：元/度）
第一档
不超过230
第二档
超过230且不超过420
第三档
超过420
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
峰时段（）
（每度电在各挡电价基础上加价元）
谷时段（次日）
每度电在各挡电价基础上降低元）
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是根据甲杯中的水倒进乙杯，则两杯的水位等高，列出等式，然后进行变形即可．
【详解】解：：∵把甲杯中的水倒进乙杯，则两杯的水位等高，
∴，
整理得：．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知列出等式计算即可．
【详解】根据题意，得，，
故选C．
3．D
【分析】本题考查一元一次方程的解，如果题中已知方程的解，就可以将x的值代入原方程，然后就可以求出方程中所含参数的值，将代入中，可得到关于的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的解
∴将代入中得：
，
解得：；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设正方形左上角的数字为，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，设阶梯形左上角的数字为，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，根据，得到，得到，让分别等于选项中的数，逐一进行判断即可，正确的表示出正方形和阶梯形中的每一个数，是解题的关键．
【详解】设正方形左上角的数字为，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，设阶梯形左上角的数字为，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时，不存在阶梯形，不符合题意；
当时，，此时：，符合题意；
当时，，此时：，不存在阶梯形，不符合题意；
当时，，此时：，不存在正方形，不符合题意；
故选B．
5．D
【分析】本题考查了等式的性质以及有理数的乘法，直接根据有理数乘法法则计算即可；熟练掌握等式的性质和有理数的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：A、B、C选项两边同时乘以3，故不符合题意；
已知，因为，，所以；等式的两边乘同一个负数，结果仍相等，
故选：D；
6．B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该支球队胜场为场，则负场为 场，根据共积分25分列方程即可；解题的关键是弄清题中的数量关系．
【详解】解：设该支球队胜场为场，则负场为 场，
根据题意，可列方程：，
故选：B．
7．D
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【详解】、利用等式性质，两边都加，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都减去，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都乘，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、成立的条件是，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，结果仍相等．
8．B
【分析】根据前三个图形可得：第n个图形用了根火柴棒，共有个小正方形；然后根据规律逐一判断即得答案．
【详解】解：第一个图形用了7根火柴棒，，共有2个小正方形；
第二个图形用了12根火柴棒，，共有4个小正方形；
第三个图形用了17根火柴棒，，共有6个小正方形；
……，
所以第n个图形用了根火柴棒，共有个小正方形；
当时，第4个图形需要根火柴棒，故①正确；
当时，第5个图形共有个小正方形，故②正确；
若按所给方式依次搭出6个图形，则需要的火柴棒总数是，故③错误；
当时，解得，即它是第404个图形，故④正确；
综上，说法正确的是①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了规律探寻，正确得出规律是解题的关键．
9．C
【分析】题目中存在等量关系：生产螺栓的数量生产螺母的数量，据此可得到答案．
【详解】设现有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母．
根据生产螺栓的数量生产螺母的数量，得
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能根据题目中的等量关系得到方程是解题的关键．
10．A
【分析】根据数轴，由可得，结合，算出a值即可．
【详解】解：∵在数轴上，点A，B分别表示数a，b ，且，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数及解一元一次方程，熟练掌握有理数的计算是解题的关键．
11．D
【分析】由题意得出规律：动点、第（是正整数）次相遇时，，从而得出结论．
【详解】解：长方形中，cm，cm，由题意动点、第1次相遇时，；
动点、第2次相遇时，，即；
动点、第3次相遇时，，即；
规律是：动点、第（是正整数）次相遇时，，
动点、第10次相遇时，，即的值是秒；
故选D．
【点睛】本题考查了点的移动，解题关键是找出规律是：动点、第（是正整数）次相遇时，．
12．B
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，列出方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴且，
∴且，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
13．3
【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得的值，进而得出b的值，最后求出代数式的值即可．
【详解】解：
化简得：，
即：，
根据题意得：，
解得：，
∴．
故答案为：3．
14．2
【分析】方程移项后，系数化为1，即可求出解．
【详解】解：方程，
移项得：，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
15．
【分析】设盈利的一件衣服的原价为元，根据题意，列出方程求出盈利的衣服的原价，再根据卖这两件衣服不盈不亏，求出第二件衣服的原价，即可得解．
【详解】解：设盈利的一件衣服的原价为元，由题意得，
，
解得，
由于卖这两件衣服不盈不亏，
因此亏本的那件衣服的原价为元，
所以亏损率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
16．2
【分析】将代入方程即可得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：是方程的解，
，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，将代入方程是解题的关键．
17．7
【分析】根据题意得到，解出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
即当时，式子与的值相等．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，其步骤是：去分母、去括号、移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
18．10
【分析】将代入方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
19．
【分析】设时间为，温度为，根据表格可知每10分钟温度上升，得出，进而即可求解．
【详解】解：设时间为，温度为，
根据表格可知每10分钟温度上升，
当时，，
∴，
当时，
当时，，解得：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了列代数式的应用，根据题意得出温度与时间的关系式是解题的关键．
20．
【分析】设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据“一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒”列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21．(1)
(2)元
(3)总费用元，A套餐6份，套餐5份或A套餐3份，套餐3份，套餐5份
【分析】本题考查了应用类问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，
（1）由三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，即可得出他们点了份B套餐；
（2）依题意知：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，据此即可解答；
（3）依题意知：套餐5份，套餐份，A套餐份，再分情况讨论，列方程即可作答．
【详解】（1）解：因为三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，有5份小菜，
所以共点了5份C套餐，
因为只有B和C套餐中有饮料，一共点了x杯饮料，C套餐有5份，
所以他们点了份B套餐．
故答案为：；
（2）解：依题意：套餐5份，套餐：份，A套餐份，
所以(元)，
因为满150元，减24元，
所以实际花费为：(元)；
（3）解：因为只有套餐含小菜，所以依题意套餐点了5份；
因为有份饮料，所以套餐共份，
因为共11份盖饭，
所以A套餐份；
则优惠前的总费用为：（元）．
当满150优惠时：，
解得：，
故A套餐6份，套餐5份；
当满300优惠时：，
解得：，
故A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
∵消费满450元，减72元，所点的套餐优惠后的总费用为256元，
∴所点的套餐优惠前的总费用为，
∴不存在总费用满450元的情况．
综上，他们点的套餐是A套餐6份，套餐5份或A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)或．
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）先计算，再表示，从而可得答案；
（2）先分别表示，，再计算，结合乘法的分配律可得结论；
（3）由可得a，b，c，d有2个负数，可得，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵数轴上点A，B，C，D表示的数分别是a，b，c，d，且，，．
∴，
∴；
（2）∵，，．
∴，，而，
∴；
∵为整数，则为整数，
∴一定能被4整除．
（3）∵，
∴a，b，c，d都为正数或有2个负数，2个正数，或4个都是负数，
∵a，b，c，d中有两个数的和与相等，
∴a，b，c，d有2个负数，2个正数，
∵，
∴，
当，则，不符合题意；
当，则，不符合题意；
∴，解得：，
∴，不符合题意；
当，则，
∴，解得：，符合题意；
当，则，
∴，解得：，
∴，不符合题意；
当，则，
∴，解得：，符合题意；
当，则，不符合题意；
综上：或．
23．(1)钢笔的单价为21元，则毛笔的单价为25元
(2)①陈老师肯定搞错了，理由见解析；②签字笔的单价可能是2元或6元
【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的应用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．
（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了585元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设购买钢笔m支，则购买毛笔支，签字笔的单价为元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】（1）解：设钢笔的单价为元，则毛笔的单价为元，则
解得，
，
答：钢笔的单价为21元，则毛笔的单价为25元；
（2）解：①设购买钢笔支，则购买毛笔支，则
，
解得（不合题意），
∴陈老师肯定搞错了；
②设购买钢笔m支，则购买毛笔支，签字笔的单价为元，则
，
，
∵，都是整数，
∴应被4整除，
∴为偶数，
∵为小于10的整数，
∴可能为2，4，6，8，
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意，
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意，
∴签字笔的单价可能是2元或6元．
24．(1)6，2
(2)①；②
(3)或3或或
【分析】（1）两点间的距离公式求出的长，，求出的长，进而求出的长，进一步求出的长即可；
（2）①中点，求出的长，再用表示出即可；②用表示出，即可得出与的数量关系；
（3）分四种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：∵A、B两点对应的数分别是、12，
∴，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6，2；
（2）①∵长为x，
∴，
∴．
故答案为：；
②∵，
∴；
（3）∵点C运动到数轴上表示数，，
∴点E表示的数为；
当点P向x轴正方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：，
解得；
当点P向x轴正方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：，
解得；
当点P向x轴负方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：，
解得；
当点P向x轴负方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：，
解得．
综上所述：或3或或时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
【点睛】本题考查两点间的距离公式，线段中点有关的计算，列代数式，一元一次方程的应用．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键．
25．(1)1月份应缴电费170元
(2)“分档”计算电费：，“分档十分时”计算电费：
(3)该月峰时段的用电量为184度，谷时段的用电量为276度
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，整式加减的实际应用，有理数四则运算的实际应用．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档十分时”计算电费列出代数式即可；
（3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
（元），
答：1月份应缴电费170元；
（2）解：，
当时，则“分档”计算电费：；
当时，则“分档”计算电费：，
“分档”计算电费：，
峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是，
当时，则“分档十分时”计算电费：；
当时，则“分档十分时”计算电费：，
“分档十分时”计算电费：；
（3）解：（元），（元），（元），，
（度），
小阳同学家在这个月的用电量为：（度），
设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度，
由题意得：，
解得：，
则（度），
答：该月峰时段的用电量为184度，谷时段的用电量为276度．