江苏版高考物理一轮复习第1章第3节运动图像和追及相遇问题课时学案

这是一份江苏版高考物理一轮复习第1章第3节运动图像和追及相遇问题课时学案，共35页。试卷主要包含了直线运动的图像，追及和相遇问题等内容，欢迎下载使用。


一、直线运动的图像
1．x­t图像
(1)物理意义
反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。
(2)两种特殊的x­t图像
①若x­t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动。
②若x­t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。
(3)x­t图像中的“交点”“斜率”“截距”的意义
①交点：两图线有交点，说明两物体相遇。
②斜率：表示速度的大小及方向
③截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置，横轴截距表示位移为零的时刻。
2．v­t图像
(1)物理意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
(2)两种特殊的v­t图像
①若v­t图像是一条与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。
②若v­t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。
(3)v­t图像中的“交点”“斜率”“截距”的意义
①图像的斜率：v­t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动。
②v­t图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移。
t轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点。
二、追及和相遇问题
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)无论是x­t图像还是v­t图像都只能描述直线运动。(√)
(2)x­t图像交点表示相遇，v­t图像的交点表示速度相同。(√)
(3)x­t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。(×)
(4)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者时，后者速度必须大于前者。(×)
(5)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。(√)
(6)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。(√)
二、教材习题衍生
1. (x­t图像)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图像，已知甲对应的是图像中的直线，乙对应的是图像中的曲线，则下列说法正确的是( )
A．甲做匀减速直线运动
B．乙做匀速直线运动
C．0～t1时间内两物体平均速度大小相等
D．两物体的运动方向相反
D [结合题意分析题图易知，题图中图像的斜率等于速度，知甲沿负方向做匀速直线运动，故A项错误；乙图线切线的斜率不断增大，说明乙的速度不断增大，做变速直线运动，故B项错误；根据坐标的变化量等于位移知，0～t1时间内两物体位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C项错误；根据图像的斜率等于速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，即两物体的运动方向相反，故D项正确。]
2. (v­t图像)一质点做直线运动的v­t图像如图所示，下列选项正确的是( )
A．在2～4 s内，质点所受合外力为零
B．质点在0～2 s内的加速度比4～6 s内的加速度大
C．在第4 s末，质点离出发点最远
D．在0～6 s内，质点的平均速度为3 m/s
A [由题图可知，在2～4 s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A正确；由题图可知，质点在0～2 s内加速度大小为5 m/s2,4～6 s内加速度大小为10 m/s2，B错误；由题图可知，在第5 s末，质点离出发点最远，C错误；在0～6 s内，质点的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝5 m/s，D错误。]
3．(追及与相遇问题)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
B [在人跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m ＝7 m，人不能追上公共汽车，选项A、C错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。]
运动学图像
1．x­t图像与v­t图像的比较
2.三点说明
(1)x­t图像与v­t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
图像信息类问题
[典例1] 如图所示的x­t图像和v­t图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况。则下列说法不正确的是( )
A．甲车速度不变，乙车速度逐渐减小
B．t1时刻，甲的速度大于乙的速度
C．丙、丁两车在t2时刻相遇
D．t2时刻，丙的加速度大于丁的加速度
审题指导：解此题的关键有两点
(1)正确把握图像代表的物体运动规律。
(2)正确区分两类图像中交点、斜率的物理意义。
C [由x­t图像可知甲车做匀速直线运动，乙车做速度越来越小的变速直线运动，故A正确；x­t图像的斜率表示速度，t1时刻，甲图线的斜率大于乙图线的斜率，所以甲的速度大于乙的速度，故B正确；由v­t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，丙、丁两车在t2时刻没有相遇，故C错误；v­t图像的斜率表示加速度，t2时刻，丙图线的斜率大于丁图线的斜率，所以丙的加速度大于丁的加速度，故D正确。故选C。]
直线运动图像问题要根据物理情景中遵循的规律，由图像提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。具体分析过程如下：
[跟进训练]
x­t图像的应用
1．(2023·江苏无锡高三模拟)甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x­t)图像如图所示，由图像可以看出在0～4 s内( )
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．第2 s末，甲、乙两物体间的距离最大
C．甲的平均速度大于乙的平均速度
D．乙物体一直做匀加速直线运动
B [x­t图像的斜率表示速度，可知在0～2 s内甲、乙都沿正向运动，同向运动，在2～4 s内甲沿负向运动，乙仍沿正向运动，二者反向运动，故A错误；0～2 s 内两者同向运动，甲的速度大，两者距离增大，2 s后甲反向运动，乙仍沿原方向运动，两者距离减小，则第2 s末甲、乙两物体间的距离最大，故B正确；由题图知在0～4 s内甲、乙的位移都是2 m，平均速度相等，故C错误；根据x­t图像的斜率表示速度，可知乙物体一直做匀速直线运动，故D错误。]
2．(2023·江苏南京师大附中高考模拟)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4 s内( )
A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B．一直做匀变速运动
C．t＝2 s时速度一定最小
D．速率为5 m/s的时刻有两个
D [从题图中可知正向位移减小，故质点一直朝着负方向运动，A错误；图像的斜率表示速度大小，故斜率先增大后减小，说明物体速率先增大后减小，做变速运动，但不能判断是不是做匀变速直线运动，t＝2 s 时，斜率最大，速度最大，B、C错误；因为斜率先增大后减小，并且平均速度为5 m/s，故斜率增大过程中有一刻速率为5 m/s，斜率减小过程中有一刻速率为5 m/s，共有两个时刻速度大小为 5 m/s，D正确。]
v­t图像的应用
3．(2022·河北卷)科学训练可以提升运动成绩，某短跑运动员科学训练前后百米全程测试中，速度v与时间t的关系图像如图所示。由图像可知( )
A．0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度大
B．0～t2时间内，训练前、后运动员跑过的距离相等
C．t2～t3时间内，训练后运动员的平均速度小
D．t3时刻后，运动员训练前做减速运动，训练后做加速运动
D [根据v­t图像的斜率表示加速度，由图知0～t1时间内训练后运动员的平均加速度比训练前的小，故A错误；根据v­t图像围成的面积表示位移，由题图可知0～t2时间内，训练前运动员跑过的距离比训练后的大，故B错误；根据v­t图像围成的面积表示位移，由题图可知t2～t3时间内，训练后运动员的位移比训练前的位移大，根据平均速度等于位移与时间的比值可知，训练后运动员的平均速度大，故C错误；根据题图v­t图像可直接判断，t3时刻后，运动员训练前速度减小，做减速运动，运动员训练后速度增加，做加速运动，故D正确。故选D。]
4.甲、乙两同学相约去参观博物馆。两人同时从各自家中出发，沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化的图线为两段四分之一圆弧，则下列说法错误的是( )
A．在t1时刻，甲、乙两人速度相同
B．0～t2时间内，乙所走路程大于甲
C．在t3时刻，甲、乙两人加速度大小相等
D．0～t4时间内，甲、乙两人平均速率相同
A [因为两个人是相向运动的，说明运动方向相反，因此t1时刻速度方向相反，A错误；v­t图像中图线与时间轴所围的面积表示物体运动的位移大小，由于甲、乙均沿直线运动，因此可得0～t2时间内乙的路程大于甲的路程，B正确；v­t图像中图线的斜率表示加速度，t3时刻两图线交点恰好等分t2～t4时间内的圆周，因此由几何关系可得过交点圆的切线的斜率和乙的斜率大小相等，即甲、乙两人加速度大小相等，都为eq \f(v0,t2)，C正确；设四分之一圆弧半径为R，通过观察可以看出甲图线所围面积为S＝eq \f(1,4)πR2＋R2－eq \f(1,4)πR2＝R2，乙图线所围的面积为R2，说明甲、乙的路程相等，则平均速率相同，D正确。本题是选错误的选项，故选A。]
图像的转换
[典例2] 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a­t图像如图所示，则下列各v­t图像中可能正确描述此物体运动的是( )
A B
C D
D [物体在0～eq \f(T,2)时间内做加速度为a0的匀加速直线运动，eq \f(T,2)时刻速度达到最大值，在eq \f(T,2)～T时间内以最大速度做匀速直线运动，在T～eq \f(3T,2)时间内做加速度为a0的匀减速直线运动，a­t图线与t轴所围面积表示物体速度的变化量，可知eq \f(3T,2)时刻物体的速度减小为0，在eq \f(3T,2)～2T时间内物体开始反向做加速度大小为a0的匀加速直线运动，故选项D正确。]
图像的转换技巧
非常规图像的分析及应用
a­t图像
[典例3] 一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的描述正确的是( )
A．在1～2 s内，物体做减速运动
B．2 s末时物体的速度最大，大小为3 m/s
C．在1～3 s内，物体做匀变速直线运动
D．在0～4 s内，物体先沿正方向运动，后沿负方向运动
B [物体由静止开始运动，所以物体的速度的方向一定与开始时加速度的方向相同，由a­t图可知，该物体在第1 s内做匀加速直线运动，加速度的方向与速度的方向相同；在第2 s内，物体做加速度减小的加速运动，第3 s物体的加速度的方向与开始时相反，所以与速度的方向相反，物体做加速度增大的减速运动；第4 s内物体继续减速，结合运动的对称性可知，在4 s末物体的速度恰好减为0。由以上的分析可知，在第2 s内，物体做加速度减小的加速运动，故A错误；物体从第2 s末开始减速，所以在2 s末时物体的速度最大，结合图像的意义可知，2 s末物体的速度v＝eq \f(1＋2,2)×2 m/s＝3 m/s，故B正确；由图可知，在1～3 s内，物体的加速度不断变化，所以不是做匀变速直线运动，故C错误；由开始时的分析可知，物体在0～4 s内始终沿相同的方向运动，故D错误。]
a­t图像的信息
(1)由v＝v0＋at可知，v－v0＝at＝Δv，a­t图像与t轴所围面积表示物体速度的变化量。
(2)图像与纵轴的交点表示初始时刻的加速度。
eq \f(x,t)­t图像
[典例4] 一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的eq \f(x,t)­t的图像如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为 0.5 m/s 和－1 s，由此可知不正确的是( )
A．物体做匀加速直线运动的加速度大小为1 m/s2
B．物体做匀变速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5 m/s
D．物体的初速度大小为1 m/s
D [由图可得：eq \f(x,t)＝(0.5t＋0.5) m/s，由匀变速直线运动的位移－时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2得：eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，对比可得eq \f(1,2)a＝0.5 m/s2，则物体的加速度为a＝1 m/s2，初速度为v0＝0.5 m/s，可知，物体做匀加速直线运动，故A、B、C正确，D错误。]
eq \f(x,t)­t图像的信息
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2→eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at
可知：(1)eq \f(x,t)­t图线的斜率k＝eq \f(1,2)a；(2)图线与纵轴的交点表示物体的初速度。
v2­x图像
[典例5] (2023·徐州模拟)A、B两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方(v2)随位置(x)的变化规律如图所示，下列判断正确的是( )
A．汽车A的加速度大小为4 m/s2
B．汽车A、B在x＝4 m处的速度大小为2eq \r(2) m/s
C．从开始到汽车A停止前，当xA＝4 m时A、B相距最远
D．从开始到汽车A停止前，当xB＝4 m时A、B相遇
B [根据匀变速直线运动的速度—位移关系得v2＝veq \\al(2,0)＋2ax，由图线可知图像的斜率等于2a，对汽车A，则有2aA＝eq \f(0－24,6) m/s2，解得aA＝－2 m/s2，故A错误；设汽车A、B在x＝4 m处的速度大小为v，由图可知，对于汽车A，有veq \\al(2,0)＝24(m/s)2，得A的初速度为v0＝2eq \r(6) m/s，由v2－veq \\al(2,0)＝2ax得v＝eq \r(v\\al(2,0)＋2ax)＝eq \r(24＋2×－2×4) m/s＝2eq \r(2) m/s，故B正确；由题图可知，对于B车2aB＝eq \f(12,6) m/s2，解得aB＝1 m/s2，从开始到汽车A停止时，用时t＝eq \f(0－v0,aA)＝eq \r(6) s，此时B车的位移xB＝eq \f(1,2)aBt2＝3 m，故A车停止后，B车才追上A车，故当xB＝6 m时A、B相遇，故D错误；当两车速度相等时，AB相距最远，有v0＋aAt′＝aBt′，解得t′＝eq \f(2\r(6),3) s，此时xA＝v0t′＋eq \f(1,2)aAt′2＝eq \f(16,3) m，故C错误。故选B。]
v2­x图像的信息
v2－veq \\al(2,0)＝2ax→v2＝veq \\al(2,0)＋2ax
可知：(1)v2­x图像的斜率k＝2a；(2)图线与v2轴的交点表示物体的初速度的平方，即veq \\al(2,0)。
追及、相遇问题
1．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
2．追及、相遇问题的常见情景
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情境：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB追及、相遇问题的常用分析方法
1.临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
2．函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
3．图像法
(1)若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
[典例1] (一题多法)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。
[解析] 方法一：临界法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA＝v0t＋eq \f(1,2)×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝eq \f(1,2)at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝eq \r(6as)
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0方法二：函数法
利用判别式求解，由方法一可知sA＝s＋sB
即v0t＋eq \f(1,2)×(－2a)×t2＝s＋eq \f(1,2)at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0方法三：图像法
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，此时vA＝vB＝v′，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′
对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝eq \f(v0,3a)
经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝eq \f(1,2)v0·t′＝eq \f(1,2)v0·eq \f(v0,3a)＝eq \f(v\\al(2,0),6a)，所以要使两车不相撞，s>eq \f(v\\al(2,0),6a)，A车的初速度v0应满足的条件是v0[答案] v0 牢记“一个思维流程”
[跟进训练]
函数法
1．(2023·淮阴中学高三检测)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
[解析] 解法一(临界法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝eq \f(v,a)＝2 s
Δx＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m。
解法二(函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δx＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m。
[答案] 2 s 6 m
临界法
2．强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h 的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝5 m、货车车身长L2＝8 m，货车在甲车前 s＝3 m处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为 2 m/s2。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。
[解析] 本题考查追及问题在交通问题中的应用。
(1)甲车速度v1＝36 km/h＝10 m/s
货车速度v2＝36 km/h＝10 m/s，设甲车经过时间t刚好完成超车，在时间t内
甲车位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2
货车位移x2＝v2t
根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s
代入数据解得t＝4 s
甲车完成超车至少需要的时间为4 s。
(2)乙车速度v3＝54 km/h＝15 m/s
假设甲车在4 s内能安全超车，
甲车位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2＝56 m
乙车位移x3＝v3t＝60 m
由于x1＋x3＝116 m>110 m，故甲车不能安全超车。
[答案] (1)4 s (2)不能安全超车
与运动图像相结合的追及、相遇问题
近几年的高考追及和相遇问题常以v­t图像或x­t 图像的形式考查，用图像描述两物理量关系时，比较直观、形象且信息量大，体现了数形结合法的应用。
[典例2] (2023·淮安模拟)如图所示是模拟在某高速公路上的甲、乙两车刹车过程中的v­t图像，甲车在后，乙车在前。若两车发生追尾，则以下判断正确的是( )
A．两车一定是在t＝15 s至t＝20 s之间的某时刻发生追尾
B．两车可能是在t＝8 s时发生追尾
C．t＝0时刻两车间距可能大于28 m
D．甲车刹车的加速度大小是乙车的3倍
B [根据速度—时间图像可知，15～20 s内，甲车的速度小于乙车，不可能发生追尾，选项A错误；0～10 s内任一时刻，甲车的速度大于乙车，这个时间段内可能发生追尾，选项B正确；t＝10 s时两车的速度大小均为5 m/s，在v­t图像中，图像与t轴所围成的面积表示位移，0～10 s内，甲车位移大小x1＝eq \f(5＋15,2)×10 m＝100 m，乙车位移大小x2＝eq \f(5＋10,2)×10 m＝75 m，因两车发生追尾，所以两车间距离应小于Δx＝x1－x2＝25 m，选项C错误；根据速度—时间图像的斜率表示加速度可得甲的加速度大小a1＝eq \f(15－0,15) m/s2＝1 m/s2，乙的加速度大小a2＝eq \f(10－0,20) m/s2＝0.5 m/s2，则a1＝2a2，选项D错误。]
[跟进训练]
1. (2022·江苏省三校联考)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶。其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x­t图像如图所示。则乙车追上甲车前两车间的最大距离为( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
C [由题知，v甲＝eq \f(100,5) m/s＝20 m/s，由x＝eq \f(1,2)at2解得a＝8 m/s2，可知v乙＝at＝8t。将x­t图像转化为v­t图像，如图所示。v­t图像与t轴围成的图形面积表示位移，可知t＝2.5 s时，甲、乙速度相等，此时相距最远，所以最大距离是阴影部分面积，即25 m，故选C。]
2．具有我国自主知识产权的“歼­10”飞机的横空出世，证实了我国航空事业在飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图a所示。在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10 m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车。在弹射装置使甲车获得v0＝40 m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v­t图像如图b所示，设两车始终未相撞。
a b
(1)若甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，求甲、乙两车的质量比；
(2)求两车相距最近时的距离。
[解析] (1)由题图b可知：
甲车加速度的大小
a甲＝eq \f(40－10,t1) m/s2
乙车加速度的大小a乙＝eq \f(10－0,t1) m/s2
因甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，所以有：m甲a甲＝m乙a乙
解得eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(1,3)。
(2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10 m/s，此时两车相距最近
对乙车有：v＝a乙t1
对甲车有：v＝a甲(0.4－t1)
可解得t1＝0.3 s
车的位移等于v­t图线与时间轴所围的面积，则
x甲＝eq \f(40＋10×0.3,2) m＝7.5 m，
x乙＝eq \f(10×0.3,2) m＝1.5 m
两车相距最近时的距离为
xmin＝x0＋x乙－x甲＝4 m。
[答案] (1)eq \f(1,3) (2)4 m
运动学是高中物理最重要、最基础的内容，与生活、体育、交通有紧密的联系，是高考命题的重点和热点。分析此类问题的关键是物理模型的构建，即将题给情景、过程、条件等转化为基本的运动学问题分析。通过对近几年高考STSE热点问题的归类研究，可归纳出以下三个STSE高考命题热点。
以体育运动为背景的多过程问题
[示例1] 如图所示是某一次接力训练。已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为3 m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在某次练习中，甲以v＝10 m/s 的速度跑到接力区前端x0＝14.0 m处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20 m。求：
(1)此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令；
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
[解析] (1)设乙加速到交接棒时运动时间为t，
则在甲追乙过程中有：x0＋eq \f(1,2)at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s
t2＝eq \f(14,3) s(不符合乙加速最长时间tm＝eq \f(v,a)＝eq \f(10,3) s实际，舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：
x1＝eq \f(1,2)at2＝6 m。
(2)乙加速时间为：t乙＝eq \f(10,3) s
设甲在距离接力区前端为x′时对乙发出起跑口令，则在甲追乙过程中有：x′＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,乙)＝vt乙
代入数据得：x′＝eq \f(50,3) m。
(3)棒在(2)过程以v＝10 m/s速度运动，所以有：
t＝eq \f(L,v)＝2 s。
[答案] (1)6 m (2)eq \f(50,3) m (3)2 s
以生活科技为背景的实际应用问题
[示例2] 高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为( )
A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m
D [汽车的运动过程分为两个阶段，在识别时间内和司机反应内汽车做匀速运动，然后减速刹车。汽车匀速运动的速度v＝21.6 km/h＝6 m/s，在识别车载电子标签的0.3 s时间内汽车匀速运动距离x1＝vt1＝6×0.3 m＝1.8 m，在司机的反应时间0.7 s内汽车匀速运动距离x2＝vt2＝6×0.7 m＝4.2 m，刹车距离x3＝eq \f(v2,2a)＝3.6 m，该ETC通道的长度约为x＝x1＋x2＋x3＝9.6 m，所以只有选项D正确。]
以交通安全为背景的综合应用问题
[示例3] 为了最大限度地减少道路交通事故，某地开始了“集中整治酒后驾驶违法行为”专项行动。这是因为一般驾驶员酒后的反应时间比正常时慢了0.1～0.5 s，易发生交通事故。下图是《驾驶员守则》中的部分安全距离表格和安全距离图示。
请根据该图表回答下列问题(结果保留2位有效数字)：
(1)请根据表格中的数据计算驾驶员的反应时间；
(2)如果驾驶员的反应时间相同，请计算出表格中A的数据；
(3)假设在同样的路面上，一名饮了少量酒的驾驶员驾车以72 km/h速度行驶，在距离一学校门前52 m处发现有一队学生在斑马线上横过马路，他的反应时间比正常时慢了0.2 s，会发生交通事故吗？
[解析] (1)车速v1＝40 km/h＝eq \f(100,9) m/s
由于在反应时间内汽车仍匀速行驶，根据车速v和反应距离s，可计算驾驶员的反应时间Δt＝eq \f(s1,v1)＝0.90 s，即驾驶员的反应时间为0.90 s。
(2)如果驾驶员的反应时间相同，由eq \f(s1,v1)＝eq \f(s3,v3)可计算出表格中A的数据为s3＝eq \f(s1v3,v1)＝20 m，即表格中数据A为20。
(3)车速v＝72 km/h＝20 m/s
反应时间Δt1＝0.90 s＋0.2 s＝1.1 s
驾驶员的反应距离s＝vΔt1＝20×1.1 m＝22 m
设刹车距离为x，由比例法eq \f(v2,x)＝eq \f(v\\al(2,1),x1)
即x＝eq \f(v2x1,v\\al(2,1))＝eq \f(722×10,402) m＝32.4 m
停车距离L＝s＋x＝54.4 m
由于停车距离L>52 m，故会发生交通事故。
[答案] (1)0.90 s (2)20 (3)会
课时分层作业(三) 运动图像和追及相遇问题
题组一 运动学图像的理解和应用
1．(2023·江苏扬州中学高考模拟)如图所示，直线和抛物线(开口向上)分别为汽车a和b的位移—时间图像，则下列说法不正确的是( )
A．0～1 s时间内a车的平均速度大小比b车的小
B．0～3 s时间内a车的路程比b车的小
C．0～3 s时间内两车的平均速度大小均为1 m/s
D．t＝2 s时a车的加速度大小比b车的大
D [根据图像可知，0～1 s内b的位移大于a的位移，时间相等，则b的平均速度大于a的平均速度，故A正确；0～3 s时间内a车的路程为3 m，b车的路程为s＝s1＋s2＝4 m＋1 m＝5 m，故B正确；0～3 s时间内两车的位移均为－3 m，平均速度大小均为1 m/s，故C正确；a车做匀速直线运动，加速度为零，b车运动的加速度大小恒定且不等于零，故D错误。]
2．(2022·盐城二模)A、B两物体沿同一直线运动，运动过程中的x­t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．4 s时A物体运动方向发生改变
B．0～6 s内B物体的速度逐渐减小
C．0～5 s内两物体的平均速度相等
D．0～6 s内某时刻两物体的速度大小相等
D [A物体的x­t图线是一条倾斜的直线，所以A物体做匀速直线运动，且速度为vA＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(－2－4,6) m/s ＝－1 m/s，物体运动方向没有改变，故选项A错误；0～6 s内B物体的x­t图线的斜率增大，则B物体的速度逐渐增大，故选项B错误；0～5 s 内，A物体的位移ΔxA＝－1 m－4 m＝－5 m，B物体的位移ΔxB＝－1 m－(－4 m)＝3 m，所以A、B两物体在0～5 s内位移不相等，则平均速度不相等，故选项C错误；0～6 s内，A物体的位移Δx′A＝－2 m－4 m＝－6 m，B物体的位移Δx′B＝2 m－(－4 m)＝6 m，则|Δx′A|＝|Δx′B|，A物体做匀速直线运动，B物体的速度逐渐增大，则在0～6 s内某时刻两物体的速度大小相等，故选项D正确。]
3.一玩具小车沿x轴运动，其v­t 图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．第1 s内和第4 s内，小车的加速度大小相等、方向相同
B．0～3 s内，小车的平均速度为5 m/s
C．t＝3 s时，小车的速度大小为5 m/s，方向沿x轴正方向
D．第2 s内和第3 s内，小车位移相同
A [v­t图像的斜率表示加速度，可知小车在第1 s内和第4 s内的加速度大小均为a＝eq \f(Δv,Δt)＝5 m/s2，方向均为正方向，故A正确；由v­t图像与t轴围成图形的面积表示位移，可知小车在0～3 s内的位移为2.5 m，eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)＝eq \f(2.5,3) m/s＝eq \f(5,6) m/s，故B错误；t＝3 s时，小车的速度大小为5 m/s，方向沿x轴负方向，故C错误；根据图像可知，第2 s内和第3 s内小车位移大小相等，方向相反，故D错误。]
4.公共汽车进站时，刹车过程的加速度—时间图像如图所示，若它在6 s时恰好停在站台处，已知公共汽车质量约为5 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则汽车在( )
A．0到6 s内的位移约等于30 m
B．0时刻的速度约为28 km/h
C．4 s时的加速度约为0.5 m/s2
D．4 s时受到外力的合力约为2 500 N
B [a­t图像与t轴所围的面积表示速度的变化量，由题图可知速度的变化量大小约为Δv＝2×0.5 m/s＋eq \f(1,2)(3＋6)×1.5 m/s＝7.75 m/s，所以0时刻的速度约为v0＝Δv＝7.75 m/s≈28 km/h，又因为公共汽车做加速度逐渐减小的减速运动，故0～6 s内的位移满足x5．(2021·辽宁卷)某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是( )
A B
C D
A [x­t图像斜率的物理意义是速度，在0～t1时间内，x­t图像斜率增大，汽车的速度增大；在t1～t2时间内，x­t图像斜率不变，汽车的速度不变；在t2～t3时间内，x­t图像的斜率减小，汽车做减速运动，综上所述可知A中v­t图像可能正确。故选A。]
题组二 追及相遇问题
6．(2023·锡山高三调研)通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和在1.39～1.98 s之间。若高速公路上两辆汽车行驶的速度均为100 km/h，刹车时的加速度大小相同，前车发现紧急情况立即刹车，后车发现前车开始刹车时，也立刻采取相应措施。为避免两车追尾，两车行驶的间距至少应为( )
A．39 m B．55 m
C．100 m D．139 m
B [由于两车的加速度相同，所以两车行驶的安全距离即为汽车在反应时间内的位移，有Δx＝eq \f(100,3.6)×1.98 m＝55 m，故B正确。]
7.甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v­t图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
A．在第10 s末，乙车改变运动方向
B．在第10 s末，甲、乙两车相距150 m
C．在第20 s末，甲、乙两车可能相遇
D．第20 s末两者相距最近
C [由图知，乙车的速度一直为正，说明乙一直沿正方向运动，运动方向没有改变，故A错误； 在第10 s末，甲通过的位移比乙的位移大，但由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇或者什么时候相遇，故B错误，C正确；第20 s末，甲、乙两车的位移之差最大，但由于两车出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离是否最小，故D错误。]
8．(2023·宿迁中学质量检测)冬天雾霾天气频繁出现。某日早晨浓雾天气中道路能见度只有30 m，且路面湿滑。一辆小汽车以18 m/s的速度由南向北行驶，某时刻，突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以 6 m/s的速度同向匀速行驶，于是，司机鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能以2 m/s2的加速度减速行驶。前车接到示警于2 s后以2 m/s2的加速度加速行驶。以下说法正确的是( )
A．前、后车因都采取了必要的加、减速运动，所以不会追尾
B．前、后车虽采取了加、减速运动，但加速度过小，仍会发生追尾
C．在前车开始加速时，两车仅相距9 m
D．两车距离最近时只有4 m
A [设经时间t两者共速，则18－2t＝6＋2×(t－2)，解得t＝4 s，此时间内后车的位移x1＝18×4 m－eq \f(1,2)×2×42 m＝56 m，前车的位移x2＝6×2 m＋6×2 m＋eq \f(1,2)×2×22 m＝28 m，因x2＋30 m>x1，可知两车不会追尾，此时两车相距最近，距离为28 m＋30 m－56 m＝2 m，选项A正确，BD错误；在前车开始加速时，两车相距(30＋6×2) m－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(18×2－\f(1,2)×2×22))m＝10 m，选项C错误。]

9．如图所示，四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
甲 乙
丙 丁
A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于eq \f(v0t0,2)
B．乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D．丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
D [题图甲中，因v­t图像与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于eq \f(v0t0,2)，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝eq \f(15,15) m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，由图像可知a＝10 m/s2，v0＝－5 m/s，则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确。]
10．(2023·南京模拟)汽车的设计、竞技体育的指导、宇航员的训练等多种工作都会用到急动度的概念。急动度j是加速度变化量Δa与发生这一变化所用时间Δt的比值，即j＝eq \f(Δa,Δt)，它的方向与物体加速度变化量的方向相同。一物体从静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化关系如图所示，则该物体在( )
A．1～3 s内做减速运动
B．0～5 s内速度方向发生改变
C．t＝2 s时和t＝4 s时加速度等大反向
D．t＝2 s时和t＝4 s时急动度等大反向
C [1～3 s内加速度为正值，做加速度减小的加速运动，故A错误；与时间轴所围面积为物体的速度，故0～5 s内物体的速度始终为正值，故速度方向不变，故B错误；由题图图像可知，t＝2 s时和t＝4 s时加速度等大反向，故C正确；t＝2 s时和t＝4 s时，斜率相同，故急动度相同，故D错误。]
11．(2023·江阴高三期末考试)某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s，v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车只是立即刹车，则轿车要经过x＝160 m才停下来。两车可视为质点。
(1)轿车刹车后减速运动的加速度大小？
(2)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞？
(3)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝2 s收到信号并立即以大小a2＝2.5 m/s2的加速度加速前进，通过计算分析两车会不会相撞？
[解析] (1)轿车经过x＝160 m才停下来的过程中，由veq \\al(2,1)＝2a1x得：轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2。
(2)假设恰好不相撞时两车的速度相等，即：v1－a1t1＝v2
得t1＝eq \f(v1－v2,a1)＝3 s。
轿车前进的距离s1＝eq \f(v1＋v2,2)t1＝97.5 m
货车前进的距离s2＝v2t1＝75 m，
因为s1－s2＝22.5 m＞x0，即两车会相撞。
(3)假设恰好不相撞时两车的速度相等，即：
v1－a1t＝v2＋a2(t－t0)
轿车前进的距离s′1＝v1t－eq \f(1,2)a1t2
货车前进的距离s′2＝v2t0＋v2(t－t0)＋eq \f(1,2)a2(t－t0)2
解得s′1＝eq \f(800,9) m，s′2＝eq \f(605,9) m
因为s′1－s′2≈21.7 m＜x0，两车不会相撞。
[答案] (1)5 m/s2 (2)两车会相撞 (3)两车不会相撞
12．如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直的公路上相向做匀速直线运动，速度大小分别为v1＝25 m/s 和v2＝20 m/s，为了会车安全，两车车头距离d＝95 m时，同时开始做匀减速运动，轿车和卡车匀减速的加速度大小均为a＝5 m/s2，两车减到速度为v＝10 m/s时，又保持匀速直线运动，轿车车身全长L1＝5 m，卡车车身全长L2＝15 m。
(1)当轿车速度刚减到10 m/s时，两车是否已相遇？
(2)两车的会车时间是多少(会车时间指从两车车头相遇至车尾分离的时间)?
[解析] (1)设轿车减速时间为t1, 卡车减速时间为t2，则
t1＝eq \f(v1－v,a)＝3 s
t2＝eq \f(v2－v,a)＝2 s
则轿车在3 s内减速的位移为
x1＝eq \f(v1＋v,2)t1＝52.5 m
3 s内卡车先减速2 s，再匀速运动1 s，则卡车3 s内的位移为
x2＝eq \f(v2＋v,2)t2＋v(t1－t2)＝40 m
x1＋x2＝92.5 m<95 m
故两车未相遇。
(2)设会车时间为Δt，则
vΔt＋vΔt＝L1＋L2
解得Δt＝1 s。
[答案] (1)两车未相遇 (2)1 s
13．(2023·张家港模拟)甲、乙两辆汽车，在同一条平直的公路上同向行驶，汽车甲在前，速度v甲＝10 m/s，汽车乙在后，速度v乙＝30 m/s。由于天气原因，当两汽车的距离为x0＝75 m时，乙车的司机发现前方的汽车甲，立即以最大的加速度刹车，但汽车乙需行驶180 m才能停下。
(1)通过计算判断如果甲车仍以原来的速度行驶，两车是否会发生碰撞；
(2)通过(1)问中的计算，如果两车会相碰，则乙车刹车的同时马上闪大灯提示甲车，甲车的司机经过Δt＝4 s的时间才加速前进。则为了避免两车相碰，甲车加速时的加速度至少为多大？
[解析] (1)乙车刹车至停下来的过程中，有
0－veq \\al(2,乙)＝2a乙x
解得a乙＝－eq \f(v\\al(2,乙),2x)＝－2.5 m/s2
画出甲、乙两辆汽车的v­t图像如图所示，
根据图像计算出两辆汽车速度相等时的位移分别为
x甲＝10×8 m＝80 m
x乙＝eq \f(30＋10,2)×8 m＝160 m
因x乙>x0＋x甲＝155 m
故两车会相撞。
(2)设甲车的加速度为a甲时两车恰好不相撞，则经过时间t两车速度相等时，有
v乙＋a乙t＝v甲＋a甲(t－Δt)
此时乙车的位移x乙＝v乙t＋eq \f(1,2)a乙t2
甲车的位移x甲＝v甲Δt＋v甲(t－Δt)＋eq \f(1,2)a甲(t－Δt)2
为使两车不相撞，两车的位移关系应满足x乙≤x0＋x甲
联立以上各式解得a甲≥eq \f(5,6) m/s2
即甲车的加速度至少为eq \f(5,6) m/s2。
[答案] (1)见解析 (2)eq \f(5,6) m/s2x­t图像
v­t图像
图像示例
图线含义
图线①表示质点沿正方向做匀速直线运动(斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速直线运动
图线③表示质点沿负方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
交点④表示此时三个质点相遇
交点④表示此时三个质点有相同的速度
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分的面积表示质点在0～t1时间内的位移)
车速v/(km/h)
反应距离s/m
刹车距离x/m
40
10
10
60
15
22.5
80
A
40