江苏版高考物理一轮复习第9章第2节磁场对运动电荷的作用课时学案

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(对应学生用书第228页)
一、洛伦兹力的大小和方向
1．定义：磁场对运动电荷的作用力。
2．大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ。
3．方向
(1)判定方法：左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。(注意B和v可以有任意夹角)
4．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，只改变带电粒子速度的方向，洛伦兹力对带电粒子不做功。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
2．若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝meq \f(v2,r)；
(2)轨道半径公式：r＝eq \f(mv,Bq)；
(3)周期公式：T＝eq \f(2πm,qB)。
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与运动速度和轨迹半径无关，只与粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关。
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝eq \f(θ,2π)T。
(5)动能：Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(p2,2m)＝eq \f(Bqr2,2m)。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。(×)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。(×)
(3)根据公式T＝eq \f(2πr,v)，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。(×)
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。(√)
(5)经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。(×)
(6)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观点。(√)
(7)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。(√)
二、教材习题衍生
1．(洛伦兹力的方向)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是( )
A B
C D
[答案] B
2．(带电粒子在匀强磁场中的运动)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的( )
A．轨道半径减小，角速度增大
B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大
D．轨道半径增大，角速度减小
D [带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度v大小不变，磁感应强度B减小，由公式r＝eq \f(mv,qB)可知，轨道半径增大；根据ω＝eq \f(v,r)知角速度减小，选项D正确。]
3.(带电粒子在匀强磁场中的运动)(2022·江苏卷)利用云室可以知道带电粒子的性质。如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比la∶lb＝3∶1，半径之比ra∶rb ＝6∶1。不计重力及粒子间的相互作用力。求：
(1)粒子a、b的质量之比ma∶mb。
(2)粒子a的动量大小pa。
[解析] (1)设分裂后粒子的电荷量为q，粒子做圆周运动的线速度分别为va，vb
两粒子的线速度之比eq \f(va,vb)＝eq \f(\f(la,t),\f(lb,t))＝eq \f(la,lb)＝3，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,r)
解得m＝eq \f(qBr,v)
两粒子质量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(\f(qBra,va),\f(qBrb,vb))＝eq \f(ravb,rbva)＝6×eq \f(1,3)＝2。
(2)由(1)可知va＝3vb，ma＝2mb，
粒子分裂前的质量m＝ma＋mb＝1.5ma，
粒子分裂过程中系统动量守恒，以粒子的初速度方向为正方向
由动量守恒定律得mv＝mava＋mbvb
粒子a的动量大小pa＝mava
解得pa＝eq \f(6,7)mv。
[答案] (1)2∶1 (2)eq \f(6,7)mv
对洛伦兹力的理解和应用
(对应学生用书第229页)
1．(洛伦兹力的理解)下列说法正确的是( )
A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子不做功
D [运动电荷速度方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速度大小；洛伦兹力对带电粒子不做功，故D正确。]
2.
(2022·江苏模拟)如图所示，空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，现用一水平放置的轻质光滑绝缘木板托着一个质量为m的带电微粒，电荷量为＋q，初始时微粒处于静止状态，在机械外力F的作用下，木板以速度v0竖直向上做匀速运动，不计微粒重力，轻板足够长。下列说法错误的是( )
A．粒子运动的轨迹为抛物线
B．运动过程中，洛伦兹力水平方向的分力不做功
C．机械外力F与时间成正比
D．在某一时刻t0撤去力和木板，微粒做圆周运动的周期与t0无关
B [粒子所受洛伦兹力在水平方向的分力提供加速度，在竖直方向的分力与微粒和板的作用力相等。
微粒具有竖直向上的初速度，且受到向左的洛伦兹力，故运动轨迹是抛物线，故A正确，不符合题意；微粒沿水平方向不断加速，所以洛伦兹力水平方向上的分力做正功，故B错误，符合题意；微粒有向左的水平分速度v1，洛伦兹力沿竖直方向的分力f1与F相等，有F＝f1＝qv1B，v1＝at，qv0B＝ma，联立解得F＝eq \f(q2B2v0t,m)，F与t成正比关系，故C正确，不符合题意；根据T＝eq \f(2πR,v)，qvB＝eq \f(mv2,R)，可知T＝eq \f(2πm,qB)，所以微粒做圆周运动的周期与t0无关，故D正确，不符合题意。本题选择错误选项，故选B。]
3．(洛伦兹力与电场力的比较)如图甲所示，带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平向里的匀强磁场(如图乙)，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2，若加上水平向右的匀强电场(如图丙)，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场(如图丁)，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4。不计空气阻力，则( )
甲 乙 丙 丁
A．一定有h1＝h3
B．一定有h1＜h4
C．一定有h2D．h1与h2无法比较
A [题图甲中，由竖直上抛运动的最大高度公式得h1＝eq \f(v\\al(2,0),2g)，题图丙中，当加上电场时，由运动的分解可知，在竖直方向上，有veq \\al(2,0)＝2gh3，得h3＝eq \f(v\\al(2,0),2g)，所以h1＝h3，故A正确；题图乙中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得mgh2＋Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，又由于eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgh1，所以h1＞h2，D错误；题图丁中，因小球电性未知，则电场力方向不确定，则h4可能大于h1，也可能小于h1，因为h1>h2，所以h2与h4也无法比较，故B、C错误。]

1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
带电粒子在匀强磁场中的运动
(对应学生用书第230页)
一、求解带电粒子在匀强磁场中的运动的三要点
1．两种方法定圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。
甲 乙
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示)。
2．几何知识求半径
利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
3．求时间的两种方法
方法一：由运动弧长计算，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)；
方法二：由旋转角度计算，t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))。
二、三类边界磁场中的轨迹特点
1．直线边界：进出磁场具有对称性。
(a) (b) (c)
2．平行边界：存在临界条件。
(d) (e) (f)
3．圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。
(g) (h)
[典例] (一题多变)如图所示，半径为R的圆是一圆
柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为eq \f(R,2)，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( )
A.eq \f(qBR,2m) B．eq \f(qBR,m)
C．eq \f(3qBR,2m) D．eq \f(2qBR,m)
审题指导：解此题关键有两点：
(1)射入点与ab的距离为eq \f(R,2)，由此可确定射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角是30°。
(2)粒子的偏转角是60°，由此确定粒子的轨迹圆弧对应的圆心角为60°。
B [如图所示，粒子做圆周运动的圆心O2必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF上，由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°，故圆弧ENM对应圆心角为60°，所以△EMO2为等边三角形。由于O1D＝eq \f(R,2)，所以∠EO1D＝60°，△O1ME为等边三角形，所以可得到粒子做圆周运动的半径EO2＝O1E＝R，由qvB＝eq \f(mv2,R)，得v＝eq \f(qBR,m)，B正确。]
[变式1] 此[典例]中，带电粒子在圆柱形匀强磁场区域中的运行时间为( )
A.eq \f(πm,6qB) B．eq \f(πm,3qB)
C．eq \f(2πm,3qB) D．eq \f(πm,qB)
B [粒子在磁场中做圆周运动，转过的圆心角θ＝60°，则在磁场中运行时间t＝eq \f(θ,360°)T＝eq \f(60°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,3qB)，B项正确。]
[变式2] 此[典例]中，若带电粒子对准圆心沿直径ab的方向射入磁场区域，粒子射出磁场与射入磁场时运动方向的夹角仍为60°，则粒子的速率为( )
A.eq \f(qBR,2m) B．eq \f(qBR,m) C．eq \f(\r(3)qBR,m) D．eq \f(\r(3)qBm,R)
C [由题意粒子运动轨迹如图所示，则∠aO2c＝60°，∠aO1c＝120°。由几何知识得r＝eq \r(3)R，又qvB＝meq \f(v2,r)，则v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(\r(3)qBR,m)，C项正确。]
[变式3] 此[典例]中，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
D [因带电粒子的速率不变，
由qvB＝eq \f(mv2,r)得r＝R，
则粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得
∠EO2F＝120°，D项正确。]
无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤：
[跟进训练]
带电粒子在直线边界磁场中的运动
1.如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计重力，下列说法正确的有( )
A．a、b均带负电
B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短
D．a在P上的落点与O点的距离比b的小
D [根据左手定则可知a、b均带正电，a、b离子做圆周运动的半径都为R＝eq \f(mv,qB)，画出轨迹如图所示，以O1、O2为圆心的两圆弧分别为b、a的轨迹，a在磁场中转过的圆心角大，由t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(θm,qB)和轨迹图可知D选项正确。]
带电粒子在平行边界磁场中的运动
2.在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
A.eq \f(1,3)kBL,0° B．eq \f(1,2)kBL,30°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
C [符合条件的粒子有两种情况：奇数次回旋后从P点射出，由几何关系显然有：(2n＋1)R＝L，由洛伦兹力提供向心力qvB＝eq \f(mv2,R)，联立得到v＝eq \f(qBR,m)＝
eq \f(1,2n＋1)kBL(n＝0、1、2…)，这种情况粒子从P点出射时，出射方向与入射方向成60°。偶数次回旋后从P点射出，由几何关系显然有(2n)R＝L，由洛伦兹力提供向心力：qvB＝eq \f(mv2,R)，联立得到v＝eq \f(qBR,m)＝eq \f(1,2n)kBL(n＝1、2、3…)，这种情况粒子从P点出射时，方向与入射方向相同；综上所述，结合题目所给的选项可知，A、B错误，C正确。若v＝2kBL，则R＝2L，则由几何关系可知，其圆心恰好在磁场的右边界线上，那么粒子不会从P点离开磁场，故D错误。故选C。]
带电粒子在圆形边界磁场中的运动
3.(2023·金陵中学模拟预测)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为( )
A.eq \r(3)∶2 B．eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
C [
甲 乙
相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP′的长度必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径2r1，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1＝eq \f(1,2)R。其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP′对应的圆弧内。同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示。由几何关系知r2＝eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)R，可得r2∶r1＝eq \r(3)∶1。因为m、q、B均相同，由公式r＝eq \f(mv,qB)可得v∝r，所以v2∶v1＝eq \r(3)∶1。故选C。]
带电粒子在三角形、矩形边界磁场中的运动
4.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形abc，一束带正电的相同粒子以不同的速度v沿bc方向从b点射入磁场，不计粒子的重力。关于粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．入射速度越大的粒子，在磁场中的运动时间越长
B．入射速度越大的粒子，在磁场中的运动轨迹越长
C．从ab边出射的粒子在磁场中的运动时间都相等
D．从ac边出射的粒子在磁场中的运动时间都相等
C [带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹半径r＝eq \f(mv,qB)，速度越大，半径越大，从ac边出射的粒子，速度越大，运动轨迹越短，对应的圆心角θ越小，根据t＝eq \f(θ,2π)T和T＝eq \f(2πm,qB)可知，粒子在磁场中的运动时间越短，选项A、B、D错误；从ab边出射的粒子速度的偏向角都相同，而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角，由t＝eq \f(θ,2π)T可知，粒子在磁场中的运动时间相等，选项C正确。]
5.(2019·北京卷)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
C [由左手定则知，粒子带负电，A错。由于洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B错。由R＝eq \f(mv,qB)， 若仅减小磁感应强度B，R变大，则粒子可能从b点右侧射出，C对。由R＝eq \f(mv,qB)，若仅减小入射速率v, 则R变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大。由t＝eq \f(θ,2π)T，T＝eq \f(2πm,qB)知，运动时间变长，D错。]
带电粒子在多边形边界磁场中的运动
6.如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( )
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
A [如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝eq \f(2,3)π，当带电粒子的速率为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝eq \f(π,3)，根据qvB＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \f(qBr,m)，故eq \f(vb,vc)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,2)。由于T＝eq \f(2πr,v)得T＝eq \f(2πm,qB)，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝eq \f(θ,2π)T，所以eq \f(tb,tc)＝eq \f(θ1,θ2)＝eq \f(2,1)。故选项A正确，选项B、C、D错误。]
带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
(对应学生用书第233页)
一、思路、方法与突破口
二、临界极值问题的四个重要结论
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2．当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
3．当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大。
[典例] 如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是( )
A．粒子a带负电
B．粒子c的动能最大
C．粒子b在磁场中运动的时间最长
D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大
D [由左手定则可知，a粒子带正电，故A错误；由qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，由题图可知粒子c的轨迹半径最小，粒子b的轨迹半径最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝eq \f(1,2)mv2，知粒子c的动能最小，根据洛伦兹力提供向心力有F向＝qvB，则可知粒子b的向心力最大，故D正确，B错误；由T＝eq \f(2πm,qB)，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的轨迹所对的圆心角最小，则粒子b在磁场中运动的时间最短，故C错误。]
[跟进训练]
带电粒子在磁场中运动的极值问题
1.(2022·盐城二模)如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹；a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°，60°，45°的夹角，则下列判断正确的是( )
A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率比值为eq \f(\r(3),3)
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
C [由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，根据T＝eq \f(2πm,qB)可知四种粒子的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，由t＝eq \f(θ,2π)T可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，故A项错误；由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，故B项错误；可画出四个粒子运动径迹的圆心，如图所示，设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa，Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝eq \r(3)r，根据qBv＝eq \f(mv2,r)，可得eq \f(va,vb)＝eq \f(ra,rb)＝eq \f(\r(3),3)，故C项正确；由前述分析可知，运动时间之比为偏转角之比所以eq \f(tb,td)＝eq \f(θb,θd)＝eq \f(60°,45°)＝eq \f(4,3)，故D项错误。故选C。]
带电粒子在磁场中运动的临界问题
2.如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AD边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AD边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的磁感应强度的大小B需满足( )
A．B>eq \f(\r(3)mv,3aq) B．BC．B>eq \f(\r(3)mv,aq) D．BB [粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝eq \f(a,tan 30°)＝eq \r(3)a。由r＝eq \f(mv,qB)得，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径r>r0，联立以上各式解得B 带电粒子在磁场中运动的多解问题
(对应学生用书第234页)
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成原因一般包含4个方面：
[典例] (2022·丹阳市校级三模)如图(a)，矩形区域ABCD(包含边界)中存在匀强磁场，其中AD＝eq \f(7,4)d，AB＝eq \f(5,4)d，质量为m、电荷量为q的正离子以初速度v从A点沿AB边射入匀强磁场中，规定垂直于ABCD平面向外为磁场的正方向，设匀强磁场的磁感应强度B随时间做周期性变化如图(b)，题中m、q、d、v为已知量，B、T未知，求：
(1)若磁感应强度B＝eq \f(8mv,5qd)，t＝0时刻射入磁场的正离子刚好在t＝T时刻垂直于BC边从E点(图中未标出)离开磁场，求EB间的距离；
(2)若磁感应强度B＝eq \f(8mv,5qd)，欲使在0～eq \f(T,2)时间内射入磁场的正离子均不能由AD边离开磁场，求磁场的周期T应满足的条件；
(3)若磁感应强度B＝eq \f(4mv,qd)，欲使在t＝0时刻射入磁场的正离子垂直于CD边离开磁场，求磁场的周期T。(取sin eq \f(π,10)＝eq \f(1,3))
(a) (b)
[解析] (1)设正离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，磁场在t＝eq \f(T,2)时刻反向，正离子的运动轨迹如图1所示。
图1
由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
qvB＝meq \f(v2,R)
解得R＝eq \f(5,8)d
EB间的距离EB＝2R＝eq \f(5,4)d。
(2)只要t＝0时刻射入的离子不从AD边离开磁场，那么在0～eq \f(T,2)时间内射入的离子均不能从AD边离开磁场，t＝0时刻射入的离子不从AD边离开的临界条件是：离子的运动轨迹恰好与AD边相切，临界的轨迹如图2所示。
图2
设离子在0～eq \f(T,2)时间内转过的圆心角为θ，由几何关系得sin(π－θ)＝eq \f(R,2R)＝eq \f(1,2)
解得θ＝eq \f(5,6)π
离子在磁场中运动周期为T0＝eq \f(2πm,qB)＝eq \f(5πd,4v)
则有eq \f(1,2)T＝eq \f(θ,2π)T0
联立解得T＝eq \f(25πd,24v)
因离子在0～eq \f(T,2)时间内转过的圆心角应不大于θ，故磁场的周期T应满足的条件为T≤eq \f(25πd,24v)。
(3)如图3所示为满足要求的一种可能的离子运动轨迹，正离子在磁场一个周期时间内的轨迹形状均为图3中A到E轨迹形状。
图3
设正离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，周期为T1,0～eq \f(1,2)T内离子运动轨迹对应的圆心角为α，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
qvB＝meq \f(v2,r)
解得r＝eq \f(d,4)
离子做圆周运动的周期T1＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(πd,2v)
又有eq \f(1,2)T＝eq \f(α,2π)T1
联立解得T＝eq \f(αd,2v)
①若正离子经n个磁场变化的周期后从类似于M、P的位置射出磁场，则需满足：
竖直方向上：r＋2nr·cs(π－α)＋2nr＝eq \f(7,4)d，(n＝2、3、4…)
水平方向上：2nr·sin(π－α)＋r≤eq \f(5,4)d
联立解得n＝2，α＝eq \f(2π,3)
可得T＝eq \f(πd,3v)；
②若正离子经n个磁场变化的周期后从类似于N、Q的位置射出磁场，则需满足：
竖直方向上：r＋2r·cs(π－α)＋2nr·cs(π－α)＋2nr＝eq \f(7,4)d，(n＝2、3、4…)
水平方向上2nr·sin(π－α)－r≤eq \f(5,4)d
联立解得：n＝2，cs(π－α)＝eq \f(1,3)
已知sin eq \f(π,10)＝eq \f(1,3)
解得α＝eq \f(3π,5)
可得T＝eq \f(3πd,10v)。
[答案] (1)eq \f(5,4)d (2)T≤eq \f(25πd,24v) (3)eq \f(πd,3v)或eq \f(3πd,10v)
解决多解问题的一般思路
(1)明确带电粒子的电性和磁场方向。
(2)正确找出带电粒子运动的临界状态。
(3)结合带电粒子的运动轨迹，利用圆周运动的周期性进行分析计算。
[跟进训练]
磁场方向不确定形成的多解问题
1．一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.eq \f(4qB,m) B．eq \f(3qB,m)
C．eq \f(qB,m) D．eq \f(qB,2m)
A [依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \f(4BqR,m)，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(4Bq,m)；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝meq \f(v2,R)，v＝eq \f(2BqR,m)，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(2Bq,m)，故A正确。]
速度大小不确定形成的多解问题
2.如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直于纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A．2BkL B．eq \f(BkL,2)
C．eq \f(3BkL,2) D．eq \f(3BkL,4)
B [因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝eq \f(L,n)(n＝1,2,3…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝meq \f(v2,r)，即v＝eq \f(Bqr,m)＝Bk·eq \f(L,n)(n＝1,2,3…)，选项B正确。]
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与
B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场
方向的关系
F⊥B，F⊥v
F∥E
做功情况
任何情况下
都不做功
可能做功，
也可能不做功
两种
思路
(1) 以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解；
(2) 直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种
方法
物理
方法
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值
数学
方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图像法等
从关键词
找突破口
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件
类型
分析
图例
带电粒
子电性
不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方
向不确
定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状
态不唯
一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具
有周期
性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解