第二十六章 反比例函数考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十六章 反比例函数考点大梳理考点1 反比例函数的概念考点2 反比例函数的图象辨析（结合一次、二次函数）考点3 反比例函数图象的增减性考点4 反比例函数系数K的几何意义考点5 待定系数法求反比例函数解析式考点6 反比例函数与一次函数综合问题考点7 反比例函数的实际应用问题考点8 反比例函数背景的存在性问题考点1 反比例函数的概念掌握一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式① y=kx（k≠0） ②y＝kx﹣1（k≠0） ③xy=k（k≠0）如果函数是反比例函数，那么m的值是（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可．【详解】解：∵是反比例函数，∴，解得：，故B正确．故选：B．下列函数中，是反比例函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的解析式的三种形式：，，是解题的关键．根据反比例函数的概念，逐项判断即可求解．【详解】解：A、不是反比例函数，故此选项不符合题意；B、不是反比例函数，故此选项不符合题意；C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是反比例函数，故此选项符合题意．故选：D．反比例函数中常数k为（　　）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】本题考查房比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”时解题的关键．【详解】解：反比例函数中常数k为，故选D．若函数为反比例函数，则m的值是（    ）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】本题考查的是反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，反比例函数解析式形式还有：，．先根据反比例函数的定义列出关于m的不等式，再求出m的值即可．【详解】解：∵为反比例函数，∴，解得：，故选：B．考点2 反比例函数的图象辨析（结合一次、二次函数）对于一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系．【详解】解：A、抛物线抛物线开口方向向下，则，对称轴，反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意；B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意；C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意；D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意；故选A已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ）  A．  B．  C．   D．  【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项．【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点，可得：又由于当时，因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；故选：A．在同一平面直角坐标系内，二次函数的图象与反比例函数的图象可能为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的综合判断．根据二次函数和反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．熟练掌握二次函数和反比例函数的性质，是解题的关键．【详解】解：当抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧时，，∴，双曲线在二、四象限；故A错误；当抛物线的开口向下，对称轴在轴右侧时，，∴，双曲线在二、四象限；故B错误，C正确；当抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧时，，∴，双曲线在一、三象限；故D错误；故选C．如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　)  A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象和性质；根据二次函数（）的图象可得，从而得到，，进而得到一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限，即可求解．【详解】解：根据二次函数（）的图象得：，∴，， ∴一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限．故选：A一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ）A．  B．  C．  D．  【答案】D【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．【详解】解：当时，双曲线经过第一、三象限，直线经过第一、二、四象限，故A、C不符合题意；当时，双曲线经过第二、四象限，直线经过第一、三、四象限，故B不符合题意，D符合题意；故选：D．在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（    ）A．  B．  C．  D．  【答案】C【分析】本题考查的知识点是一次函数及反比例函数图像与性质，解题关键是结合函数解析式及选项图像判断m，n的取值范围是否相符．先根据一次函数图像判断m，n的取值范围，确定的取值范围后，即可判断反比例函数图像中的m，n的取值范围是否一致，从而判断选项是否正确．【详解】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误；B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误；C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确；D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误．故选：C．考点3 反比例函数图象的增减性反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．对于函数，下列说法不正确的是（    ）A．y是x的反比例函数B．图象经过点C．时，y随x的增大而增大D．时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、根据函数的定义可知对于函数，是一个y关于x的反比例函数，正确；B、由当时，，所以图象过点，故正确；C、∵，∴根据反比例函数的性质在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而增大，正确；D、时，图象在第二象限y随x的增大而增大，错误．故选：D．当时，下列函数值y随x增大而增大的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，据此逐项分析，进行作答即可．【详解】解：A、一次函数的，函数值y随x增大而减小，故该选项是错误的；B、反比例函数的，当时，函数值y随x增大而增大，故该选项是正确的；C、二次函数的，开口向下，当时，函数值y随x增大而减小，故该选项是错误的；D、二次函数的，开口向下，对称轴，当时，函数值y随x增大而减小，故该选项是错误的；故选：B已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据可得这个反比例函数的图象所在象限，再根据图象的增减性即可求解，理解反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键．【详解】在反比例函数中，，它的图象在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，，，，，，，，．故选：B．已知点在反比例函数（是常数）的图象上，则的大小关系是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知反比例函数的图象分布在二、四象限，且在二、四象限，均有随的增大而增大，据此即可求解．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象分布在二、四象限，且在二、四象限，均有随的增大而增大∵∴故选：C【点睛】本题考查反比例函数的增减性．确定是解题关键．已知反比例函数的图象经过第一、三象限．(1)求的取值范围；(2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键．（1）由题意知，，计算求解即可；（2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．【详解】（1）解：由题意知，，解得，，∴的取值范围为；（2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，∵，∴，解得，，∵，∴，∴的取值范围为．考点4 反比例函数系数K的几何意义反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．如图，已知动点P在反比例函数的图像上，轴于正半轴上，当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会(   )  A．越来越小 B．越来越大 C．不变 D．先变大后变小【答案】C【分析】根据反比例函数系数的几何意义得出，即可得出结论．【详解】解：如图，连接，  轴，，轴，∴与的边的高相等，，当点的横坐标逐渐变小时，的面积不变，始终等于1．故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，，连接，，已知的值为，则的面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出．【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为，，的面积为，故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键．如图，点是反比例函数图象上的任意一点，轴并交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中C、D在轴上，则平行四边形的面积为（    ）  A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．把代入得，，则，即的横坐标是；同理可得：的横坐标是：．则．则．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合题，理解、的纵坐标是同一个值，表示出的长度是关键．如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4， 2， 反比例函数  的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则k的值为（    ）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得，的长，根据菱形的面积为，求得的长，在中，即可得出k的值．【详解】解：过点A作x轴的垂线，交的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为4， 2，，则，，∵菱形的面积为，，即，，在中，，，．故选：C．如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ．【答案】5【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．【详解】解：如图，∵点A在函数的图象上，∴，又∵点B在反比例函数的图象上，∴，∴，故答案为：5．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作垂直于轴，，在轴上，，则平行四边形的面积是   【答案】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义就是曲线上任意一点作轴、轴的垂线，它们与轴、轴所围成的矩形面积为常数是解题的关键．由于点是反比例函数图像上一点，可以直接得到点的坐标，由此可以计算出平行四边形的面积．【详解】解：设点坐标为，点在反比例函数的图象上，点坐标为，且点坐标为，，故答案为．如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．  【答案】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义；通过反比例函数与一次函数交点关于原点成中心对称，得到与相等，得到与面积相等，再通过反比例函数的几何意义得到的面积等于，即可得到结果．【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，、两点关于原点对称，，，又是反比例函数上的点，且轴于点，的面积，的面积故答案为：．如图，A，B两点在反比例函数的图像上，C，D两点在反比例函数的图像上，轴于点E，轴于F，，，，则的值是 ．  【答案】6【分析】连接，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合，，，，列式计算即可，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．【详解】连接，根据反比例函数k的几何意义，得到，  ∵，，，∴，∴，∵，则，∴，解得：，∴，故答案为：6．如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向轴，轴作垂线段，若，则 ．  【答案】【分析】根据反比例函数的几何意义，即可得到答案．【详解】解：由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义：过反比例函数图像上的点作坐标轴垂线围成的图形的面积等于的绝对值．考点5 待定系数法求反比例函数解析式已知反比例函数()的图象经过点，，则该函数的图象还经过点(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】将点代入求出k的值，再根据求解判断即可．【详解】解：将点代入反比例函数中，则，．A.，∴点不在此函数的图象上；B.，∴点不在此函数的图象上；C.，∴点在此函数的图象上；D.，∴点不在此函数的图象上．故选：C．若点，都在反比例函数的图像上，则（  ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的坐标特征．解题的关键是利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把代入解析式即可求得的值．【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，∴，解得：，∴反比例函数的解析式为，∵在反比例函数的图像上，∴．故选：B．下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，代入求出的值，根据纵横坐标的积等于，逐项判定即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，，A、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；B、，∴点在反比例函数图象上，故此选项符合题意；C、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；D、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，在同一个反比例函数图象上的点坐标的特征为：纵横坐标的积为常数．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把代入求出即可求解．【详解】解：由题意得：，∵，∴反比例函数一定还经过点，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键．考点6 反比例函数与一次函数综合问题如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为．(1)求反比例函数解析式；(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围；(3)若点P为y轴上一动点，当的面积为4时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等．（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据图象即可求得；（3）根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据三角形面积公式得到，即可求得P的坐标．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A，∴∴反比例函数解析式为；（2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得故观察图象，当时，x的取值范围是或；（3）∵一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为，∴，∴，∴，∴点P的坐标为或．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点，直线与轴，轴分别交于点，．连接，．(1)求一次函数的表达式；(2)观察图象，直接写出使得成立的自变量x的取值范围；(3)求的面积．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．（1）先把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，然后把、坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）利用图象法求解即可；（3）先求得点的坐标，利用进行求解即可．【详解】（1）解：把点代入反比例函数中得：，∴，∴，把代入中得：，∴，∴，把，代入中得：，∴，∴；（2）解：由函数图象可知，当或时，；（3）解：令，则，∴点的坐标为，∴，∴．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点．  (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式的解集．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）把点代入求得，得反比例函数解析式为，把点代入求得，可得，再把、代入求出k，b的值即可得出一次函数解析式；（2）求出点C坐标，结合函数图象可得不等式的解集．【详解】（1）把点代入，得：，解得，，∴反比例函数解析式为；把点代入，得：，解得，，∴，把、代入，得：，解得，，∴一次函数的解析式为；（2）对于，当时，∴，由函数图象知，当直线在x轴下方，反比例函数图象上方时，，所以，不等式的解集为：．如图， 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．  (1)______，______，______；(2)观察图像，直接写出不等式的解集为______；(3)连接，求的面积．【答案】(1)3；；(2)或(3)4【分析】（1）将，代入解析式，求得的值，再将求得点的坐标代入反比例函数，即可求得；（2）根据图像，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时候的x的取值范围即可；（3）求得点的坐标，根据，即可求解．【详解】（1）解：将，代入解析式，可得，解得，，，将代入反比例函数，可得，解得，故答案为：3；；1；（2）解：由图可得当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方时候的x的取值范围，的解集为或；（3）解：当时，可得，解得，，，，．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，用待定系数法求反比例函数，一次函数与反比例函数的交点问题，求得正确的函数解析式，利用图形中函数的交点解不等式是解题的关键．如图，直线与双曲线相交于、两点，与y轴相交于点C．   (1)直线与双曲线的表达式(2)若点D与点C关于轴对称，求的面积；(3)请根据图像，直接写出不等式的解．【答案】(1)，(2)3(3)或【分析】（1）由题意，将，坐标代入反比例函数解析式求得，的值，再将将，坐标代入一次函数与即可求出与的值，进而可得答案；（2）利用直线表达式求得点的坐标，由轴对称求得点的坐标，可知轴，则，在根据即可求解；（3）由题意可知只需的图象在的上方所对应的即为解集，根据图象即可求得．【详解】（1）解：把，代入，得：，解得：，；把，代入，得，解得：，；∴直线的表达式为，双曲线的表达式为；（2）当时，，即，点的坐标为，∵点与点关于轴对称，∴点的坐标为，又∵，∴轴，则，∴；（3）由题意可知要使得，只需的图象在的上方，观察图象，可知，不等式的解集为或．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，不等式与函数的关系，数形结合是解决本题的关键．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．  (1)求k；(2)直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点A作轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线的解析式为，然后联立直线的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可．【详解】（1）解：过点A作轴于点E，如图所示：  ∵，，，∴，，∴，∴，∴在中，，∵点O是的中点，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可得：，，∴设直线的解析式为，则把点A、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立与反比例函数可得：，解得：（不符合题意，舍去），∴点，∴．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．考点7 反比例函数的实际应用问题为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示．(1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式．(2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．【答案】(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）(2)个月【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用，（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；（2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论；正确的理解题意是解题的关键．【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数，设升级改造前y与x的函数表达式为，当时，，∴，即，∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）；当时，，∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元，∴，∴升级改造后y与x的函数表达式为（且为整数），∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）；（2）在中，当时，，∵，∴在该象限中，随的增大而减小，∴时，，在中，当时，，∴，∴且为整数．∴可取，，，，；共5个月．∴资金紧张期共有个月．国家卫健委官方网站消息，截至2022年11月25号，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2021年经过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度与注射时间天之间的函数关系如图所示．(1)根据图象求与之间的函数关系式；(2)体内抗体浓度不低于的持续时间为多少天？【答案】(1)(2)体内抗体浓度不低于的持续时间为31天【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）分别求出当时，当时的x的值，即可得到答案．【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是，图象过，则，解得：，与之间的函数关系式是：当时，设与之间的函数关系式是，图象过，，解得：，与之间的函数关系式是（2）当时，，解得：．当时，，解得：（天）答：体内抗体浓度不低于的持续时间为31天．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值，正确理解题意是解题的关键．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．  (1)当时时，求与之间的关系式．(2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过．【答案】(1)(2)【分析】（1）设关系为，将代入求；（2）将代入函数关系式求出的值．【详解】（1）解：设．过点，．当时，与的关系式为：；（2）将代入上式中得：，．温度在时，电阻．在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加，当时，，把代入，得；把时代入，得；答：当时，电阻不超过．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．  (1)求图中点A的坐标；(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【答案】(1)20(2)能，理由见解析【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为，当时，，，，即对应的指标值为20；（2）解：设当时，的解析式为，将、代入得：，解得，的解析式为，当时，，解得，由（1）得反比例函数的解析式为，当时，，解得，时，注意力指标都不低于36，而，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为（包含和）的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间变化的函数图像，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：  (1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，大棚内的温度是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为多少？【答案】(1)(2)当时，大棚内的温度不适宜该品种蔬菜的生长(3)恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为15小时【分析】（1）利用待定系数法分段求解即可；（2）将代入求出y的值，比较后可得答案；（3）分别求出时x的值，然后进行计算即可．【详解】（1）解：设的解析式为，将点，，代入得：，解得，∴的解析式为；∵段大棚内温度一直不变，恒等于20，∴段的解析式为；∵段是双曲线的一部分，经过，∴，解得，∴段的解析式为；综上所述，与的函数解析式为：；（2）当时，，∵，∴当时，大棚内的温度不适宜该品种蔬菜的生长；（3）把代入得，解得：；把代入得，解得：；∵（小时），∴恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为15小时．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，熟练掌握待定系数法，求出函数关系式是解题的关键．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为；(2)没有效，见解析【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用时分别代入求出答案．【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为，将点代入，得，解得，∴药物燃烧时的函数解析式为；设药物熄灭后y关于x的函数关系式是，将点代入，得，解得，∴药物燃烧时的函数解析式为；（2）当时，，解得；当时，，解得，∵，∴这次消毒没有效．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．考点8 反比例函数背景的存在性问题如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．  (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；(3)求的面积；(4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)(4)存在，P点坐标为，，，【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式；（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方部分自变量的范围；（3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得，所以，进而可得和，所以可得答案；（4）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求P点坐标即可．【详解】（1）将代入得：，  则反比例函数的解析式是， 将代入得：，     则B的坐标为，  将，代入得：  ， 解得：，  ∴一次函数的解析式为．（2）根据图像，结合题意，得或．（3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式，当时，代入解析式得，∴，∴，∴，∴的面积为；（4）在x轴上存在点P，使是等腰三角形由可得：，当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点A作轴于点S，由，等腰三角形三线合一的性质得：  ，由 ，，∴，故；②当时，根据题意，得，在中，由勾股定理可得：，∴，解得：，∴，③当时，P点在O点左侧时，，P点在O点右侧时，，综上所述，当P点坐标为，，，时，是等腰三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点．  (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方；(3)设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．【答案】(1)，(2)，(3)点N的坐标为，，【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，然后求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式中，即可得出答案；（2）求出点B坐标，根据三角形的面积公式进行计算；然后结合函数图象得出x的取值范围；（3）设点，，分三种情况讨论：①以和为对角线时，②以和为对角线时，③以和为对角线时，分别利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴一次函数的表达式为；∵点在直线上，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）在中，令，解得，∴，又∵，∴，由函数图象得：当时，双曲线位于直线上方；（3）∵直线的表达式为，反比例函数的表达式为，设点，，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则分情况讨论：①以和为对角线时，可得：，，解得：，或（此时点M不在第一象限，舍去），∴；②以和为对角线时，可得：，，解得： 或（此时点M不在第一象限，舍去），∴，③以和为对角线时，可得：，，∴或（此时点M不在第一象限，舍去），∴，综上，满足条件的点N的坐标为，，．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数和反比例函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标的求法等知识，利用中点坐标公式建立方程组求解是解题的关键．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求出点B的坐标及的面积；(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；（3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：把，代入，得：，∴，∴，∴，∴；（2）联立，解得：或，∴，∵，当时，，∴，∴；（3）存在，设点，∵，，∴，∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形，①当为斜边时：，解得：；②当为斜边时：，解得：；∴或．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．  (1)求直线和反比例函数的表达式；(2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；(3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或或【分析】（1）利用待定系数可得答案；（2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过，从而解决问题；（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．【详解】（1）解：将代入，∴，∴反比例函数的表达式为，设直线的解析式为，将与代入可得：，∴，∴直线的解析式为；（2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，设直线l的解析式为，∴方程有两个相等的实数根，整理得，∴，解得或，∵直线l与y轴交于正半轴，∴舍去，解方程，得，∴，∴；（3）分两种情况讨论：①当时，如图，过作于，  ∵轴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴，∵C与B关于原点对称，∴，，∴，而，同理可得：直线的解析式为，∵，点Q在直线上，∴点Q的横坐标为2，当时，，∴；②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，  则四边形是矩形，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，同理可得：，∴，由①知直线的解析式为，与x轴交于点，与轴的交点为，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵D是的中点，∴，设，，∴，∴（舍去）或，∴，∴，当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，  同理可得：，，设，则，∵直线为，∴，，∴，解得，∴，当点E在右侧时，同理可得，  设，则，∴，∴，∵D为中点，∴，∴，而在直线上，∴，解得，∵，∴，∴，综上，Q点的坐标为，或．【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接，．  (1)反比例函数的表达式是______，点E的坐标为______；(2)点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标；(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，，；【分析】（1）根据四边形是矩形得到轴，轴，结合点B的坐标为得到，，从而得到，代入解析式求解即可得到答案；（2）设点，根据三角形面积关系列式求解即可得到答案；（3）设点，根据平行四边形对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点Q，代入解析式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴轴，轴，∵点B的坐标为，∴，，∵D是的中点，∴，∵反比例函数的图象经过点D，∴，解得：，∴，当时，∴，∴；（2）解：设点，∵，，，∴，，当的面积等于的面积时，，解得：，∴；（3）解：设点，∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，当以为对角线时，，，即，∵点Q在上，∴，解得：，∴；当以为对角线时，，，即，∵点Q在上，∴，解得：，∴；当以为对角线时，，，即，∵点Q在上，∴，解得：，∴，与点E重合，不符合题意舍去；综上所述：存在，，；【点睛】本题考查反比例函数动点问题，解题的关键是设出动点分类讨论．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B．(1)求反比例函数的关系式；(2)直接写出当x<0时，的解集．(3)若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标．【答案】(1)(2)﹣3-3时，反比例函数图象在一次函数图象的上方．所以当x<0时，的解集为：﹣3