2022-2023学年江苏省镇江市镇江新区九年级上学期数学10月月考试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市镇江新区九年级上学期数学10月月考试题及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
【答案】x1=0，x2=1
【解析】
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
2. 若一元二次方程的常数项是0，则m等于_________．
【答案】3
【解析】
【分析】首先根据常数项为0，可得出m两个值，然后一元二次方程二次项系数不为0，即可得解.
【详解】根据题意，得
解得
又∵一元二次方程，二次项系数不为0，即
∴
【点睛】此题主要考查对一元二次方程的理解，熟练掌握，即可解题.
3. 已知实数、是方程的的两根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，进行求解即可．
【详解】解：∵方程的两根为、，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能掌握根与系数的关系是解答此题的关键．
4. 关于的方程有实数根，则的取值范围是________________________．
【答案】
【解析】
【分析】分a=0和两种情况进行讨论，再根据关于x的一元二次方程有实数根得到根的判别式大于等于0计算即可；
【详解】当a=0时，方程为：，
当时，方程为一元二次方程
∴，
∴且．
故答案．
【点睛】本题主要考查了根据方程根的情况，求字母的范围，找准根的判别式，准确计算是解题的关键．
5. 已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是________．
【答案】r＞6
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可判断．
【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，
∴r＞6，
故答案为：r＞6．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解题关键是能够灵活运用所学知识解决问题．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
7. 如图，点，，，在上，，，，则________．
【答案】70°
【解析】
【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
【点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
8. 已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为_______cm．
【答案】7或17##17或7
【解析】
【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．
【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1
过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙的直径为26
∴OA=OC=13
∴，
∴EF=OF-OE=7
②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2
过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙直径为26
∴OA=OC=13
∴，
∴EF=OF+OE=17
故答案为：7或17．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．
9. 某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简）
【答案】
【解析】
【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，依题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
11. 如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过_______秒后，点P在⊙O上．
【答案】2或．
【解析】
【详解】设x秒后点P在圆O上，
∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，
∴当第一次点P在圆上时，
（2+1）x=7﹣1=6
解得：x=2；
当第二次点P在圆上时，
（2+1）x=7+1=8
解得：x=
答案为：2或.
12. 在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论．
【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∵是的外接圆，
∴点C在上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
二、选择题（每题3分，共18分）
13. 一元二次方程解是（ ）
A. B. ，C. ，D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程常用的方法．
14. 如图，， BC为直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知与互余，圆周角与 所对同弧 ，所以，根据关系计算可得解．
【详解】解：∵，
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了互余角、同弧所对圆周角相等，掌握同弧所对圆周角相等是解题关键．
15. 下列命题中错误的命题为（ ）
A. 圆既是轴对称图形，也是中心对称图形B. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧
C. 三角形的外心到三角形三边距离相等D. 垂直于弦的直径平分这条弦
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的有关知识求解．
【详解】解：∵圆是轴对称图形，每条直径都是对称轴，圆也是以圆心为对称中心的中心对称图形，
∴A正确；
∵在同圆或等圆中，等弧长度相等，∴B正确；
根据垂径定理，D正确；
∵三角形的外心指三角形外接圆的圆心，外心到三顶点距离相等，到三边距离相等的点为三角形的内心，∴C错误；
故选C．
【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握与圆相关的概念用性质是解题关键．
16. 对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ）
A. 非负数B. 正数C. 负数D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x-）2+的最小值是，
故多项式x2-5x+8的值是一个正数，
故选B．
17. 如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据求根公式得出方程的根，根据等式，即可得解.
【详解】∵，，，，
∴
又∵
∴
∴该方程的正根为
∴
∵
∴x即为AE的长
故答案为A.
【点睛】此题主要考查勾股定理以及方程两根公式的运用，熟练掌握，即可解题.
18. 如图，是圆O的直径，是圆O的弦，先将弧沿翻折交于点D．再将弧沿翻折交于点E．若弧弧，设，则所在的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，再证得，再利用三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵弧弧，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是圆O的直径，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴所在的范围是．
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共8小题，共计78分）
19. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），
（2）
（3），
（4），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用先利用完全平方公式变形，再开方即可求解；
（3）利用配方法即可求解；
（4）利用因式分解法即可求解．
【小问1详解】
，
即：或者，
，；
【小问2详解】
，
即：，
即方程的解：；
【小问3详解】
，
，即，
即方程的解：，；
【小问4详解】
，
即：或者，
，；
【点睛】本题主要考查了运用因式分解法、配方法和直接开方法解一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键．
20. 如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E，与相等吗？为什么？
【答案】与相等，理由见解析
【解析】
【分析】连接．首先证明，推出即可解决问题；
【详解】解：与相等；
理由：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21. 已知，，试用配方法，推导一元二次方程的求根公式．
【答案】见解析
【解析】
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程．
【详解】由一元二次方程，
移项，得
化系数为1，得
配方，得
即：
当时，
开方，得
解得：．
【点睛】考查了一元二次方程的配方法，掌握配方法是解题的关键．
22. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知弧 ， 是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交弧于点，于点 ，连接，；
②以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点 （两点不重合），连接，，．
（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．
【答案】（1）①图见解析；②图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可求解；
（2）由（1）可知 是 的垂直平分线，可得， 则有，由此即可求出答案．
【小问1详解】
解：尺规作图如下所示，
【小问2详解】
解：根据作图可知， ，如下图所示，
∵由作图可知， 是 的垂直平分线，
∴，，
是 的半径，且与弧交于点 ，
∴，
（同圆或等圆中，弦相等，对应的弧相等，则对应的圆周角相等），
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故线段的数量关系是：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的判断和性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，理解和掌握垂直平分线的性质，圆周角定理的推论，是解题的关键．
23. 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元
【解析】
【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的的值，从而得到答案．
【详解】（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，故舍去
∴T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴当x＝10时，M最大值＝4000元
∴销售单价：40＋10＝50元
∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．
24. 阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知．
用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，；
操作尝试：解一元三次方程．
【答案】，，
【解析】
【分析】先通过因式分解把方程化为两个二次方程，然后再利用公式法求解二次方程．
【详解】解：，
∴．
∴或．
当时，；
当时，．
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
25. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D．
（1）AD与BD相等吗？为什么？
（2）若AB=10，AC=6，求CD的长；
（3）若P为⊙O上异于A、B、C、D的点，试探究PA、PD、PB之间的数量关系．
【答案】（1）AD=BD，理由见解析；
（2）CD=；
（3）①当点P在上时， PA+PB=PD；②当点P在上时， PA﹣PB=PD．③当点P在上时， PB﹣PA=PD
【解析】
【分析】（1）结论：AD=BD．只要证明即可．
（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=CF，求出CF即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①如图3中，当点P在上时，结论：PA+PB=PD；②如图4中，当点P在上时，结论：PA-PB=PD；③如图5中，当点P在上时，结论：PB-PA=PD．
【小问1详解】
解：结论：AD=BD．
理由：如图1中，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD．
【小问2详解】
解：如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G．
∴∠AFD=∠BGD=90°，
∵CD平分∠ACB交⊙O于点D．DF⊥CA，DG⊥CB，
∴DF＝DG，
在Rt△ADF和Rt△BDG中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∴AC＋AF＝BC－BG＝BC－AF,
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC==8，
∴6+AF=8﹣AF，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF=7．
【小问3详解】
解：①如图3中，当点P在上时，结论：PA+PB=PD．
理由：将△PDB绕点D逆时针旋转90°得到△FAD，
∵∠PAD+∠PBD=180°，∠FAD=∠PBD，
∴∠FAD+∠PAD=180°，
∴P、A、F共线，
∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PF=PD，
∵PB=AF，
∴PF=PA+AF=PA+PB=PD，
∴PA+PB=PD．
②如图4中，当点P在上时，结论：PA﹣PB=PD．
理由：在AP上取一点F，使得AF=PB，
在△FAD和△PBD中，，
∴△FAD≌△PBD（SAS），
∴DF=DP，∠ADF=∠BDP，
∴∠FDP=∠FDB＋∠BDP＝∠FDB＋∠ADF＝∠ADB=90°，
∴△FDP是等腰直角三角形，
∴PF=PD，
∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD，
∴PA﹣PB=PD．
③如图5中，当点P在上时，结论：PB﹣PA=PD．

理由：在BP上取一点G，使得GB=PA，
在△GBD和△PAD中，，
∴△GBD≌△PAD（SAS），
∴DG=DP，∠BDG=∠ADP，
∴∠GDP=∠ADG＋∠ADP＝∠ADG＋∠BDG＝∠ADB=90°，
∴△GDP是等腰直角三角形，
∴PG=PD，
∴PB﹣PA=PB﹣BG=PG=PD，
∴PB﹣PA=PD．
【点睛】本题是圆的综合题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会分类讨论的思想思考问题．
26. 问题背景：如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90，AD=BD，探究线段BC、CD之间的数量关系．
小亮同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处．点B、C分别落在点A、E处（如图2），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=CD．
简单应用：
（1）在图1中，若AC=2，BC=4，则CD=______；
（2）如图3，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，弧AD等于弧BD，若AB=13，BC=12，求弦CD的长；
拓展延伸：
（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）．
【答案】（1）6；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可知：AC+BC=CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；
（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度.
【详解】(1)由题意知：AC+BC=CD，
∴2+4=CD，
∴CD=6；
故答案：；
(2)如图3，连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90∘，
∵=，
∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理得：AC=5，
由图1得：AC+BC=CD，5+12=CD，
∴CD= .
(3)以AB为直径作⊙O,连接DO并延长交⊙O于点D1，
连接D1A、D1B、D1C、CD,如图4,
由(2)得：AC+BC=D1C，
∴D1C=，
∵D1D是⊙O的直径，
∴∠D1CD=90∘，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，
∴D1D2=AB2=m2+n2，
∵D1C2+DC2=D1D2，
∴CD2=m2+n2−=
∵m∴CD=
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理、旋转的性质等知识点，解题的关键就是要利用得出的结论来进行解决问题。